苏科版八年级下册期中数学试卷含答案解析

八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题都有四个选项，将正确的一个答案的代号填在答题卷相应位置上）
1．下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．下列事件中，是随机事件的为（）
A．水涨船高B．守株待兔C．水中捞月D．冬去春来
3．在，，，，中分式的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．下列约分正确的是（）
A．B．
C．D．
5．已知▱ABCD中，▱B=4▱A，则▱D=（）
A．18°B．36°C．72°D．144°
6．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）
A．B．C．D．不确定
7．如图，菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F，AE=3，则四边形AECF的周长为（）
A．22B．18C．14D．11
8．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：
①▱APD▱▱AEB；
②点B到直线AE的距离为；
③EB▱ED；
④S▱APD+S▱APB=1+；
=4+．
⑤S
正方形ABCD
其中正确结论的序号是（）
A．①③④B．①②⑤C．③④⑤D．①③⑤
二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．当x=时，分式的值是0．
10．已知﹣=3，则代数式的值为．
11．有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同），现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心对称图案的卡片的概率是．
12．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE▱BD，DE▱AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是．
13．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若
EF=3，则CD的长为．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，过对角线交点O作OE▱AC交AD于E，则AE的长是．
15．若关于x的分式方程无解，则a=．
16．如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG▱BC，点E从点A出发沿射线AG 以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t=s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
17．在四边形ABCD中，对角线AC▱BD且AC=6、BD=8，E、F分别是边AB、CD的中点，则EF=．
18．在平面直角坐标系xOy中，正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2，…，按图所示的方式放置．点A1、A2、A3，…和点B1、B2、B3，…分别在直线y=kx+b和x轴上．已知
C1（1，﹣1），C2（，），则点A3的坐标是．
三．简答题（本大题共9小题，共56分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤.）19．计算或化简：
（1）；
（2）．
20．解分式方程：．
21．如图，在直角坐标系中，A（0，4），C（3，0）．
（1）①画出线段AC关于y轴对称线段AB；
②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角，得到对应线段CD，使得AD▱x轴，请画出线段CD；
（2）若直线y=kx平分（1）中四边形ABCD的面积，请直接写出实数k的值．
22．学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度．为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了名学生；
（2）将图①补充完整；
（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近8000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？
23．如图，在▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是BE、DF 的中点，试说明四边形MFNE 是平行四边形．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC 分别交于点M和点N．
（1）请你判断OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）过点D作DE▱AC交BC的延长线于E，当AB=5，AC=6时，求▱BDE的周长．
25．宜兴紧靠太湖，所产百合有“太湖人参”之美誉，今年百合上市后，甲、乙两超市分别用1元以相同的进价购进质量相同的百合，甲超市销售方案是：将百合按分类包装销售，其中挑出优质的百合400千克，以进价的2倍价格销售，剩下的百合以高于进价10%销售．乙超市的销售方案是：不将百合分类，直接包装销售，价格按甲超市分类销售的两种百合售价的平均数定价．若两超市将百合全部售完，其中甲超市获利8400元（其它成本不计）．问：
（1）百合进价为每千克多少元？
（2）乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算．
26．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．
（1）求证：▱CBG▱▱CDG；
（2）求▱HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；
（3）连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，四边形AEBD能否为矩形？如果能，请求出点H的坐标；如果不能，请说明理由．
27．如图①，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1cm，AB=CD=5cm．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，得到
▱MNK．
（1）若▱1=70°，求▱MKN的度数；
（2）▱MNK的面积能否小于？若能，求出此时▱1的度数；若不能，说明理由；
（3）如何折叠能使▱MNK的面积最大？请利用图②探究可能出现的情况，求出最大值．
-学年江苏省无锡市江阴市长泾片八年级（下）期中数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题都有四个选项，将正确的一个答案的代号填在答题卷相应位置上）
1．下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个图形是轴对称图形，是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，是中心对称图形；
第四个图形是轴对称图形，是中心对称图形．
共有3个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，
故选C．
2．下列事件中，是随机事件的为（）
A．水涨船高B．守株待兔C．水中捞月D．冬去春来
【考点】随机事件．
【分析】随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断．
【解答】解：A、水涨船高是必然事件，选项错误；
B、守株待兔是随机事件，选项正确；
C、水中捞月是不可能事件，选项错误；
D、冬去春来是必然事件，选项错误．
故选B．
3．在，，，，中分式的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】分式的定义．
【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．【解答】解：分母不含字母，不是分式；
是分式；
是分式；
π是数字不是字母，不是分式，
是分式．
故选C．
4．下列约分正确的是（）
A．B．
C．D．
【考点】约分．
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减，找出分子与分母的最大公因式，化简即可得出结果．
【解答】解：A、=a4，故本选项错误；
B、不能化简，故本选项错误；
C、不能化简，故本选项错误；
D、=﹣=﹣1，故本选项正确．
故选D．
5．已知▱ABCD中，▱B=4▱A，则▱D=（）
A．18°B．36°C．72°D．144°
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的邻角互补，进而得出▱D的度数．
【解答】解：▱四边形BCDA是平行四边形，
▱AD▱CB，▱B=▱D，
▱▱A+▱B=180°，
▱▱B=4▱A，
▱▱A+4▱A=180°，
解得：▱A=36°，
▱▱B=44°，
▱▱D=144°，
故选：D．
6．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）
A．B．C．D．不确定
【考点】矩形的性质．
【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得
OA=OD=2.5，▱AOD的面积，然后由S▱AOD=S▱AOP+S▱DOP=OA•PE+OD•PF求得答案．
【解答】解：连接OP，
▱矩形的两条边AB、BC的长分别为和4，
=AB•BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD=5，
▱S
矩形ABCD
▱OA=OD=2.5，
=6，
▱S▱ACD=S
矩形ABCD
▱S▱AOD=S▱ACD=3，
▱S▱AOD=S▱AOP+S▱DOP=OA•PE+OD•PF=×2.5×PE+×2.5×PF=（PE+PF）=3，
解得：PE+PF=．
故选A．
7．如图，菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F，AE=3，则四边形AECF的周长为（）
A．22B．18C．14D．11
【考点】菱形的性质；平行四边形的判定与性质．
【分析】根据菱形的对角线平分一组对角可得▱BAC=▱BCA，再根据等角的余角相等求出▱BAE=▱E，根据等角对等边可得BE=AB，然后求出EC，同理可得AF，然后判断出四边形AECF是平行四边形，再根据周长的定义列式计算即可得解．
【解答】解：在菱形ABCD中，▱BAC=▱BCA，
▱AE▱AC，
▱▱BAC+▱BAE=▱BCA+▱E=90°，
▱▱BAE=▱E，
▱BE=AB=4，
▱EC=BE+BC=4+4=8，
同理可得AF=8，
▱AD▱BC，
▱四边形AECF是平行四边形，
▱四边形AECF的周长=2（AE+EC）=2（3+8）=22．
故选：A．
8．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：
①▱APD▱▱AEB；
②点B到直线AE的距离为；
③EB▱ED；
④S▱APD+S▱APB=1+；
=4+．
⑤S
正方形ABCD
其中正确结论的序号是（）
A．①③④B．①②⑤C．③④⑤D．①③⑤
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定；勾股定理的应用．
【分析】①利用同角的余角相等，易得▱EAB=▱PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得▱APD=▱AEB，结合三角形的外角的性质，易得
▱BEP=90°，即可证；②过B作BF▱AE，交AE的延长线于F，利用③中的▱BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合▱AEP是等腰直角三角形，可证▱BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；⑤在Rt▱ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积；④连接BD，求出▱ABD的面积，然后减去▱BDP的面积即可．
【解答】解：①▱▱EAB+▱BAP=90°，▱PAD+▱BAP=90°，
▱▱EAB=▱PAD，
又▱AE=AP，AB=AD，
▱▱APD▱▱AEB（故①正确）；
③▱▱APD▱▱AEB，
▱▱APD=▱AEB，
又▱▱AEB=▱AEP+▱BEP，▱APD=▱AEP+▱PAE，
▱▱BEP=▱PAE=90°，
▱EB▱ED（故③正确）；
②过B作BF▱AE，交AE的延长线于F，
▱AE=AP，▱EAP=90°，
▱▱AEP=▱APE=45°，
又▱③中EB▱ED，BF▱AF，
▱▱FEB=▱FBE=45°，
又▱BE===，
▱BF=EF=（故②不正确）；
④如图，连接BD，在Rt▱AEP中，
▱AE=AP=1，
▱EP=，
又▱PB=，
▱BE=，
▱▱APD▱▱AEB，
▱PD=BE=，
▱S▱ABP+S▱ADP=S▱ABD﹣S▱BDP=S
﹣×DP×BE=×（4+）﹣××=+
正方形ABCD
．（故④不正确）．
⑤▱EF=BF=，AE=1，
▱在Rt▱ABF中，AB2=（AE+EF）2+BF2=4+，
=AB2=4+（故⑤正确）；
▱S
正方形ABCD
故选：D．
二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．当x=﹣1时，分式的值是0．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式值为零的条件可得1﹣x2=0，x﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：1﹣x2=0，x﹣1≠0，
解得：x=﹣1，
故答案为：﹣1．
10．已知﹣=3，则代数式的值为﹣．
【考点】分式的化简求值．
【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理得到x﹣y=﹣3xy，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：▱﹣==3，即x﹣y=﹣3xy，
▱原式===﹣，
故答案为：﹣
11．有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同），现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心对
称图案的卡片的概率是．
【考点】概率公式；中心对称图形．
【分析】让有中心对称图案的卡片的情况数除以总情况数即为所求的概率
【解答】解：根据概率的求简单事件的概率的计算及中心对称图形概念的理解；理论上抽到中心对称图案卡片的概率是中心对称图案的卡片的个数除以所有所有卡片的个数，而中
心对称图案有圆、矩形、菱形、正方形，所以概率为．
12．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE▱BD，DE▱AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是8．
【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】先证明四边形CODE是平行四边形，再根据矩形的性质得出OC=OD，然后证明四边形CODE是菱形，即可求出周长．
【解答】解：▱CE▱BD，DE▱AC，
▱四边形CODE是平行四边形，
▱四边形ABCD是矩形，
▱OC=AC=2，OD=BD，AC=BD，
▱OC=OD=2，
▱四边形CODE是菱形，
▱DE=CEOC=OD=2，
▱四边形CODE的周长=2×4=8；
故答案为：8．
13．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若
EF=3，则CD的长为6．
【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．
【分析】根据三角形中位线等于三角形第三边的一半可得AB长，进而根据平行四边形的对边相等可得CD=AB．
【解答】解：▱EF是▱ABD的中位线，
▱AB=2EF=6，
又▱AB=CD，
▱CD=6．
故答案为：6．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，过对角线交点O作OE▱AC交AD于E，则AE的长是 3.4．
【考点】矩形的性质；解直角三角形．
【分析】利用线段的垂直平分线的性质，得到EC与AE的关系，再由勾股定理计算出AE 的长．
【解答】解：连接EC，由矩形的性质可得AO=CO，
又因EO▱AC，
则由线段的垂直平分线的性质可得EC=AE，
设AE=x，则ED=AD﹣AE=5﹣x，
在Rt▱EDC中，根据勾股定理可得EC2=DE2+DC2，
即x2=（5﹣x）2+32，
解得x=3.4．
故答案为：3.4．
15．若关于x的分式方程无解，则a=1或﹣2．
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答．
【解答】解：方程两边都乘x（x﹣1）得，x（x﹣a）﹣3（x﹣1）=x（x﹣1），
整理得，（a+2）x=3，
当整式方程无解时，a+2=0即a=﹣2，
当分式方程无解时：①x=0时，a无解，
②x=1时，a=1，
所以a=1或﹣2时，原方程无解．
故答案为：1或﹣2．
16．如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG▱BC，点E从点A出发沿射线AG 以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定；等边三角形的性质．
【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，
则CF=BC﹣BF=6﹣2t（cm），
▱AG▱BC，
▱当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t=6﹣2t，
解得：t=2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，
则CF=BF﹣BC=2t﹣6（cm），
▱AG▱BC，
▱当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t=2t﹣6，
解得：t=6；
综上可得：当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故答案为：2或6．
17．在四边形ABCD中，对角线AC▱BD且AC=6、BD=8，E、F分别是边AB、CD的中点，则EF=5．
【考点】三角形中位线定理；勾股定理．
【分析】取BC的中点G，连接EG、FG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EG、FG，并求出EG▱FG，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，取BC的中点G，连接EG、FG，
▱E、F分别是边AB、CD的中点，
▱EG▱AC且EG=AC=×6=3，
FG▱BD且FG=BD=×8=4，
▱AC▱BD，
▱EG▱FG，
▱EF===5．
故答案为：5．
18．在平面直角坐标系xOy中，正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2，…，按图所示的方式放置．点A1、A2、A3，…和点B1、B2、B3，…分别在直线y=kx+b和x轴上．已知
C1（1，﹣1），C2（，），则点A3的坐标是（，）．
【考点】一次函数综合题．
【分析】根据正方形的轴对称性，由C1、C2的坐标可求A1、A2的坐标，将A1、A2的坐标代入y=kx+b中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，从而求
直线解析式，由正方形的性质求出OB1，OB2的长，设B2G=A3G=t，表示出A3的坐标，代入直线方程中列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，确定出A3的坐标．【解答】解：连接A1C1，A2C2，A3C3，分别交x轴于点E、F、G，
▱正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2，
▱A1与C1关于x轴对称，A2与C2关于x轴对称，A3与C3关于x轴对称，
▱C1（1，﹣1），C2（，），
▱A1（1，1），A2（，），
▱OB1=2OE=2，OB2=OB1+2B1F=2+2×（﹣2）=5，
将A1与A2的坐标代入y=kx+b中得：，
解得：，
▱直线解析式为y=x+，
设B2G=A3G=t，则有A3坐标为（5+t，t），
代入直线解析式得：b=（5+t）+，
解得：t=，
▱A3坐标为（，）．
故答案是：（，）．
三．简答题（本大题共9小题，共56分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤.）19．计算或化简：
（1）；
（2）．
【考点】分式的混合运算．
【分析】（1）先变号把分母化为同分母，再进行同分母的减法运算，然后约分即可；（2）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【解答】解：（1）原式=﹣
=
=2；
（2）原式=••（﹣）
=﹣．
20．解分式方程：．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x（x+1）﹣x2+1=2，
去括号得：x2+x﹣x2+1=2，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
21．如图，在直角坐标系中，A（0，4），C（3，0）．
（1）①画出线段AC关于y轴对称线段AB；
②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角，得到对应线段CD，使得AD▱x轴，请画出线段CD；
（2）若直线y=kx平分（1）中四边形ABCD的面积，请直接写出实数k的值．
【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．
【分析】（1）①根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数确定出点B的位置，然后连接AB即可；
②根据轴对称的性质找出点A关于直线x=3的对称点，即为所求的点D；
（2）根据平行四边形的性质，平分四边形面积的直线经过中心，然后求出AC的中点，代入直线计算即可求出k值．
【解答】解：（1）①如图所示；
②直线CD如图所示；
（2）▱由图可知，AD=BC，AD▱BC，
▱四边形ABCD是平行四边形．
▱A（0，4），C（3，0），
▱平行四边形ABCD的中心坐标为（，2），
代入直线得，k=2，
解得k=．
22．学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度．为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了200名学生；
（2）将图①补充完整；
（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近8000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据A级人数除以A级所占的百分比，可得抽测的总人数；
（2）根据抽测总人数减去A级、B级人数，可得C级人数，根据C级人数，可得答案；（3）根据圆周角乘以C级所占的百分比，可得答案；
（4）根据学校总人数乘以A级与B级所占百分比的和，可得答案．
【解答】解：（1）此次抽样调查中，共调查了50÷25%=200名学生，
故答案为：200；
（2）C级人数为200﹣50﹣120=30（人），
条形统计图；
（3）C级所占圆心角度数：360°×（1﹣25%﹣60%）=360°×15%=54°
（4）达标人数约有8000×（25%+60%）=6800（人）．
23．如图，在▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是BE、DF 的中点，试说明四边形MFNE 是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC，然后再证明DE=BF，再有DE=BF可判定四边形BEDF是平行四边形，再根据平行四边形两组对边分别相等可得BE=DF，M、N分别是BE、DF 的中点证明EM=NF，从而可证明四边形MFNE是平行四边形．
【解答】证明：▱四边形ABCD是平行四边形，
▱AD=BC，
又▱AE=CF，
▱AD﹣AE=BC﹣CF，
即DE=BF，
▱DE▱BF，
▱四边形BEDF是平行四边形，
▱BE=DF，
▱M、N分别是BE、DF的中点，
▱EM=BE=DF=NF，
而EM▱NF，
▱四边形MFNE是平行四边形．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC 分别交于点M和点N．
（1）请你判断OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）过点D作DE▱AC交BC的延长线于E，当AB=5，AC=6时，求▱BDE的周长．
【考点】菱形的性质．
【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，判断出AD▱BC，AO=OC，即可推得OM=ON．（2）首先根据四边形ABCD是菱形，判断出AC▱BD，AD=BC=AB=5，进而求出BO、BD的值是多少；然后根据DE▱AC，AD▱CE，判断出四边形ACED是平行四边形，求出DE=AC=6，即可求出▱BDE的周长是多少．
【解答】解：（1）▱四边形ABCD是菱形，
▱AD▱BC，AO=OC，
▱==1，
▱OM=ON．
（2）▱四边形ABCD是菱形，
▱AC▱BD，AD=BC=AB=5，
▱BO==4，
▱BD=2BO=8，
▱DE▱AC，AD▱CE，
▱四边形ACED是平行四边形，
▱DE=AC=6，
▱▱BDE的周长是：
BD+DE+BE
=BD+AC+（BC+CE）
=8+6+（5+5）
=24
即▱BDE的周长是24．
25．宜兴紧靠太湖，所产百合有“太湖人参”之美誉，今年百合上市后，甲、乙两超市分别用12000元以相同的进价购进质量相同的百合，甲超市销售方案是：将百合按分类包装销售，其中挑出优质的百合400千克，以进价的2倍价格销售，剩下的百合以高于进价10%销售．乙超市的销售方案是：不将百合分类，直接包装销售，价格按甲超市分类销售的两
种百合售价的平均数定价．若两超市将百合全部售完，其中甲超市获利8400元（其它成本不计）．问：
（1）百合进价为每千克多少元？
（2）乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算．
【考点】分式方程的应用．
【分析】（1）设百合进价为每千克x元，根据甲超市获利8400元列出分式方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）根据（1）求出甲乙两超市购进百合得质量数，求出甲超市分类销售的两种百合售价的平均数定价，即为乙超市的定价，进而求出乙超市的利润，即可做出判断．
【解答】解：（1）设百合进价为每千克x元，
根据题意得：400×（2x﹣x）+（﹣400）×10%x=8400，
解得：x=20，
经检验x=20是分式方程的解，且符合题意，
则百合进价为每千克20元；
（2）甲乙两超市购进百合的质量数为=600（千克），
根据（1）得：甲超市平均定价为2×20×+20×（1+10%）×=34（元/千克），即乙超市售价
为34元/千克，
乙超市获利为600×（34﹣20）=8400（元），
则两种销售方式获利一样多．
26．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．
（1）求证：▱CBG▱▱CDG；
（2）求▱HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；
（3）连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，四边形AEBD能否为矩形？如果能，请求出点H的坐标；如果不能，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）求证全等，观察两个三角形，发现都有直角，而CG为公共边，进而再锁定一条直角边相等即可，因为其为正方形旋转得到，所以边都相等，即结论可证．
（2）上问的结论，本题一般都要使用才能求出结果．所以由三角形全等可以得到对应边、角相等，即BG=DG，▱DCG=▱BCG．同第一问的思路你也容易发现▱CDH▱▱COH，也有对
应边、角相等，即OH=DH，▱OCH=▱DCH．于是▱GCH为四角的和，四角恰好组成直
角，所以▱GCH=90°，且容易得到OH+BG=HG．
（3）四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G为AB中点的时候．由上几问知DG=BG，所以此时同时满足DG=AG=EG=BG，即四边形AEBD为矩形．求H点的坐标，可以设其为（x，0），则OH=x，AH=6﹣x．而BG 为AB的一半，所以DG=BG=AG=3．又由（2），HG=x+3，所以Rt▱HGA中，三边都可以用含x的表达式表达，那么根据勾股定理可列方程，进而求出x，推得H坐标．
【解答】（1）证明：▱正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF
▱CD=CB，▱CDG=▱CBG=90°
在Rt▱CDG和Rt▱CBG中
▱▱CDG▱▱CBG（HL），
（2）解：▱▱CDG▱▱CBG
▱▱DCG=▱BCG，DG=BG
在Rt▱CHO和Rt▱CHD中
▱▱CHO▱▱CHD（HL）
▱▱OCH=▱DCH，OH=DH
▱
HG=HD+DG=HO+BG
（3）解：四边形AEBD可为矩形
如图，
连接BD、DA、AE、EB
因为四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G为AB中点的时候．
因为DG=BG，所以此时同时满足DG=AG=EG=BG，即平行四边形AEBD对角线相等，则其为矩形．
所以当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形．
▱四边形DAEB为矩形
▱AG=EG=BG=DG
▱AB=6
▱AG=BG=3
设H点的坐标为（x，0）
则HO=x
▱OH=DH，BG=DG
▱HD=x，DG=3
在Rt▱HGA中
▱HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x
▱（x+3）2=32+（6﹣x）2
▱x=2
▱H点的坐标为（2，0）．
27．如图①，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1cm，AB=CD=5cm．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，得到
▱MNK．
（1）若▱1=70°，求▱MKN的度数；
（2）▱MNK的面积能否小于？若能，求出此时▱1的度数；若不能，说明理由；
（3）如何折叠能使▱MNK的面积最大？请利用图②探究可能出现的情况，求出最大值．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）证明▱MKN=▱KMA；证明▱KMN=▱1=70°，即可解决问题．
（2）如图1，作辅助线；证明MK＞1；证明NK=MK＞1，运用三角形的面积公式即可解决问题．
（3）如图2，证明MK=MQ（设为λ），得到AM=5﹣λ；列出关于λ的方程（5﹣λ）
2+12=λ2，求出λ即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1，▱四边形ABCD为矩形，
▱DN▱AM，▱MKN=▱KMA；
由题意得：▱KMN=▱1=70°，
▱▱KMA=180°﹣140°=40°，
▱▱MKN=40°．
（2））▱MNK的面积不能小于；理由如下：
如图1，过点M作MP▱KN；则MP=1；
由题意得MK＞1，▱KMN=▱1；
▱KN▱AM，
▱▱KNM=▱1，▱KMN=▱KNM，
▱NK=MK＞1，
▱NK•MP＞．
（3）如图2，当点B与点D重合时，▱MNK的面积最大；
由题意得：MK=MQ（设为λ），则AM=5﹣λ；由勾股定理得：（5﹣λ）2+12=λ2，
解得：λ=2.6；由（1）知：
NK=MK=2.6，MP=1，
▱=1.3．
2016年4月24日。