2023年中考数学微专题复习课件4 一线三等角模型
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第四章 三角形
微专题四 一线三等角模型
1.定义：一线三等角是一个常见的模型，指的是有三个相等的角的顶点在同一条直线上 构成的相似（或全等）图形，也可称为“K形图”或“M形图”. 2.一线三等角的性质 （1）一般情况下，由一条直线上三个相等的角，易得两个相似三角形； （2）当等角所对的边相等时，相似的两个三角形全等. 注：三个相等的角可以是锐角、直角或钝角.
25
解：（3）①当∠MAD＝90°时，如图2， 作PD⊥x轴，过A点作PQ∥x轴，QM⊥PQ于点Q. ∵△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝AM. 又∵∠PAD＋∠PDA＝90°， ∠PAD＋∠QAM＝90°， ∴∠PDA＝∠QAM.
26
∴△APD≌△MQA（AAS）. ∴AQ＝PD＝2，
27
②当∠AMD＝90°时， 如图3，过M点作PQ⊥x轴，作AP⊥PQ. 同理，可证得△APM≌△MQD，∴MQ＝AP. 得t（3＋t）＝6，
6
△ACP∽△BPD. 特殊地，当PC ＝PD时， △ACP≌△BPD
▶类型1：一线三等角（不包含直角） 【例1】【问题发现】如图1，直线m经过点A，已知AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC ＝α（0°＜α＜90°），则线段DE、BD、CE之间的数量关系是 DE＝BD＋CE ；
【类比探究】如图2，在（1）的条件下，若90°＜α＜180°，则线段DE、BD、CE之间的 数量关系是 DE＝BD＋CE ；
18
19
20
▶类型2：一线三直角
21
（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；
22
23
（2）若OD＝1，求点C的坐标，判断四边形ABCD的形状并说明理由；
解：（2）∵CD∥AB， ∴设直线CD的解析式为y＝－x＋m. 又∵OD＝1，点D在x轴的正半轴上， ∴点D的坐标为（1，0）. 将D（1，0）代入y＝－x＋m，得m＝1. ∴直线CD的解析式为y＝－x＋1. 对于y＝－x＋1，当x＝0时，y＝1， ∴C（0，1）.
（2）当直线MN绕点C旋转到如图2所示
的位置时，求证：DE＝AD－BE.
图1
图2
10
（3）当直线MN绕点C旋转到如图3所示的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的数量关 系？请直接写出这个等量关系，不需要证明.
图3
11
思路点拨 ↓
12
证明：（1）①∵AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，
∴∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，
24
以点A，B，C，D构成的四边形是矩形.理由如下： ∵A（3，2），B（2，3），C（0，1），D（1，0），
又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，则E（0，3）. ∵CE＝OE－OC＝2，BE＝2， ∴△BEC和△COD都为等腰直角三角形， ∴∠ECB＝∠OCD＝45°，∴∠BCD＝90°， ∴▱ABCD是矩形.
2
3.构造一线三等角的基本步骤 做题过程中，若出现一角的顶点在一条直线上的形式，就可以构造两侧的两个相等
的角，利用全等三角形或相似三角形解决相关问题，本质就是找角、定线、构相似.
3
类型
一线三 等角 （不包 含直 角）
同侧型（三 个等角都在 直线的同 侧）
条件
点P在线段AB上，∠1 ＝∠2＝∠3，三个角在 AB同侧 点P在线段AB上，∠1 ＝∠2＝∠3，P是∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°. ∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC ＝∠BAD＋45°. 又∵∠ADC＝∠CDE＋45°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△DCE， ∴∠BDA＝∠DEC＝120°.
17
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式.
∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE.
又∵AC＝BC，∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
图2
∴DE＝CE－CD＝AD－BE.
14
证明：（3）DE＝BE－AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE）. 图3
15
▶类型1：一线三等角（不包含直角） 1.已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一个动点（不 与B，C点重合），∠ADE＝45°. （1）当∠DEC＝120°时，求∠BDA的度数；
28
【拓展探究】如图3，若点A是DE的中点，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α，请问线段AD、 BD、CE之间满足什么数量关系？并说明理由.
7
思路点拨 （2）同（1）易得DE＝BD＋CE
8
9
▶类型2：一线三直角 【例2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于 点D，BE⊥MN于点E. （1）当直线MN绕点C旋转到图1 的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE.
4
图示
结论 △ACP∽△BPD
△ACP∽△BPD ∽△PCD
类型
一线三 等角 （不包 含直 角）
异侧型（三 个等角分居 在直线的两 侧）
条件
点P在射线AB 上，∠1＝ ∠2＝∠3， 三个角在AB 两侧
图示
5
结论 △ACP∽△BPD
一线三直角
特别地，当 ∠1＝∠2＝ ∠3＝90° 时，为一线 三直角模型
∴∠ACD＋∠DAC＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE.
又∵AC＝BC，∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②由①知，△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，CD＝BE.
图1
∴DE＝CE＋CD＝AD＋BE.
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证明：（2）∵AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，
∴∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，
微专题四 一线三等角模型
1.定义：一线三等角是一个常见的模型，指的是有三个相等的角的顶点在同一条直线上 构成的相似（或全等）图形，也可称为“K形图”或“M形图”. 2.一线三等角的性质 （1）一般情况下，由一条直线上三个相等的角，易得两个相似三角形； （2）当等角所对的边相等时，相似的两个三角形全等. 注：三个相等的角可以是锐角、直角或钝角.
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解：（3）①当∠MAD＝90°时，如图2， 作PD⊥x轴，过A点作PQ∥x轴，QM⊥PQ于点Q. ∵△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝AM. 又∵∠PAD＋∠PDA＝90°， ∠PAD＋∠QAM＝90°， ∴∠PDA＝∠QAM.
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∴△APD≌△MQA（AAS）. ∴AQ＝PD＝2，
27
②当∠AMD＝90°时， 如图3，过M点作PQ⊥x轴，作AP⊥PQ. 同理，可证得△APM≌△MQD，∴MQ＝AP. 得t（3＋t）＝6，
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△ACP∽△BPD. 特殊地，当PC ＝PD时， △ACP≌△BPD
▶类型1：一线三等角（不包含直角） 【例1】【问题发现】如图1，直线m经过点A，已知AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC ＝α（0°＜α＜90°），则线段DE、BD、CE之间的数量关系是 DE＝BD＋CE ；
【类比探究】如图2，在（1）的条件下，若90°＜α＜180°，则线段DE、BD、CE之间的 数量关系是 DE＝BD＋CE ；
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▶类型2：一线三直角
21
（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；
22
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（2）若OD＝1，求点C的坐标，判断四边形ABCD的形状并说明理由；
解：（2）∵CD∥AB， ∴设直线CD的解析式为y＝－x＋m. 又∵OD＝1，点D在x轴的正半轴上， ∴点D的坐标为（1，0）. 将D（1，0）代入y＝－x＋m，得m＝1. ∴直线CD的解析式为y＝－x＋1. 对于y＝－x＋1，当x＝0时，y＝1， ∴C（0，1）.
（2）当直线MN绕点C旋转到如图2所示
的位置时，求证：DE＝AD－BE.
图1
图2
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（3）当直线MN绕点C旋转到如图3所示的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的数量关 系？请直接写出这个等量关系，不需要证明.
图3
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思路点拨 ↓
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证明：（1）①∵AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，
∴∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，
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以点A，B，C，D构成的四边形是矩形.理由如下： ∵A（3，2），B（2，3），C（0，1），D（1，0），
又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，则E（0，3）. ∵CE＝OE－OC＝2，BE＝2， ∴△BEC和△COD都为等腰直角三角形， ∴∠ECB＝∠OCD＝45°，∴∠BCD＝90°， ∴▱ABCD是矩形.
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3.构造一线三等角的基本步骤 做题过程中，若出现一角的顶点在一条直线上的形式，就可以构造两侧的两个相等
的角，利用全等三角形或相似三角形解决相关问题，本质就是找角、定线、构相似.
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类型
一线三 等角 （不包 含直 角）
同侧型（三 个等角都在 直线的同 侧）
条件
点P在线段AB上，∠1 ＝∠2＝∠3，三个角在 AB同侧 点P在线段AB上，∠1 ＝∠2＝∠3，P是∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°. ∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC ＝∠BAD＋45°. 又∵∠ADC＝∠CDE＋45°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△DCE， ∴∠BDA＝∠DEC＝120°.
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（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式.
∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE.
又∵AC＝BC，∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
图2
∴DE＝CE－CD＝AD－BE.
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证明：（3）DE＝BE－AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE）. 图3
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▶类型1：一线三等角（不包含直角） 1.已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一个动点（不 与B，C点重合），∠ADE＝45°. （1）当∠DEC＝120°时，求∠BDA的度数；
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【拓展探究】如图3，若点A是DE的中点，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α，请问线段AD、 BD、CE之间满足什么数量关系？并说明理由.
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思路点拨 （2）同（1）易得DE＝BD＋CE
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▶类型2：一线三直角 【例2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于 点D，BE⊥MN于点E. （1）当直线MN绕点C旋转到图1 的位置时，求证： ①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE.
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图示
结论 △ACP∽△BPD
△ACP∽△BPD ∽△PCD
类型
一线三 等角 （不包 含直 角）
异侧型（三 个等角分居 在直线的两 侧）
条件
点P在射线AB 上，∠1＝ ∠2＝∠3， 三个角在AB 两侧
图示
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结论 △ACP∽△BPD
一线三直角
特别地，当 ∠1＝∠2＝ ∠3＝90° 时，为一线 三直角模型
∴∠ACD＋∠DAC＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE.
又∵AC＝BC，∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②由①知，△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，CD＝BE.
图1
∴DE＝CE＋CD＝AD＋BE.
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证明：（2）∵AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，
∴∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，