2016年高考文数热点题型和提分秘籍专题10函数模型及其应用剖析.

【高频考点解读】
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
【热点题型】
题型一二次函数模型
【例1】A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．
(1)求x的取值范围；
(2)把月供电总费用y表示成x的函数；
(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？
【提分秘籍】
实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调性、零点解决，解题中一定注意函数的定义域．【举一反三】
某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，
若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A ．10.5万元
B ．11万元
C ．43万元
D ．43.025万元
解析 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2
＋2(16－x )＝－0.1x 2
＋2.1x ＋32＝－0.1(x －212)2＋0.1×
21
2
4
＋32.因为x ∈[0，16]且x ∈N，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．
答案 C
题型二 指数函数、对数函数模型
【例2】世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0，10
0.007 5
≈1.017)( )
A ．1.5%
B ．1.6%
C ．1.7%
D ．1.8%
解析 设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x )40
＝2，两边取以10为底的对数，则40 lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240
≈0.007 5，所以100.007 5
＝1＋x ，得1＋x ＝1.017，所以
x ＝1.7%.
答案 C 【提分秘籍】
在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1＋p )x
(其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．
【举一反三】
某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A ．略有盈利
B ．略有亏损
C ．没有盈利也没有亏损
D ．无法判断盈亏情况
解析 设该股民购这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n
＝
a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)
n ＝0.99n
·a ＜a ，故该股民这支股票略有亏损．
答案 B
题型三 分段函数模型
【例3】 某旅游景点预计2015年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *
，且x ≤12)．已知第x 个月的人均
消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧35－2x （x ∈N *
，且1≤x ≤6），160x
（x ∈N *
，且7≤x ≤12）. (1)写出2015年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：人)与x 的函数关系式； (2)试问2015年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？ 解 (1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37， 当2≤x ≤12，且x ∈N *
时，
f (x )＝p (x )－p (x －1)
＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2
＋40x ， 验证x ＝1也满足此式，
所以f (x )＝－3x 2
＋40x (x ∈N *
，且1≤x ≤12)．
【提分秘籍】
(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数． (2)求函数最值常利用基本不等式法、
导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．
【举一反三】
某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.
某人在此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元，则y 关于x 的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧0，0＜x ≤800，5%（x －800），800＜x ≤1 300，10%（x －1 300）＋25，x ＞1 300.
若y ＝30元，则他购物实际所付金额为________元．
解析 若x ＝1 300元，则y ＝5%(1 300－800)＝25(元)＜30(元)，因此x ＞1 300. ∴由10%(x －1 300)＋25＝30，得x ＝1 350(元)． 答案 1 350 【高考风向标】
【2015高考上海，文21】（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.
如图，C B A ,,三地有直道相通，5=AB 千米，3=AC 千米，4=BC 千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为)(t f （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地.
（1）求1t 与)(1t f 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11≤≤t t 时，求)(t f 的表达式，并判断)(t f 在]1,[1t 上得最大值是否超过3？说明理由.
【答案】（1）h 83
，
8
41
3千米；（2）超过了3千米.
【2015高考四川，文8】某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系kx b
y e
+=( 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0℃的保
鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )
(A )16小时 (B )20小时 (C )24小时 (D )21小时 【答案】C
【解析】由题意，2219248b
k b e e +⎧=⎪⎨=⎪⎩得1119212
b
k
e e
⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b
＝3
1()2
×192＝24(小时)
（2014·北京卷）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2
＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，图1­2记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
图1­2
A ．3.50分钟
B ．3.75分钟
C ．4.00分钟
D ．4.25分钟 【答案】B
【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解之得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，
∴p ＝－0.2t 2
＋1.5t －2＝－0.2(t －3.75)2
＋0.8125，即当t ＝3.75时，p 有最大值． （2014·陕西卷）如图1­2所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )
图1­2
A ．y ＝12x 3－12x 2
－x
B ．y ＝12x 3＋12x 2
－3x
C ．y ＝14
x 3
－x
D ．y ＝14x 3＋12x 2
－2x
【答案】A
【解析】由题意可知，该三次函数的图像过原点，则其常数项为0，不妨设其解析式为
y ＝f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∴f ′(0)＝－1，f ′(2)＝3，可得c ＝
－1，3a ＋b ＝1.又y ＝ax 3＋bx 2
＋cx 过点(2，0)，∴4a ＋2b ＝1，∴a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，
∴y ＝f (x )＝12x 3－12
x 2
－x .
【高考押题】
1．下表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是 ( )
A ．一次函数模型
B ．幂函数模型
C ．指数函数模型
D ．对数函数模型
解析 根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．
答案 A
2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是
( )
解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A ，C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.
答案 A
3．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 ( )
A.
p ＋q
2
B.
（p ＋1）（q ＋1）－1
2
C.pq
D.（p ＋1）（q ＋1）－1
解析 设两年前的年底该市的生产总值为a ，则第二年年底的生产总值为a (1＋p )(1＋
q )．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则a (1＋x )2＝a (1＋p )(1＋q )，由于连续两年
持续增加，所以x ＞0，因此x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1，故选D.
答案 D
4．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为
( ) A ．10
B ．11
C ．13
D ．21
答案 A
5.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差 ( )
A ．10元
B ．20元
C ．30元 D.403元
解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，
B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，
当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝1
5
，
t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×1
5
－20＝10.
答案 A
6. A 、B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出．A 从甲地自东向西行驶．B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40 km h ，B 的速度是 16 km
h ，经过________
小时，AB 间的距离最短．
解析 设经过x h ，A ，B 相距为y km ，
则y ＝（145－40x ）2＋（16x ）2
(0≤x ≤298)，求得函数的最小值时x 的值为258.
答案
25
8
7．一个容器装有细沙a cm 3
，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y ＝a e
－bt
(cm 3
)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过
________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.
解析设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得x
40＝
40－y
40
，解得y＝40－x，
所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，S max＝400.
答案20
9.在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
10．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：θ＝m·2t ＋21－t(t≥0，并且m＞0)．
(1)如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；
(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤ 20时，年销售总收入为(33x －x 2
)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．
解析 当0＜x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2
＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .
故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *)． 当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2
＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润．
答案 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *) 16 14.某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板AB 长为2 m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3 m ，CE ＝5 m ，CF ＝6 m ，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点h m(h ≥1)时达到距水面最大高度4 m ，规定：以CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．
(1)当h ＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；
(2)若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h 的取值范围．
解 (1)由题意知最高点为(2＋h ，4)，h ≥1，
设抛物线方程为y ＝a [x －(2＋h )]2
＋4，
当h ＝1时，最高点为(3，4)，方程为y ＝a (x －3)2＋4，
将A (2，3)代入，得3＝a (2－3)2＋4，解得a ＝－1.
∴当h ＝1时，跳水曲线所在的抛物线方程为 y ＝－(x －3)2＋4.
(2)将点A (2，3)代入y ＝a [x －(2＋h )]2＋4
得ah 2＝－1，所以a ＝－1h 2. 由题意，得方程a [x －(2＋h )]2＋4＝0在区间[5，6]内有一解．
令f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h 2[x －(2＋h )]2＋4， 则f (5)＝－1h 2(3－h )2＋4≥0，且f (6)＝－1h 2(4－h )2＋4≤0.解得1≤h ≤43
. 达到压水花的训练要求时h 的取值范围为[1，43
].。