广东省东莞市高三数学上学期12月月考试题 理 新人教A

2 2
侧视图
2 2
2 正视图
俯视图
（3题图）
2011年12月东莞中学松山湖学校高三月考理科数学试题
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1．已知复数_
212i
z i
+=
-，则复数z = （ ） （A ）3
5
i （B ）35i - （C ）i （D ）i -
2．下列函数中，既是偶函数、又在区间()10-，单调递增的函数是 （ ）
（A ）1y x =+ （B ）2
1y x =+ （C ）2
x
y -= （D ）cos y x =-
3．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ).
（A ）223π+ （B ） 423π+
（C ） 232π+
（D ）23
4π+ 4、函数ln y x =在1
x e
=处的切线与坐标轴所围图形的面积是（ ）
（A ）1e （B ）2e （C ）4
e
（D ）2e
5．若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪
+⎨⎪⎩
，，，≥≥≤则23x y z +=的最小值是 （ ）
（A ）0
（B ）1
（C 3
（D ）9
6．有四个关于三角函数的命题：（ ）
2
211
:,sin cos 222
x x p x R ∃∈+= 2:,sin()sin sin p x y R x y x y ∃∈-=-、 []31cos 2:0,sin 2x p x x π-∀∈= 4:sin cos 2
p x y x y π
=⇒+= 其中假命题的是 （ ）
（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （C ）1p ，3p （D ）2p ，4p 7．离散型随机变量X ～====)2(,5
6
)(,3)(),,(X P X D X E p n B 则且（ ） （A ）
72625 （B ）144625 （C ）15 （D ）72
3125
8．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数
（13题图）
（8题图）
的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1
n
(n ≥2)，
每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋1
6
，
13＝14＋1
12
，…，则第9行第4个数(从左往右数)为（ ） （A ）1168 （B ）1252 （C ）1504 （D ）1
840
二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分) 9．已知212sin 2cos ,13cos ABC α
ααα
∆=-
=是的一个内角，且则 10． 已知向量(
)2,1,10,||a a b a b =⋅=+=r r r r r ，则||_____b =r
11．5()a x x
+（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数_____a = 12．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是
13．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动。

设顶点P （x ，y ）的轨迹方程是()y f x =，则()f x 的最小正周期为 ；()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积为 。

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中的一题，两题全答的，只计算前一题的得分.
14.（几何证明选讲选做题）如图，点,,A B C 是圆O 上的点, 且2,6,120AB BC CAB ==
∠=o ,则AOB ∠对应的劣弧长为 ．
15. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2ρ=上的点
到直线()
6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值是 .
三．解答题：(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
解答写在答题卡的指定区域内.)
16、( 本小题满分12分) 已知{}n a 是公差不为零的等差数列,11391,,,a a a a =且成等比数列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项; （Ⅱ）求数列{2}n a
的前n 项和n S
17、（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =. （I ）求角C 的大小； （II ）求3sin cos()4
A B π
-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．
18、（本小题满分14分）
在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，
23SA SC ==，M 、N 分别为AB 、SB 的中点。

（Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；
（Ⅱ）求二面角N CM B --的余弦值；
19. （本小题满分14分）
某同学参加3门课程的考试。

假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为
4
5
，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p ＞q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。

记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
第14题图
O
B
A
ξ 0 1 2 3
p
6125
a b
24125
(Ⅰ)(Ⅱ)求p ，q 的值； (Ⅲ)求数学期望E ξ。

20. （本小题满分14分） 已知函数2
()ln f x a x bx
=-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为
22ln 23++-=x y ． (Ⅰ）求b a ,的值；
（Ⅱ）若方程()0f x m +=在1[,]e e
内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底数）；
（Ⅲ）令()()g x f x kx =-，若()g x 的图象与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x (其中
12x x <)，AB 的中点为0(,0)C x ，求证：()g x 在0x 处的导数/0()0g x ≠．
21．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 和{}n b 满足11a b =，且对任意*
n N ∈都有1n n a b +=，
121n n n n
a b
a a -=-. (1)求数列{}n a 和{}n
b 的通项公式； (2)证明：
()31324122341223ln 1n n n n
a a a
a a a a a n
b b b b b b b b --++++<+<++++L L . 2011年11月东莞中学松山湖学校高三月考理科数学试题参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 D
C
C
B
B
A
B
C
9. 5
6
-
10. 5 11. 2 12. 14 13. 4，1π+
14.
2
2
. 15.１.
三、解答题 16：（本题满分12分） 解：（Ⅰ）由题设知公差0d ≠，
由11391,a a a a =、、成等比数列，得
1218112d d
d
++=
+……………………………4分 解得1,0d d ==（舍去）……………………………………………………6分 故{}n a 的通项()111n a n n =+-⨯=…………………………………………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2
2n
a n =…………………………………………9分
由等比数列前n 项和公式得()23121222222212
n n
n n S +-=++++==--L ………………
12分
17. （本题满分12分） 解：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =…………………………2分 因为0,A π<<所以sin 0A >,从而sin cos .C C =………………………3分 又cos 0C ≠，所以tan 1C =，则4
C π
=………………………………5分
（II ）由（I ）知3.4
B A π
=
-于是
cos()cos()cos 2sin().46
A B A A A A A ππ
π-+=--=+=+……
…
8
分
3110,,46612
A A ππππ<<
∴<+<Q ………………………………………………………………9分
从而当,,6
2
3
A A π
π
π
+=
=
即时 2sin()6A π
+取最大值2．…………………………………
11分
cos()4
A B π
-+的最大值为2，
此时5,.3
12
A B π
π
==
………………………12分
18. （本题满分14分）
解：解法一：（Ⅰ）取AC 中点D ，连结SD 、DB .
SA SC AB BC AC SD ==∴⊥Q ，，且AC BD ⊥，…………………………………2分
AC SBD ∴⊥平面， 又SD SBD AC SB ⊂∴⊥平面， (4)
分
（Ⅱ）AC SBD AC ABC SBD ABC ⊥⊂∴⊥Q 平面，平面，
平面平面. 过N 作NE BD ⊥于E ，则NE ABC ⊥平面，过E 作EF CM ⊥于F ，连结NF ， 则
NF CM ⊥.
∴NFE ∠为二面角N CM B --的平面角. ………………………………………6分
SAC ABC SD AC SD ABC ⊥⊥∴⊥Q 平面平面，，平面。

又∵NE ABC ⊥平面，∴NE SD P .
∵221111242222
SN NB NE SD SA AD =∴==-=-=，ED EB =. 在正ABC ∆中，由平几知识可求得11
42
EF MB ==，
在RT NEF ∆中，1
tan 22,3EN NFE COS NFE EF ∠==∴∠=
∴二面角N CM B --的余弦值为3
1
. ……………………………………………9分
（Ⅲ）在Rt NEF ∆中， 22
32
NF EF EN =+=，
131
3,23222
CMN CMB S CM NF S BM CM ∆∆=⋅==⋅=…………………………………
10分
设点B 到平面CMN 的距离为h ，,B CMN N CMB V V NE --=⊥Q 平面CMB ，
11
33
CMN CMB S h S NE ∴⋅=⋅， 423
CMB CMN S NE h S ⋅∴=
=
即点B 到平面CMN 的距离为32
4. ……………………………14分
解法二：（Ⅰ）取AC 中点O ，连结OS 、OB.∵SA=SC ，AB=BC ， ∴AC ⊥SO 且AC ⊥BO.
∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC ∩平面ABC=AC ∴SO ⊥面ABC ，∴SO ⊥BO.
如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.………………………………2分 则A （2，0，0），B （0，23，0）， C （-2，0，0），S （0，0，22）， M(1，3，0)，N(0，3，2).
∴AC =（-4，0，0），SB =（0，23，22），
∵AC ·SB =（-4，0，0）·（0，23，22）=0，……3分 ∴AC ⊥SB.………………………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得()(3,0,2CM MN ==-u u u u r u u u u r .设(),,n x y z =r
为平面CMN 的一个
法向量，
330
20
CM n x MN n x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u u r r u u u u
r r ， 则取1z =，则2,6x y == 6分
又(OS =u u u r
为平面ABC 的一个法向量，
∴()
1cos ,3
n OS n OS n OS ⋅==⋅r u u u r
r u u u r r u u u r .………………………………………………8分
∴二面角N CM B --的余弦值为
3
1
.………………………………………………9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）
（Ⅱ）得(
))
,MB n =-=u u u r r
为平面CMN 的一个法向量，
∴点B 到平面CMN
的距离3
n MB d n ⋅==
r u u u r
.……………………………12分 19. （本题满分14分）
解：事件i A 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i =1,2,3，由题意知 14
()5
P A =，2()P A p =，3()P A q =…………………1分 （I ）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“0ξ=”是对立的，所以
该
生
至
少
有
1
门
课
程
取
得
优
秀
成
绩
的
概
率
是
6119
1(0)1125125
P ξ-==-
=
，…………………4分 （II ）由题意知 12316
(0)()(1)(1)5125P P A A A p q ξ===--=
123424
(3)()5125
P P A A A pq ξ====
整理得 6
125
pq =，1p q +=
由p q >，可得35p =，2
5
q =. …………………9分
（III ）由题意知123123123(1)()()()a P P A A A P A A A P A A A ξ===++
=411(1)(1)(1)(1)555p q p q p q --+-+- 37
125
=
(2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-= =58
125
0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==9
5
…………………14分
20．（本题满分14分）
解：（Ⅰ）()2a f x bx x '=-，()242
a
f b '=-，()2ln 24f a b =-．
∴432
a
b -=-，且ln2462ln22a b -=-++． …………………… 2分
解得2,1a b ==． …………………… 3分
（Ⅱ）()22ln f x x x =-，令()2()2ln h x f x m x x m =+=-+，
则()2/
22(1)
2x h x x x x -=-=，令()/0h x =，得1x =（1x =-舍去）．
在1[,]e e 内，当1
[,1)x e
∈时，/()0h x >， ∴ ()h x 是增函数；
当[1,]x e ∈时，/
()0h x <， ∴ ()h x 是减函数 …………………… 5分
则方程()0h x =在1[,]e e 内有两个不等实根的充要条件是1
()0(1)0()0
h e h h e ⎧≤⎪⎪⎪
>⎨⎪≤⎪⎪⎩ (6)
分
即2
212m e <≤+
． ………… 8分
（Ⅲ）2
()2ln g x x x kx =--，/
2
()2g x x k x
=
--． 假设结论成立，则有21112
2221200
2ln 0, 2ln 0, 2,
220.
x x kx x x kx x x x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪
⎨+=⎪
⎪--=⎪⎩①②
③④
……………………………… 9分
①－②，得221121222ln ()()0x x x k x x x ----=． ∴1
2
012
ln
22x x k x x x =--．
…………… 10分
由④得0022k x x =-，∴1
2120
ln 1
x x x x x =- …………………………… 11分
即121212ln
2x x x x x x =
-+，即11212
2
22
ln 1x
x x x x x -=+．⑤ 令12x t x =，22()ln 1t u t t t -=-+（01t <<)， (12)
分
则2
2
(1)()(1)t u t t t -'=+＞0．∴()u t 在01t <<上增函数， ∴()(1)0u t u <=， (13)
分
∴⑤式不成立，与假设矛盾．
∴()00g x '≠． ………………………………………………… 14分
21．（本题满分14分）
解析：(1)∵对于任意的n∈N *
，都有1n n a b +=，则1n n b a =-代入
121n n n n
a b
a a -=-， 得
12
1111n n n n n a a a a a --==-+， ∴1111n n a a -=+， 即111
1n n
a a --=， ∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 为以1
a 1为首项，1为公差的等差数列．
∵a 1＝b 1，且a 1＋b 1＝1，∴a 1＝b 1＝1
2
.
∴1a n ＝2＋(n －1)＝n ＋1.∴a n ＝1n ＋1，b n ＝1－a n ＝n n ＋1. ……………………………… 5分
(2)证明：∵a n ＝1n ＋1，b n ＝n n ＋1，∴a n b n ＝1n .
∴所证不等式a 2b 2＋a 3b 3＋a 4b 4＋…＋a n ＋1b n ＋1 < ln(1＋n) < a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n
b n
，
即12＋13＋14＋...＋1n ＋1 < ln(1＋n) < 1＋12＋13＋ (1)
.………………………… 7分 ①先证明右边不等式：ln(1＋n)<1＋12＋13＋…＋1
n .
令f ()x ＝ln(1＋x)－x ，则f′()x ＝11＋x －1＝－x
1＋x
，
当x>0时，f′()x <0，即函数f ()x 在区间()0，＋∞上单调递减， ∴当x>0时，f ()x <f ()0＝0，即ln(1＋x)<x.
分别取x ＝1，12，13，…，1n ，得ln(1＋1)＋ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12＋ ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1n <1＋12＋13＋…＋1n ， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32×4
3
×…×n ＋1n <1＋12＋13＋…＋1n ， 即ln(n ＋1)<1＋12＋13＋…＋1
n
. ………………………… 10分
②再证左边不等式：12＋13＋14＋…＋1
n ＋1<ln(1＋n)．
令f ()x ＝ln(1＋x)－x 1＋x ， 则f′()x ＝11＋x －1()1＋x 2＝x
()1＋x 2.
当x>0时，f′()x >0，即函数f ()x 在区间()0，＋∞上单调递增，
∴当x>0时，f ()x >f ()0＝0，即ln(1＋x) > x
1＋x
.
分别取x ＝1，12，13，…，1n ，得ln(1＋1)＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n > 1
2
＋
13＋…＋11＋n
， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32×4
3×…×n ＋1n > 12＋13＋…＋11＋n ，即ln(n ＋1) > 12＋13＋…＋1
1＋n
.………… 13分 ∴a 2b 2＋a 3b 3＋a 4b 4＋…＋a n ＋1b n ＋1 < ln(1＋n) < a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n
.………………………… 14分。