2022_2022学年高中数学课时作业7分析法综合法北师大版选修4_5202222202254

课时作业(七)
1．a ，b ，c 满足c<b<a 且ac<0，那么一定成立的是( ) A ．ab>ac B ．c(b －a)<0 C ．b 2
<ab 2
D ．ac(a －c)>0
答案 A
解析 ∵c<b<a，ac<0，∴c<0，a>0. 2．要证a 2
＋b 2
－1－a 2b 2
≤0，只需证( ) A ．2ab －1－a 2b 2
≤0 B ．a 2
＋b 2
－1－a 4＋b
4
2
≤0
C ．(a ＋b 2)2－1－a 2b 2
≤0
D ．(a 2－1)(b 2
－1)≥0
答案 D
3．设a>b>0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，那么( ) A ．m<n B ．m>n C ．m ＝n D ．不能确定
答案 A
4．x>0，y>0，那么以下关系式成立的是( )
A ．(x 2
＋y 2
)1
2>(x 3
＋y 3)1
3
B ．(x 2
＋y 2)1
2＝(x 3
＋y 3)1
3
C ．(x 2
＋y 2
)1
2<(x 3
＋y 3)1
3 D ．(x 2
＋y 2
)1
2≤(x 3
＋y 3)1
3
答案 A
5．0<a<1<b ，那么下面不等式中一定成立的是( ) A ．log a b ＋log b a ＋2>0 B ．log a b ＋log b a ＋2<0 C ．log a b ＋log b a ＋2≥0 D ．log a b ＋log b a ＋2≤0
答案 D
6．设a ＝(35)2
5，b ＝(25)3
5，c ＝(2
5)2
5，那么a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a>c>b
B ．a>b>c
C ．c>a>b
D ．b>c>a
答案 A
解析 构造指数函数y ＝(25
)x
，该函数单调递减，所以b<c.
又y ＝(25)x 与y ＝(35)x 有如下关系：当x>0时，(35)x >(25
)x
，故a>c ，应选A.
7．设13<(13)b <(13)a
<1，那么( )
A ．a a
<b b
<b a
B ．a a <b a <a b
C ．a b
<a a
<b a
D ．a b
<b a
<a a
答案 C
解析 特值法：令a ＝13，b ＝12
.
8．设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝5－1
2，那么( )
A ．a<b<c
B ．b<c<a
C ．c<a<b
D ．c<b<a
答案 C
解析 a ＝log 32＝ln2ln3<ln2＝b ，又c ＝5－12＝15<1
2，
a ＝log 32>log 33＝1
2
，故c<a<b.
9．a ，b ，c 为三角形的三边，且S ＝a 2
＋b 2
＋c 2
，P ＝ab ＋bc ＋ca ，那么( ) A ．S ≥2P B ．P<S<2P C ．S>P D ．P ≤S<2P
答案 D
解析 S －P ＝12(2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac)＝12[(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2
]≥0，∴S
≥P.
S －2P ＝a 2
＋b 2
＋c 2
－2ab －2bc －2ac ＝(a －b)2
＋(b －c)2
＋(c －a)2
－a 2
－b 2
－c 2
， ∵a ，b ，c 为三角形的三边，∴a －b<c ，b －c<a ，c －a<b. ∴S －2P<b 2
＋a 2
＋c 2
－a 2
－b 2
－c 2
＝0，∴S<2P ，应选D.
10．设y ＝7－3，x ＝6－2，那么x ，y 的大小关系是________． 答案 x>y
11．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，那么a ，b ，c 的大小顺序是________． 答案 a>b>c
12．当c>1，m ＝c ＋1－c ，n ＝c －c －1时，m ，n 的大小关系是________． 答案 m<n
13．a>0，b>0，m ＝lg a ＋b
2
，n ＝lg a ＋b
2
，那么m 与n 的关系为________． 答案 m≤n
解析要比拟lg a＋b
2
与lg
a＋b
2
的大小，只需比拟
a＋b
2
与
a＋b
2
，即只需比拟a
＋b与2〔a＋b〕，即只需比拟2a·b与a＋b，∵2a·b≤a＋b，∴m≤n.
14．要使3
a－
3
b<
3
a－b成立，a，b应满足的条件是________．
答案ab>0且a>b或ab<0且a<b
解析要使3
a－
3
b<
3
a－b成立，
只需(3
a－
3
b)3<(
3
a－b)3，化简得3
3
ab(
3
b－
3
a)<0，
故a，b应满足的条件是ab>0且a>b或ab<0且a<b.
15．(用分析法或者综合法证明)a>6，求证：a－3－a－4<a－5－a－6.
证明要证a－3－a－4<a－5－a－6，
只需证明：a－3＋a－6<a－4＋a－5，
只需证明：〔a－3〕〔a－6〕<〔a－4〕〔a－5〕，
只需证明：(a－3)(a－6)<(a－4)(a－5)，
只需证明：18<20，
显然成立，
所以a>6时，a－3－a－4<a－5－a－6.
16．(2022·新课标全国Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：
(1)假设ab>cd，那么a＋b>c＋d；
(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．
解析(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，
由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(a＋b)2>(c＋d)2.
因此a＋b>c＋ d.
(2)①假设|a－b|<|c－d|，那么(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd. 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
由(1)得a＋b>c＋ d.
②假设a＋b>c＋d，那么(a＋b)2>(c＋d)2，即
a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2. 因此|a－b|<|c－d|.
综上，a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．
1．使不等式1a <1
b 成立的条件是( )
A ．a>b
B ．a<b
C ．a>b 且ab<0
D ．a>b 且ab>0
答案 D
解析 A ，B ，C 不满足倒数法那么． 2．设a>2，x ∈R ，M ＝a ＋1a －2，N ＝(12
)x 2
－2，那么M ，N 的大小关系是( ) A ．M<N B ．M>N C ．M ≤N D ．M ≥N
答案 D 解析 ∵a>2，
∴M ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1
a －2＋2≥2＋2＝4.
∵x 2
－2≥－2，
∴N ＝(12)x 2－2≤(12)－2
＝4.
∴M ≥N.
3．假设a ，b ，c>0，M ＝a 3
＋b 3
＋c 3
a ＋
b ＋
c ，N ＝a 2
＋b 2
＋c 2
3，那么M ，N 的大小关系为________．
答案 M≥N
解析 因为a 2
＋b 2
≥2ab ，a ，b>0， 所以(a 2
＋b 2
)(a ＋b)≥2ab(a＋b)， 所以a 3
＋b 3
＋a 2
b ＋ab 2
≥2a 2
b ＋2ab 2
， 所以a 3
＋b 3
≥a 2
b ＋ab 2
，
同理：b 3
＋c 3
≥b 2
c ＋bc 2
，a 3
＋c 3
≥a 2
c ＋ac 2
， 将三式相加得
2(a 3
＋b 3
＋c 3
)≥a 2
b ＋ab 2
＋b 2
c ＋bc 2
＋a 2
c ＋ac 2
，
所以3(a 3
＋b 3
＋c 3
)≥(a 3
＋a 2
b ＋a 2
c)＋(b 3
＋b 2
a ＋
b 2
c)＋(c 3
＋bc 2
＋ac 2
)＝(a ＋b ＋c)(a 2
＋b 2
＋c 2
)，
所以a 3
＋b 2
＋c 3
a ＋
b ＋
c ≥a 2
＋b 2
＋c
2
3.
4．设a>0，b>0，c>0，证明： (1)1a ＋1b ≥4a ＋b
；
(2)12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b . 证明 (1)因为a>0，b>0， 所以(a ＋b)(1a ＋1
b )≥2ab ·2
1
ab
＝4. 所以1a ＋1b ≥4a ＋b .
(2)由(1)知1a ＋1b ≥4
a ＋
b ，
同时，1b ＋1c ≥4b ＋c ，1c ＋1a ≥4c ＋a ，
三式相加得：
2(1a ＋1b ＋1c )≥4b ＋c ＋4c ＋a ＋4a ＋b ， 所以12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b
.
5．设a ＋b ＝1，a>0，b>0，求证：(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2≥25
2.
证明 要证(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2≥25
2，
只需证a 2＋b 2
＋1a 2＋1b 2＋4≥252，
只需证a 2＋b 2
＋1a 2＋1b 2≥172，
∵ab ≤(a ＋b 2)2＝14，∴1
ab ≥4.
∴1a 2＋1b 2≥2
ab
≥8. 又∵a 2＋b 2
≥2(a ＋b 2)2＝12，
∴a 2＋b 2
＋1a 2＋1b 2≥172.
∴原不等式得证．。