2024版年度大学微积分课件PPT大纲

否高于分母。
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06
定积分及其应用
2024/2/2
27
定积分的概念与性质
2024/2/2
定积分的定义
通过分割、近似、求和、取极限四步曲，将曲边梯形的面积问题 转化为定积分问题。
定积分的性质
包括线性性质、可加性、保号性等，这些性质在定积分的计算和 应用中起到重要作用。
定积分的几何意义
定积分可以表示平面图形的面积、平面曲线的弧长等几何量。
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THANK YOU
感谢聆听
2024/2/2
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微积分基本定理
微积分基本定理的内容
揭示了定积分与原函数（或不定积分）之间的 内在联系，是定积分计算的理论基础。
微积分基本定理的证明
通过构造辅助函数，利用罗尔定理证明微积分 基本定理。
微积分基本定理的应用
利用原函数计算定积分，简化定积分的计算过程。
2024/2/2
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定积分的换元法与分部积分法
分部积分法的注意事项
选择合适的u和dv，以便更容易地求解不定积分。
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有理函数的积分
01
有理函数的定义
分子和分母均为多项式的函数。
02
有理函数的积分方法
先将有理函数分解为部分分式之和，再对每个部分分式进行积分。
2024/2/2
03
有理函数积分的注意事项
在分解部分分式时，要注意分母多项式的根的情况，以及分子的次数是
反函数的导数
反函数导数与原函数导数的关系。
14
高阶导数
2024/2/2
高阶导数的定义
01
函数导数的导数称为二阶导数，二阶导数的导数称为三阶导数，
以此类推。
高阶导数的几何意义
02
高阶导数在几何上表示曲线在某一点的曲率变化。
高阶导数的计算
03
逐次求导法则，以及莱布尼茨公式等。
15
微分及其在近似计算中的应用
19
函数的单调性与极值
1
单调性判断 通过求导数并判断其符号来确定函数的单调性。
2 3
极值求法 通过求导数并令其等于0来找到可能的极值点， 再通过判断二阶导数的符号来确定极值类型（极 大值或极小值）。
应用举例 函数的单调性与极值在研究函数性质、解决实际 问题（如优化问题）等方面有着广泛的应用。
2024/2/2
100%
连续性的判定方法
介绍判定函数连续性的方法及步骤， 包括直接法、定义法、极限法等。
80%
间断点及其分类
讨论函数不连续点的概念、分类及 判定方法。
2024/2/2
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03
导数与微分
2024/2/2
12
导数的概念与几何意义
导数的定义
导数描述了函数在某一点的变 化率，即函数值随自变量变化 的快慢程度。
微积分的创立
牛顿与莱布尼茨的独立发展及符号体系的建立。
微积分的严格化
柯西等数学家对微积分基础理论的完善与严密化。
2024/2/2
4
微积分的重要性及应用领域
重要性
微积分是高等数学的基础，对于理解现实世界的变化规律具有重要 意义。
2024/2/2
应用领域
物理学、经济学、工程学、生物学等多个学科领域的广泛应用。
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课程目标与学习要求
2024/2/2
课程目标
掌握微积分的基本概念、基本理论和 基本方法，培养逻辑思维能力和解决 实际问题的能力。
学习要求
认真听讲、积极思考、独立完成作业， 注重理论与实践相结合。
6
02
极限与连续
2024/2/2
7
极限的概念与性质
02
01
03
2024/2/2
极限的定义
描述函数或数列在某一点或无穷远处的变化趋势。
多元函数的表示Байду номын сангаас 法
多元函数的几何意 义
设D为一个非空的n元有序数组 的集合，f为某一确定的对应规 则。对于数集D中的任意一个n 元有序数组，通过对应规则f， 都有唯一的一个实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在D上的n 元函数。
多元函数通常用f(x1,x2,…,xn)表 示，其中x1,x2,…,xn是自变量， 表示n维空间中的点，f是因变量， 表示实数域中的一个数。
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曲线的凹凸性与拐点
凹凸性判断
通过求二阶导数并判断其符号来确定曲线的凹凸性。
拐点求法
通过求二阶导数并令其等于0来找到可能的拐点，再 通过判断三阶导数的符号来确定拐点类型。
几何意义
曲线的凹凸性与拐点反映了曲线的局部形状特征，对 于研究函数的图像和性质具有重要意义。
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05
不定积分
极限的性质
包括唯一性、有界性、保号性等，是求解极限问题的基 础。
极限存在的条件
阐述函数或数列极限存在的充分必要条件。
8
极限的运算法则
极限的四则运算法则
阐述在极限运算中，和、差、积、商 的极限运算法则。
极限的换元法与夹逼准则
介绍换元法和夹逼准则在求解极限问 题中的应用。
极限的复合运算法则
讨论复合函数的极限运算法则及注意 事项。
2024/2/2
要点三
多元函数极值的充分 条件
若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内 具有二阶连续偏导数，且fx(x0,y0)=0， fy(x0,y0)=0，令fxx(x0,y0)=A， fxy(x0,y0)=B，fyy(x0,y0)=C，则当 AC-B²>0时，若A<0，函数f(x,y)在点 (x0,y0)取得极大值；若A>0，函数 f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值；当ACB²<0时，函数f(x,y)在点(x0,y0)无极值； 当AC-B²=0时，需要用其他方法来判 定函数f(x,y)
2024/2/2
定积分的换元法
通过变量代换，将复杂的被积函数转化为简单的被 积函数，便于计算。
定积分的分部积分法
将被积函数拆分为两个函数的乘积，通过分部积分 公式进行计算。
换元法与分部积分法的综合应用
结合换元法和分部积分法，解决更复杂的定积分计 算问题。
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定积分在几何与物理中的应用
定积分在几何中的应用
2024/2/2
微分的定义
微分是函数增量的线性部分，即在一个数集中，当一个数 靠近时，函数在这个数处的极限被称为函数在该处的微分。
微分的几何意义
微分在几何上表示曲线在某一点附近的切线纵坐标的增量。
微分在近似计算中的应用
利用微分进行函数值的近似计算，如泰勒公式、微分中值 定理等。同时，微分还在误差估计、最优化方法等方面有 广泛应用。
大学微积分课件PPT大纲
2024/2/2
1
目
CONTENCT
录
2024/2/2
• 引言 • 极限与连续 • 导数与微分 • 微分中值定理与导数的应用 • 不定积分 • 定积分及其应用 • 多元函数微积分
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01
引言
2024/2/2
3
微积分的起源与发展
早期微积分思想的萌芽
古代数学中的极限思想与无穷小分割。
多元函数可以看作是n维空间到 一维空间的一个映射，它将n维 空间中的点映射到实数轴上。
2024/2/2
33
偏导数
2024/2/2
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)，如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处 关于x的偏导数。
2024/2/2
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一 点的切线斜率。
可导与连续的关系
函数在某点可导则一定连续， 但连续不一定可导。
13
导数的运算法则
基本初等函数的导数公式
包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函 数、三角函数等。
复合函数的导数
链式法则的应用。
2024/2/2
导数的四则运算法则
和、差、积、商的导数计算法则。
偏导数的几何意义
偏导数表示固定其他变量时，函数值随某一变量的变化率。在二元函数中，偏导数表示曲面在某一点处关于 某一坐标轴的切线斜率。
偏导数的计算
偏导数可以通过对多元函数求导得到，具体计算方法与一元函数类似，只需将其他变量看作常数即可。
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全微分
全微分的定义
设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内 有定义，P′(x+Δx,y+Δy)为这邻域内的 任意一点，在Δx、Δy同时趋于0时， 若极限lim[(Δz(fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy))/ρ]=0 （ρ=√[(Δx)²+(Δy)²]），则称函数 z=f(x,y)在点P(x,y)可微分，并称 fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy为函数z=f(x,y)在 点P(x,y)的全增量Δz的线性主部，记为 dz即dz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy，称为函 数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分。
多元函数的极值是指在函数的定义域内， 存在一个邻域，使得在这个邻域内，函 数的值都不大于（或都不小于）该点的 函数值，则该点称为函数的极大值点 （或极小值点）。
要点二
多元函数极值的必要 条件
若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)存在极值， 且f(x,y)在点(x0,y0)可微，则f(x,y)在点 (x0,y0)的梯度为零向量，即 fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0。
2024/2/2
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不定积分的概念与性质
不定积分的定义
原函数与导函数之间的关系， 通过积分表或积分公式求原函 数。
不定积分的性质
线性性、可加性、积分常数等。
基本积分表
熟记基本初等函数的积分公式。
2024/2/2
23
换元积分法
2024/2/2
第一类换元法（凑微分法）
通过凑微分，将复杂的不定积分转化为基本积分形式。
2024/2/2
全微分的几何意义
全微分表示函数在一点附近的变化量 可以近似地用一个线性函数来代替， 这个线性函数就是全微分。
全微分的计算
全微分可以通过偏导数来计算，具体 公式为dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy，其中 dx和dy分别表示x和y的微分。
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多元函数的极值及其求法
要点一
多元函数的极值
第二类换元法
利用三角代换、根式代换等方法，将不定积分转化为更易于求解的 形式。
常用的换元技巧
三角恒等变换、倒代换等。
24
分部积分法
2024/2/2
分部积分法的原理
利用乘积的求导法则，将复杂的不定积分转化为更简单的形式。
分部积分法的应用
适用于被积函数为两个函数乘积的情况，特别是其中一个函数为多 项式时。
2024/2/2
9
无穷小量与无穷大量
无穷小量的定义与性质
阐述无穷小量的概念、性质及与极限的关系。
无穷大量的定义与性质
介绍无穷大量的概念、性质及与极限的联系。
2024/2/2
无穷小量与无穷大量的关系
讨论无穷小量与无穷大量之间的联系与转换。
10
连续性的概念与判定
80%
连续性的定义
阐述函数在某一点连续的概念及充 要条件。
率。
应用场景
微分中值定理在证明其他定理、 研究函数性质以及解决实际问题
中有着广泛的应用。
2024/2/2
18
洛必达法则
法则内容
在一定条件下，通过分子分母 分别求导再求极限来确定未定
式值的方法。
2024/2/2
适用条件
分子分母的极限都是0或都是 无穷大时，可以运用洛必达法
则求极限。
注意事项
在运用洛必达法则时，需要注 意满足一定的条件，如分子分 母必须可导且导数不为0等。
16
04
微分中值定理与导数的应用
2024/2/2
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微分中值定理
定理内容
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连 续，在开区间(a,b)内可导，那么 在(a,b)内至少存在一点c，使得
f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
几何意义
微分中值定理表明，在闭区间上 连续且开区间内可导的函数，其 图像上至少存在一点，该点的切 线斜率等于区间两端点连线的斜
包括计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、 旋转体的体积等。
定积分在物理中的应用
包括计算变力做功、液体静压力、质心坐标 等物理量。
定积分在实际问题中的应用
结合实际问题，建立数学模型，利用定积分 解决实际问题。
2024/2/2
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07
多元函数微积分
2024/2/2
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多元函数的基本概念
多元函数的定义