沪科版九年级上册数学_全册教案

学期：2021至2021学年度第一学期学科：初中数学
年级：九年级〔上册〕
授课班级：九〔1〕
授课教师：刘林
2021年9月
邵庙初级中学电子教案
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第单元.第课时.总第课课
题
21.2 二次函数y=ax2的图象和性质
教学目标1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。

2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯
重点难点
重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象是教学的重点。

难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。

教法教具问题探究法直尺
课时
安排
一课时
课前准备
复习上节课的内容并预习二次函数的画法，同一次函数的相关内容相联系
教学过程一、提出问题
1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?
(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)
2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?
(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)
3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?
二、范例
例1、画二次函数y=ax2的图象。

解：(1)列表：在x的取值范围内列出
函数对应值表：
x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …
y …9 4 1 0 1 4 9 …
(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对
应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点
(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如下图。

提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?
让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。

抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。

顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．
三、做一做
1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比拟两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?
2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比拟这两个函数的图象，你能发现什么?
3．将所画的四个函数的图象作比拟，你又能发现什么?
对于1，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比拟适宜以及如何选点。

两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。

交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。

对于2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引导学生类比1得出。

对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0，
0)．
四、归纳、概括
函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可猜测：
函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。

如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么?
让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空；
当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。

图象的这些特点反映了函数的什么性
质?
先让学生观察以下图，答复以下问题；
(1)X
A 、X
B
大小关系如何?是否都小于
0？
(2)y
A 、y
B
大小关系如何?
(3)X
C 、X
D
大小关系如何?是否都大于0?
(4)y
C 、y
D
大小关系如何?
(X
A <X
B
，且X
A
<0，X
B
<0；y
A
>y
B
；X
C
<X
D
，且X
C
>0，X
D
>0，y
C
<y
D
)
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第单元.第课时.总第课课
题
21.4二次函数与一元二次方程
第一课时
教学目标1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系。

2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。

3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标。

重点难点1、体会方程与函数之间的联系.
2、理解何时方程有两个不等的实根,两个相等的实数和没有实根.
3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.
教法教具情境引入法直尺
课
时
安
排
一课时
课
前
准
备
对一元二次方程有全面的认识和了解
教学过一、复习
1、一元二次方程-5x2+40x=0的根为：。

2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = 。

当△﹥0方程根的情况是：；当△=0时，方程；当△﹤0时，方程。

3、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条，它与x轴的交点有几种可能的情况？
二、创设问题情境,引入新课
y=x2+2x
y=x2-2x+1y=x2-2x+2
有关问题.
三、活动探究
二次函数①y= x2+2x, ②y=x2-2x+1, ③y= x2-2x+2的图象如以下图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点?
(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下:一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
师：还请大家先讨论后解答.
总结：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根。

四、课堂练习
1、假设方程ax2+bx+c=0的根为x
1=-2和x
2
=3，那么二次函数y=ax2+bx+c
的图象与x轴交点坐标是。

2、抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是〔〕
A、两个交点
B、一个交点
C、没有交点
D、画出图象后才能说明
3、抛物线y=x2-4x+4与轴有个交点，坐标是、。

4、不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标。

五、课堂小结
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根。

板书设计一、复习三、活动探究
二、问题引入四、课堂练习
五、课堂小结
作业设计
1、证明：抛物线y=x2-(2p-1)x+p2-p与x轴必有两个不同的交点。

2、〔拓展练习〕一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。

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前准备
教学过程
一、复习
提问：二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
1、假设方程ax2+bx+c=0的根为x
1
=-2和x
2
=3，那么二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴交点坐标是。

2、抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是〔〕
A、两个交点
B、一个交点
C、没有交点
D、画出图象后才能说
明
3、不画图象，求抛物线y=x2-x-6与x轴交点坐标。

二、创设问题情境,引入新课
师：上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐
标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系,懂得了二次函数图象与x 轴交点的横坐标,就是y=0时的一元二次方程的根,于是,我们在不解方程的情况下,只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算.本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根.
探究一：用图像法求一元二次方程x2+2x-1=0的解〔精确到0.1〕。

以下图是函数y=x2+2x-1的图象。

师：从图象上来看,二次函数y=x2+2x-1的图象与x轴交点的横坐标一个在-3与-2之间,另一个在0与1之间,所以方程x2+2x-1=0的两个根一个在-3与-2之间,另一个在0与1之间.这只是大概范围,究竟更接近于哪一个数呢?请大家讨论解决。

有关估算问题我们在前面已学习过了,即是用试一试的方法进行的.既然一个根在-2与-3之间,那这个根一定是负2点几,所以个位数就确定下来了,接着确定十分位上的数,这时可以用试一试的方法,即分别把
x=-2.1,-2.2,…,-2.9代入方程进行计算,哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立),那么这个值就是方程的根(或近似根).
由于计算比拟烦琐,所以要求学生可以用计算器进行计算。

从图象上看,可以估计x的取值是-2.4或-2.5 ,利用计算器进行探索,如下表：
x …-2.4 -2.5 …
y …-0.04 0.25 …
从上表可知,当x取-2.4或-2.5时,对应y的值由负变正,可见在-2.4和-2.5之间一定有一个x得值使y=0，即有方程x2+2x-1=0的一个根。

由于题目只要求精确到0.1，所以这是去x=-2.4或x=-2.5作为根都符合要求。

但是当x=-2.4时，y=-0.04比y=0.25〔x=-2.5〕更接近0.所以选x=-2.4。

因此，方程x2+2x-1=0在-3和-2之间精确到0.1的根为x=-2.4。

有了上面的分析和结果,求另一个近似根就不困难了,请大家继续.〔学生自行研究〕
另一根为x=0.4
探究二：还有没有其他的解决方法？〔针对程度较好学生〕
引导学生将方程变形为x2=2x-1，从而将问题转化为求函数y= x2和
y=-2x+1的交点横坐标，培养学生利用数形结合解题的思想。

如下图
函数y=x2和y=-2x+1交于A、B两点，这两点的横坐标就是我们要求的根。

探究三：你能否结合二次函数的图像，求出使y=x2+2x-1>0和y=x2+2x-1<0 时，x的取值范围？
由图像可知，y=x2+2x-1>0的图像位于x轴上方，图像位于x轴上方的自变量
x取值范围是x<-2.4或x>0.4；y=x2+2x-1<0的图像位于x轴下方，图像位于轴
下方的自变量x取值范围是-2.4<x<0.4。

三、课堂练习
练习 1 2
四、课堂小结
本节课学习的内容:
1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的联系；
2.经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得了用图象法求方程近似根的体验；
板书设计一、复习三、课堂练习
二、问题引入四、小结
作课后习题 2 3
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教
法
教
具
情境引入法
课时
安排
一课时
课
前
准
备
抛物线的图像和性质以及图像的画法
教学过程一、创设情景
欣赏生活中抛物线的图片，回忆二次函数的有关知识。

图1 图2 图3 二、新课教学
【例题讲解】
例1、如图，悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似的看
做抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接。

假设两端主塔
之间水平距离为900m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m，主悬钢索
最低点离桥面的高度为0.5m。

〔1〕假设以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，如图，求
这条抛物线的函数关系式；
〔2〕计算距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长。

〔精确
到0.1m〕
分析：第〔1〕题的关键是设立适宜的函数解析式，根据题意可知抛物线的顶点为〔0，0.5〕，且关于y 轴对称，那么可以设函数关系式为y=ax 2+0.5，再将〔450，81.5〕带入解析式中，即可求出a 的值。

第〔2〕题要注意不能直接将100、50当做横坐标代入。

解：〔1〕设抛物线的函数关系式为y=ax 2+0.5，将(450，81.5〕代入，得
81.5=a •4502+0.5
解方程，得
2
250
1
45281a ==
因而，所求抛物线的函数关系式为5.0x 501y 2
2
+=
〔-450≤x ≤450〕。

〔2〕当x=450-100=350〔m 〕时，得
)m (5.495.035050
1y 2
2=+⨯=
； 当x=450-50=400〔m 〕时，得
)m (5.645.040050
1y 2
2=+⨯=。

因而，距离桥两端主塔分别为100m 、50m 处垂直钢索的长分别约为49.5m 、64.5m 。

例2、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一局部．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5cm ，拱高OC ＝0.9cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ．如图(一)在比例图上，以直线AB 为x 轴、抛物线的对称轴为y 轴，以1cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系：如图(二)．
(1)求出图(一)上的这一局部抛物线的图象的函数表达式，写出函数的定义域；
施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米.现以O 点为原点，OM 所在直线为X 轴建立直角坐标系〔如下图〕.
〔1〕直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； 〔2〕求出这条抛物线的函数解析式；
〔3〕施工队方案在隧道门口搭建一个矩形“脚手架〞CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架〞三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和．．．．的最大值是多少？请你帮施工队计算一下.
解：〔1〕()()12,0,6,6M P
〔2〕21
26
y x x =-+.
〔3〕∴当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米
四、课堂小结
本节课我们学习了通过图形之间的关系列出函数解析式，以及用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题
板 书 设 计 一、 创设情境 三、课堂练习
二、 新课教学 四、课堂小结 作 业 设 计
完成教材后带的练习
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课
前
准
备
提前预习教材内容，做到至少属性教材
教学过程一、创设情境、引入新课
上节课我们学习了通过图形之间的关系求函数解析式，以及用二次函数的知识分析解决有关抛物线型的实际问题，这节课我们继续学习利用二次函数解决一些生活中的实际问题
二、例题讲解
行驶中的汽车，在制动后由于惯性作用，还要继续往前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离〞。

为了测定某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表：
现有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5m。

那么交通事故发生时车速是多少？是否因超速〔该段公路最高限速为110km/h〕行驶导致了交通事故？
分析：要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离时，如何求得相应的制动时车速。

题中给出了几组制动距离与制动时车速有关系的数据，为此，求出制动距离与制动时车速的函数关系式是解答此题的关键。

解：1、以制动时车速的数据为横坐标〔x值〕、制动距离的数据为纵坐标〔y值〕，在平面直角坐标系中，描出这些数据的点，如图
制动时车速/km
•h-1
0 10 20 30 40 50
制动距离/m 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5
2、观察途中妙处点的整体分布，它们根本上是在一条抛物线附近，因此，y 〔制动距离〕与x 〔制动时车速〕的关系可以近似地以二次函数来模拟，即设
y=ax 2+bx+c
在数据中，任选三组，如取〔0，0〕、〔10，0.3〕、〔20，1.0〕
分别代入所设函数关系式，得⎪⎩
⎪
⎨⎧++=++==c b 20a 4000.1c b 10a 1003.0c 0
解方程组，得 ⎪⎩
⎪
⎨⎧===0c 01.0b 002.0a
因而，所求函数关系式为y=0.002x 2+0.01x 3、把y=46.5m 代入函数关系式，得 46.5=0.002x 2+0.01x
解方程，得x 1=150〔km/h 〕，x 2=-155〔km/h 〕〔舍去〕
因而，制动时车速为150km/h 〔>110km/h 〕，即在事故发生时，该车属超速行驶。

三、课堂练习
1、某跳水运发动进行10米跳台跳水训练时，身体〔看成一点〕在空中的运动路线是如下图坐标系下经过原点O 的一条抛物线〔图中标出的数据为条件〕。

在跳某个规定动作时，正常情况下，该运发动在空中的最高处距水面102
3米，入水处距池边的距离为4米，同时，运发
动在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否那么就会出现失误。

〔1〕求这条抛物线的解析式；
〔2〕在某次试跳中，测得运发动在空中的运动路线是〔1〕中的抛物线，且运发动在空中
调整好人水姿势时，距池边的水平距离为33
5
米，问此次跳水会不会失
误？并通过计算说明理由
分析：挖掘条件，由条件和图形可以知道抛物线过〔0，0〕〔2，-10〕，
顶点的纵坐标为2 3。

解：〔1〕如图，在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=ax2+bx+c ，由题意知，O、B两点的坐标依次为〔0，
0〕〔2，-10〕，且顶点A的纵坐标为2 3。

∴∴
∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴-b
2a
>0，
又∵抛物线开口向下，∴a<0, b>0，∴a=－25
6
，b=
10
3
，c=0
∴抛物线的解析式为：y=－25
6
x2+
10
3
x
〔2〕当运发动在空中距池边的水平距离为33
5
时，即x=3
3
5
-2=
8
5
时，
y=(－25
6
)×(
8
5
)2+
10
3
×
8
5
=－
16
3
，∴此时运发动距水面高为：10－
16
3
=14
3
<5，
因此，此次试跳会出现失误。

2、心理学家研究发现：一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力y随时间t的变化规律有
如下关系式：
()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<+-≤<≤≤++-=04x 20 380x 702x 10 24010x 0 100x 24x y 2，如下图
〔1〕讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比拟，何时学生的注意力更集中？
〔2〕讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
〔3〕一道数学难题，需要讲解23分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低到达180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力到达所需的状态下讲解完这道题目？
解：
所以，老师经过适当安排，能在学生注意力不低于180的状态下讲解完这道题目。

四、课堂小结
二次函数与实际问题联系紧密，这就要求我们在解决实际问题时，善于用数学的眼光去观察，用数学的思维去分析，用数学的方法去解决，运用函数知识去解决实际问题是十分普遍和重要的。

板 书 设 计 一、 问题引入 三、课堂练习
二、 例题讲解 四、课堂小结 作 业 设 计 课本后面的练习和习题都可以自己完成了
教
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〔2〕不能选x=0，因为此时函数无意义； 〔3〕选整数较好计算和描点．
注：这个问题中最核心的一点是关于x 能否取0的问题，提醒学生注意。

师：你能不能自己完成这道题呢？
学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让学生先连完线之后，找一名同学上黑板连线。

x
… -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
5
6 …
x
6y =
… -1 5
6- 2
3- -2 -3 -6 6 3 2
2
3 5
6 1 …
x
6y -
= (1)
5
6 2
3 2 3 6 -6 -3 -2 23
- 56- -1 …
然后就这名同学的连线加以评价、总结：
〔1〕一般地，反比例函数的图像由两条曲线组成，叫做双曲线； 〔2〕这两条曲线不相交；
〔3〕这两条曲线无限延伸，无限靠近x 轴和y 轴，但永不会与x 轴和y 轴相交。

关于〔3〕可问学生：为什么图像与x 和y 轴不相交？
通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆，又可培养学生思维的灵活性和深刻性
再让学生观察黑板上的图，提问：
1、当k>0时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y 随x 的增大怎样变化？
2、当k<0时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y 随x 的增大怎样变化？
这两个问题由学生讨论总结之后答复，教师板书：
对于双曲线
〔1〕当k>0时，双曲线的两分支位于一、三象限，y 随x 的增大而减少； 〔2〕当k<0时，双曲线的两分支位于二、四象限，y 随x 的增大而增大。

3、反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？ 通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用．
填表分析正比例函数和反比例函数的区别
函数 正比例函数
反比例函数
解析式 y=kx 〔k 为常数，且k ≠0〕
x
k
y
〔k 为常数，且k ≠0〕 图像形状
直线
双曲线
k>0
位置 一三 象限
一三 象限
增减性
y 随x 的增大而增大
y 随x 的增大而减小
k<0
位置 二四 象限
二四 象限
增减性
y 随x 的增大而减小 y 随x 的增大而增大
学习了反比例函数的图像后，我们可以解决与其图像有关的实际问题 例题：P40例3 三、课堂练习 1、P40练习2
2、函数x 2
m y -=的图像在二、四象限，那么m 的取值范围是 ____ 。

3、对于函数x
2k
y =，当x<0时，y 随x 的 而增大，这局部图像在第 象
限。

4、反比例函数y=(2m+1)x m+2m-16, y 随 x 的减小而增大，那么m= ____。

5、k<0,那么函数y 1=kx,x
k
y 2-=在同一坐标系中的图像大致是 ( )
6、k>0,那么函数 y 1=kx+k 与x
k
y 2=
在同一坐标系中的图像大致是( )
7、〔拓展练习〕反比例函数x
8
y -
=与一次函数y=-x+2的图像交于A 、B 两点。

〔1〕求A 、B 两点的坐标；〔2〕求△AOB 的面积。

四、课堂小结 提问：
1、反比例函数的图像是什么样的？
2、反比例函数的性质是什么？ 板 书 设 计
一、 复习引入 三、课堂练习
二、 新课讲授 四、课堂小结。