考研数学二(二次型)模拟试卷10(题后含答案及解析)

考研数学二（二次型）模拟试卷10(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，已知r(A)=2，并且A满足A2－2A=0．则下列各标准二次型(1)2y12+2y22．(2)2y12．(3)2y12+2y32．(4)2y22+2y32．中可用正交变换化为f的是( )．
A．(1)．
B．(3)，(4)．
C．(1)，(3)，(4)．
D．(2)．
正确答案：C
解析：两个二次型可以用正交变换互相转化的充要条件是它们的矩阵相似，也就是特征值一样．从条件可知，A的特征值0，2，2．(1)，(3)，(4)这3个标准二次型的矩阵的特征值都是0，2，2．(2)中标准二次型的矩阵的特征值是0，0，2．知识模块：二次型
2．A=，则( )中矩阵在实数域上与A合同．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：用特征值看：两个实对称矩阵合同<=>它们的特征值正负性相同．｜A｜=－3，对于2阶实对称矩阵，行列式小于0即两个特征值一正一负，于是只要看哪个矩阵行列式是负数就和A合同．计算得到只有D中的矩阵的行列式是负数．知识模块：二次型
3．矩阵A=合同于
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：由矩阵A的特征多项式知矩阵A的特征值为1，3，－2．即二次型正惯性指数p=2，负惯性指数q=1．故应选
B．知识模块：二次型
4．设A，B均为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充要条件是
A．A，B有相同的特征值．
B．A，B有相同的秩．
C．A，B有相同的行列式．
D．A，B有相同的正负惯性指数．
正确答案：D
解析：A是充分条件．特征值一样=>有相同的正、负惯性指数=>合同．但不是必要条件．例如，特征值不同，但A
B．B是必要条件．由CTAC=B，C可逆=>r(A)=r(B)，但不是充分条件．例如，虽r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同．故A与B不合同．C既不必要也不充分．例如，行列式不同但合同，又如，虽行列式相同但不合同．故应选D．知识模块：二次型
填空题
5．二次型f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)2的矩阵是________．
正确答案：
解析：f(x1，x2，x3)=a12x12+a22x22+a32x32+2a1a2x1x2+2a1a3x1x3+2a2a3x2x3，二次型矩阵A= 知识模块：二次型
6．若二次型2x12+x22+x32+2x1x2+2tx2x3的秩为2，则t=________．
正确答案：
解析：r(f)=2，即r(A)=2．因｜A｜中有2阶子式≠0，故r(A)=2｜A｜=0．由知识模块：二次型
7．设三元二次型x12+x22+5x32+2tx1x2－2x1x3+4x2x3是正定二次型，则t∈________．
正确答案：
解析：二次型矩阵A=，顺序主子式△1=1，△2==1－t2＞0，△3=｜A｜=－5t2－4t＞0，所以t∈(，0)．知识模块：二次型
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

8．用配方法化下列二次型为标准型(1)f(x1，x2，x3)=x12+2x22+2x1x2－2x1x3+2x2x3．(2)f(x1，x2，x3)=x1x2+x1x3+x2x3．
正确答案：(1)f(x1，x2，x3)=x12+2x22+2x1x2－2x1x3+2x2x3=[x12+2x1x2－2x1x3+(x2－x3)2]－(x2－x3)2+2x22+2x2x3=(x1+x2－x3)2+x22+4x2x3－x32=(x1+x2－x3)2+x22+4x2x3+4x32－5x32=(x1+x2－x3)2+(x2+2x3)2－5x3)2．原二次型化为f(x1，x2，x3)=y12+y22－5y32．从上面的公式反解得变换公式：变换矩阵(2)这个二次型没有平方项，先作一次变换f(x1，x2，x3)=y12－y22+2y1y3．虽然所得新二次型还不是标准的，但是有平方项了，可以进行配方了：y12－y22+2y1y3=(y1+y3)2－y22－y32．则f(x1，x2，x3)=z12－z22－z32．变换矩阵涉及知识点：二次型
9．已知二次型f(x1，x2，x3)=(1－a)x12+(1－a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．(1)求a．(2)求作正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化为标准形．(3)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．
正确答案：(1)此二次型的矩阵为则r(A)=2，｜A｜=0．求得｜A｜=－8a，得a=0．(2)得A的特征值为2，2，0．对特征值2求两个正交的单位特征向量：得(A－2E)X=0的同解方程组x1－x2=0，求出基础解系η1=(0，0，1)T，η2=(1，1，0)T．它们正交，单位化：α1=η1，α2=．方程x1－x2=0的系数向量(1，－1，0)T和η1，η2都正交，是属于特征值0的一个特征向量，单位化得作正交矩阵Q=(α1，α2，α3)，则作正交变换X=QY，则f化为Y的二次型f=2y12+2y22．(3)f(X)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32．于是f(x1，x2，x3)=0求得通解为：，c任意．涉及知识点：二次型
10．A=，求作一个3阶可逆矩阵P，使得PTAP是对角矩阵．
正确答案：对这样的题，可能会想到构造正交矩阵Q，使得Q－1AQ是对角矩阵，则QTAQ=Q－1AQ是对角矩阵．这样做首先会遇到特征值计算的困难，如本题中的矩阵用本课程的知识是不能求出特征值的．即使可以求出，这个方法的计算量也比较大．一个比较简单的方法是利用与A对应的二次型用配方法标准化，则变换矩阵就是所求．f(x1，x2，x3)=XTAX=x12+4x22－2x32－4x1x2+4x2x3=(x1－2x2)2－2x32+4x2x3 =(x1－2x2)2－2(x2－x3)2+2x22．原二次型化为f(x1，x2，x3)=y12－2y22+2y32．从上面的公式反解得变换公式：变换矩阵涉及知识点：二次型
11．设A是一个可逆实对称矩阵，记Aij是它的代数余子式．二次型(1)用矩阵乘积的形式写出此二次型．(2)f(x1，x2，…，xn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?
正确答案：(1)由于A是实对称矩阵，它的代数余子式Aij=Aji，i，j，并且A－1也是实对称矩阵，其(i，j)位的元素就是4ij｜A｜，于是f(x1，x2，…，xn)=XTA －1X．(2)A－1的特征值和A的特征值互为倒数关系，因此A－1和A的正的特
征值的个数相等，负的特征值的个数也相等，于是它们的正，负惯性指数都相等，从而A－1和A合同，f(x1，x2，…，xn)和XTAX有相同的规范形．涉及知识点：二次型
12．二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a－1)x32+2x1x3－2x2x3．①求f(x1，x2，x3)的矩阵的特征值．②如果f(x1，x2，x3)的规范形为y12+y22，求a．
正确答案：①f(x1，x2，x3)的矩阵为求出B的特征多项式｜λE－B｜=λ3+λ2－2λ=λ(λ+2)(λ－1)，B的特征值为－2，0，1，于是A的特征值为a－2，a，a+1．②因为f(x1，x2，x3)的规范形为y12+y22时，所以A的正惯性指数为2，负惯性指数为0，于是A的特征值2个正，1个0，因此a=2．涉及知识点：二次型
13．已知A是正定矩阵，证明｜A+E｜＞1．
正确答案：此题用特征值较简单．设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则A+E的特征值为λ1+1，λ2+1，…，λn+1．因为A正定，所以λi＞0，λi+1＞1(i=1，2，…，n)．于是｜A+E｜=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)＞1．涉及知识点：二次型
14．已知二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2．a1，a2，…，an满足什么条件时f(x1，x2，…，xn)正定?
正确答案：记y1=x1+a1x2，y2=x2+a2x3，…，yn=xn+anx1，则简记为Y=AX．则f(x1，x2，…，xn)=YTY=XTATAX．于是，实对称矩阵ATA就是f(x1，x2，…，xn)的矩阵．从而f正定就是ATA正定．ATA正定的充要条件是A可逆．计算出｜A｜=1+(－1)n－1a1a2…an．于是，f正定的充要条件为a1a2…an≠(－1)n．涉及知识点：二次型
15．设A和B都是m×n实矩阵，满足r(A+B)=n，证明ATA+BTB正定．
正确答案：用正定的定义证明．显然ATA，BTB都是n阶的实对称矩阵，从而ATA+BTB也是n阶实对称矩阵．由于r(A+B)=n，n元齐次线性方程组(A+B)X=0没有非零解．于是，当α是一个非零n维实的列向量时，(A+n)α≠0，因此Aα与Bα不会全是零向量，从而αT(ATA+BTB)α=αTATAα+αTBTBα=‖Aα‖2+‖Bα‖2＞0．根据定义，ATA+BTB正定．涉及知识点：二次型
16．设A是3阶实对称矩阵，满足A2+2A=0，并且r(A)=2．(1)求A的特征值．(2)当实数后满足什么条件时A+kE正定?
正确答案：(1)因为A是实对称矩阵，所以A的特征值都是实数．假设λ是A的一个特征值，则λ2+2λ是A2+2A的特征值．而A2+2A=0，因此λ2+2λ=0，故λ=0或－2．又因为r(A－0E)=r(A)=2，特征值0的重数为3－r(A－0E)=1，所
以－2是A的二重特征值．A的特征值为0，－2，－2．(2)A+kE的特征值为k，k－2，k－2．于是当k＞2时，实对称矩阵A+kE的特征值全大于0，从而A+kE 是正定矩阵．当k≤2时，A+kE的特征值不全大于0，此时A+kE不正定．涉及知识点：二次型
17．设C=，其中A，B分别是m，n阶矩阵．证明C正定A，B都正定．
正确答案：显然C是实对称矩阵A，B都是实对称矩阵．于是A，B的特征值合起来就是C的特征值．如果C正定，则C的特征值都大于0，从而A，B 的特征值都大于0，A，B都正定．反之，如果A，B都正定，则A，B的特征值都大于0，从而C的特征值都大于0，C正定．涉及知识点：二次型
18．二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为y12+y22，Q 的第3列为．①求A．②证明A+E是正定矩阵．
正确答案：①条件说明于是A的特征值为1，1，0，并且Q的第3列=(1，0，1)T是A的特征值为0的特征向量．记α1=(1，0，1)T，它也是A的特征值为0的特征向量．A是实对称矩阵，它的属于特征值1的特征向量都和α1正交，即是方程式x1+x3=0的非零解．α2=(1，0，－1)T，α3=(0，1，0)T是此方程式的基础解系，它们是A的特征值为1的两个特征向量．建立矩阵方程A(α1，α2，α3)=(0，α2，α3)，两边做转置，得解此矩阵方程②A+E也是实对称矩阵，特征值为2，2，1，因此是正定矩阵．涉及知识点：二次型
19．如果A正定，则Ak，A－1，A*也都正定．
正确答案：从特征值看．设A的特征值为λ1，λ2，…，λn．λi＞0，i=1，2，…，n．则Ak的特征值为λ1k，λ2k，…，λnk．λik＞0，，i=1，2，…，n．设A－1的特征值为λ1－1，λ2－1，…，λn－1．λi－1＞0，i=1，2，…，n．设A*的特征值为｜A｜／λ1，｜A｜／λ2，…，｜A｜／λn．｜A｜／λi＞0，i=1，2，…，n．涉及知识点：二次型
20．设A，B都是n阶正定矩阵，则：AB是正定矩阵<=>A，B乘积可交换．
正确答案：“”AB正定，则对称．于是BA=BTAT=(AB)T=A
B．涉及知识点：二次型
21．设A是一个n阶正定矩阵，B是一个n阶实的反对称矩阵，证明A+B 可逆．
正确答案：证明(A+B)X=0没有非零解．设n维实列向量α满足(A+B)α=0，要证明α=0．注意B是反对称矩阵，αTBα=0(因为αTBα=(αTBα)T=－αTB α．)αTAα=αTAα+αTBα=αT(A+B)α=0由A的正定性得到α=0．涉及知识点：二次型
22．求正交变换化二次型x12+x22+x32－4x1x2－4x2x3－4x1x3为标准形．
正确答案：二次型矩阵A=，由特征多项式得特征值为λ1=λ2=3，λ3=－3．由(3E－A)x=0得基础解系α1=(－1，1，0)T，α2=(－1，0，1)T，即λ=3的特征向量是α1，α2．由(－E－A)x=0得基础解系α3=(1，1，1)T．对α1，α2经Schmidt正交化，有单位化，得那么，令x=Qy，其中Q=(γ1，γ2，γ3)，则有f(x1，x2，x3)=xTAx=yTΛy=3y12+3y22－332．涉及知识点：二次型
23．设A是n阶实对称矩阵，若对任意的n维列向量α恒有αTAα=0，证明A=0．
正确答案：n维向量α恒有αTAα=0，那么令α1=(1，0，0，…，0)T，有类似地，令αi=(0，0，…，0，1，0，…，0)T(第i个分量为1)，由αiTAαi=αii=0 (i=1，2，…，n)．令α12=(1，1，0，…，0)T，则有故a12=0．类似可知aij=0(i，j=1，2，…，n)．所以A=0．涉及知识点：二次型
24．设A是m×n实矩阵，r(A)=n，证明ATA是正定矩阵．
正确答案：由(ATA)T=AT(AT)T=ATA，知ATA是实对称矩阵．又r(A)=n，α≠0，恒有Aα≠0．从而αT(ATA)α=(Aα)T(Aα)=‖Aα‖2＞0．故ATA正定．涉及知识点：二次型
25．已知A=是正定矩阵，证明△=＞0．
正确答案：令，C=C1C2，则C是可逆矩阵，且则A
B．由于A正定，故B正定，从而B的顺序主子式△＞0．涉及知识点：二次型。