云南省昆明市石林一中2015-2016学年高一下学期4月月考数学试卷 含解析

2015—2016学年云南省昆明市石林一中高一（下）4月月考数学
试卷
一、选择题:本大题共12小题，每题5分，共60分．1．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．
2．已知向量,则=( ）A．B．2 C．D．3
3．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ）
A．y=cos(2x+） B．y=sin（2x+）
C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx
4．对任意平面向量，下列关系式中不恒成立的是（)
A． B．
C． D．
5．已知角a的终边与单位圆x2+y2=1交于P（,y），则sin（+2a）=( )
A．﹣ B．1 C． D．﹣
6．设向量，不平行,向量λ+与+2平行，则实数λ=(）
A．B． C．﹣2 D．2
7．已知sin(﹣x）=，则cos（x+)=（) A．B． C．﹣ D．﹣
8．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA 的中点,则（）
A． B．C．
D．
9．若｜｜=，｜|=2且（﹣）⊥，则与的夹角是（）
A．B．C．D．
10．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为BC中点,则=（)
A．﹣3 B．0 C．﹣1 D．1
11．若f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f （t+）=f（﹣t)，且f(）=﹣1则实数m的值等于（）
A．±1 B．﹣3或1 C．±3 D．﹣1或3
12．已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC,若点P的坐标为（2，0）,则|｜的最大值为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题：本大题共4小题，每题5分,共20分．13．函数y=sinxcosx的周期为．
14．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1,0），B （0,2），C(2，0），D 为BC的中点，则= ．15．已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9,﹣8）（m,n∈R)，则m﹣n的值为．
16．化简:（0＜θ＜π）= ．
三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（Ⅰ)求sin(﹣）的值；
（Ⅱ）化简：．
18．已知向量,的夹角为60°，且|｜=2，=(cosα，sinα）．
（Ⅰ）求•；
（Ⅱ)求｜+|．
19．已知α，β都是锐角,sinα=，cos（α+β)=．（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求sinβ的值．
20．函数的一段图象如图所示．
（1）求函数y=f(x)的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递增区间．
21．已知=（sinx,m+cosx），=（cosx，﹣m+cosx），且f（x)=
(1)求函数f（x）的解析式；
（2)当x∈［﹣,]时，f（x）的最小值是﹣4，求此时函数f（x）的最大值,并求出相应的x的值．22．已知定义域为R的函数f（x)=是奇函数．（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；
(Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立,求k的取值范围．
2015—2016学年云南省昆明市石林一中高一(下）4月
月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每题5分,共60分．1．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（) A．B．C．D．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数,
化简求解即可．
【解答】解:sin20°cos10°﹣cos160°sin10°
=sin20°cos10°+cos20°sin10°
=sin30°
=．
故选：D．
2．已知向量，则=( ）A．B．2 C．D．3
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由模长公式可得==，代入已知数据计算可得．
【解答】解：==
==
故选:A
3．下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（)
A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）
C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx
【考点】两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法．
【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．
【解答】解：
y=cos（2x+）=﹣sin2x,是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确
y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为:π，不满足题意，所以B不正确;
y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数,周期为π，所以C不正确；
y=sinx+cosx=sin(x+)，函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；
故选：A．
4．对任意平面向量,下列关系式中不恒成立的是（）
A． B．
C． D．
【考点】向量的模．
【分析】根据平面向量数量积的定义与运算性质，对每个选项判断即可．
【解答】解：对于A，∵｜•｜=｜|×||×|cos＜，＞|，
又|cos＜,＞｜≤1，∴|•｜≤|||｜恒成立，A正确；
对于B，由三角形的三边关系和向量的几何意义得，|﹣|≥|||﹣｜｜|，∴B错误；
对于C，由向量数量积的定义得（+）2=|+|2，C 正确;
对于D,由向量数量积的运算得（+）•（﹣)=2﹣2，∴D正确．
故选:B．
5．已知角a的终边与单位圆x2+y2=1交于P（,y），则sin(+2a）=（）
A．﹣ B．1 C． D．﹣
【考点】二倍角的正弦；任意角的三角函数的定义．【分析】首先求出点P的坐标，再利用三角函数的定义得出a的度数,进而由二倍角公式求出结果即可．【解答】解：∵点P在单位圆上
∴y=±
∴a=或﹣
sin（+2a)=cos2a=2cos2a﹣1=2×（)2﹣1=﹣
故选：A
6．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=（）
A．B． C．﹣2 D．2
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】向量λ+与+2平行，可得：存在实数m使得：λ+=m（+2）,利用平面向量基本定理即可得出．【解答】解：∵向量λ+与+2平行，
∴存在实数m使得：λ+=m（+2），
∴，解得．
故选：B．
7．已知sin（﹣x）=，则cos（x+）=（) A．B． C．﹣ D．﹣
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】利用诱导公式，可得cos（x+)=sin(﹣x）,即可得出结论．
【解答】解:∵﹣x+x+=，
∴cos（x+)=sin（﹣x)=．
故选A．
8．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA 的中点，则（）
A． B．C．
D．
【考点】向量加减混合运算及其几何意义．
【分析】根据向量的四则运算进行求解即可．
【解答】解：∵D，E，F分别是△ABC的边AB,BC，CA的中点,
∴=，=，=，
则++=++=（++）=，
故选：A
9．若｜|=，||=2且（﹣）⊥，则与的夹角是（）
A．B．C．D．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】利用向量垂直的充要条件列出方程,利用向量的运算律化简等式，利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦值，求出向量的夹角．
【解答】解：设向量的夹角为θ，
∵,
∴，
∴，
即2﹣2cosθ=0，
∴,
∵0≤θ≤π，
∴，
故选B．
10．如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°，E为BC中点，则=（）
A．﹣3 B．0 C．﹣1 D．1
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】利用向量的运算法则和数量积的计算公式即可得出．
【解答】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴==2．
又E为BC中点，∴．
∴
===
==﹣1,
故选C．
11．若f（x）=2cos（ωx+φ）+m,对任意实数t都有f （t+)=f(﹣t)，且f（）=﹣1则实数m的值等于( ）A．±1 B．﹣3或1 C．±3 D．﹣1或3
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】通过f（t+）=f（﹣t）,判断函数的对称轴，就是函数取得最值的x值，结合f（）=﹣1，即可求出m的值．
【解答】解：因为f（x）=2cos（ωx+φ)+m，对任意实数t都有f(t+)=f(﹣t），
所以函数的对称轴是x=，就是函数取得最值,又f（）=﹣1，
所以﹣1=±2+m,所以m=1或﹣3．
故选B．
12．已知A，B,C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0）,则|｜的最大值为（) A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】圆的切线方程．
【分析】由题意,AC为直径，所以｜｜
=|2+|．B为（﹣1，0）时，|2+｜≤7,即可得出结论．
【解答】解：由题意，AC为直径，所以｜|=｜2+｜
所以B为（﹣1，0)时，｜2+|≤7．
所以｜｜的最大值为7．
故选：B．
二、填空题:本大题共4小题，每题5分，共20分．13．函数y=sinxcosx的周期为π．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用二倍角公式以及函数的周期求解即可．【解答】解:函数y=sinxcosx=sin2x的周期为：
T==π．
故答案为：π．
14．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣1，0）,B （0，2），C(2，0）,D 为BC的中点，则= (2，1）．【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】求出中点坐标,利用向量的坐标运算求解即可．
【解答】解：△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1,0），B（0,2），C（2，0)，
D 为BC的中点（1，1)，则=(2，1）．
故答案为：（2，1)．
15．已知向量=（2,1），=（1,﹣2)，若m+n=（9,﹣8）(m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3 ．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】直接利用向量的坐标运算，求解即可．
【解答】解：向量=（2，1),=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）
可得，解得m=2,n=5，
∴m﹣n=﹣3．
故答案为:﹣3．
16．化简：（0＜θ＜π）= ﹣cosθ．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】依题意，可求得cos＞0，利用二倍角的正弦与余弦公式将所求关系式化简约分即可．
【解答】解：∵0＜θ＜π，
∴0＜＜，
∴cos＞0,
∴原式=
=
=﹣
=﹣cosθ，
故答案为:﹣cosθ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（Ⅰ）求sin(﹣）的值；
(Ⅱ）化简:．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】（Ⅰ）利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解sin(﹣）的值；
(Ⅱ)直接利用诱导公式化简
即可．
【解答】解：（Ⅰ)sin（﹣）=sin=；
（Ⅱ）
==1．
18．已知向量，的夹角为60°，且｜|=2，=(cosα，sinα）．
（Ⅰ）求•;
（Ⅱ）求｜+|．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（Ⅰ）根据向量数量积的定义进行求解即可．（Ⅱ)根据向量模长的公式以及向量数量积的定义进行求解．
【解答】（Ⅰ）∵=（cosα，sinα）．
∴||==1．
则•=||•｜｜cos60°=1×=1；
（Ⅱ)｜+｜===．
19．已知α，β都是锐角,sinα=，cos（α+β)=．(Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求sinβ的值．
【考点】二倍角的正切．
【分析】（Ⅰ)由已知和同角三角函数关系式可先求cosα，tanα的值，由二倍角的正切公式即可求tan2α的值．
(Ⅱ)由已知先求得sin（α+β）的值,根据sinβ=sin[（α+β）﹣α］，由两角差的正弦公式展开代入即可求值．
【解答】
解：（Ⅰ）∵α∈（0，)，sinα=，
∴==
∴tanα==
∴tan2α==﹣．
（Ⅱ)∵α，β∈（0，)，∴α+β∈（0,π)，cos（α+β）=
∴sin（α+β)=
∴sinβ=sin［（α+β）﹣α]=sin（α+β)cosα﹣cos(α+β）sinα=
=．
20．函数的一段图象如图所示．
(1）求函数y=f（x)的解析式;
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到y=g（x）的图象,求函数y=g（x）的单调递增区间．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】（1)通过函数的图象求出A、T，然后求出周期，通过图象经过,求出函数的初相，即可求函数y=f(x）的解析式；
（2）利用函数y=f（x)的图象向右平移个单位,得到y=g（x）的图象，求出解析式，利用正弦函数的单调性，求函数y=g（x)的单调递增区间．
【解答】解：（1）从图中可得A=2，T=π，∴ϖ=2，f（x）=2sin(2x+ϕ），把代入得,,
f（x）=2sin．
(2）函数y=f（x)的图象向右平移个单位,得到y=g（x)的图象，
∴g（x）=2sin=．
∴，
，k∈Z,
解得x．
函数的单调增区间是．
21．已知=（sinx，m+cosx)，=（cosx，﹣m+cosx）,且f（x)=
（1）求函数f(x）的解析式；
（2）当x∈[﹣，]时,f(x）的最小值是﹣4，求此时函数f（x)的最大值，并求出相应的x的值．
【考点】三角函数的最值；平面向量数量积的运算．【分析】（1）f（x）=•=（sinx，m+cosx）•（cosx，﹣m+cosx）=．
(2)函数f（x）=，根据，求得,得到,从而得到函数f（x）的最大值及相应的x的值．
【解答】解:(1)f（x）=•=（sinx，m+cosx)•（cosx,﹣m+cosx），
即=，
（2）∵f（x）=，由，可得
,
∴,∴f（x)的最小值为，∴m=±2，
∴f max（x）=1+﹣4=﹣,此时，，即．22．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．
【考点】函数恒成立问题;函数奇偶性的性质；二次函数的性质;利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）利用奇函数定义f（x）=﹣f（x）中的特殊值f（0）=0求b的值；
（Ⅱ)设x1＜x2然后确定f（x1)﹣f（x2）的符号,根据单调函数的定义得到函数f（x）的单调性；
(III)结合单调性和奇函数的性质把不等式f（t2﹣2t）+f(2t2﹣k)＜0转化为关于t的一元二次不等式,最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．
【解答】解:（Ⅰ）因为f（x)是奇函数,所以f（0）=0，即⇒b=1，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
设x1＜x2则f（x1）﹣f(x2）=﹣=
因为函数y=2x在R上是增函数且x1＜x2∴f（x1）﹣f （x2）=＞0
即f(x1）＞f(x2）
∴f（x)在（﹣∞，+∞）上为减函数
（III）f（x）在（﹣∞,+∞）上为减函数，又因为f （x)是奇函数，
所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0
等价于f(t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即对一切t∈R有:3t2﹣2t﹣k＞0，
从而判别式．
所以k的取值范围是k＜﹣．
2016年11月1日。