(北师大版)深圳市高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(有答案解析)

一、选择题
1．对任意x ∈R ,不等式22|sin ||sin |x x a a +-≥恒成立,则实数a 的取值范围是（ ）
A ．01a ≤≤
B ．11a -≤≤
C ．12a -≤≤
D ．22a -≤≤
2．已知x y z >>，2x y z ++=，则（ ）
A ．xy yz >
B ．xz yz >
C ．xy xz >
D ．x y z y >
3．设0x >，则()2
1
42f x x x =--的最大值为（ ） A ．242
-
B ．42-
C ．不存在
D ．
52
4．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ）
A ．
a b b a -<- B ．33a b
b a -<-
C ．lg lg a b b a -<-
D ．lg lg a b b a ->-
5．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ） A ．
b c
b a
c a
>++ B ．
c c a b b a
+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >
6．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞
B ．[)1,+∞
C ．(),1-∞
D ．(]
,1-∞ 7．已知实数,a b ，且a b >，则以下不等式恒成立的是（ ） A ．33a b >
B ．22a b >
C ．1133a b
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．
11a b
< 8．已知0n m <<，则下列不等式正确的是( ) A ．
11n m
< B ．11()()2
2
m n
>
C ．44log ()log ()m n -<-
D ．22n m <
9．若2
2
π
π
αβ-≤<≤
，则
2
αβ
+，
2
αβ
-的取值范围分别是（ ） A ．[,)22ππ
-，(,0)2π- B ．[,]22ππ
- ，[,0]2π
-
C ．(,)22ππ-
，(,0)2
π- D ．(,)22
ππ-
，[,0)2π
-
10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝1，则“a 3＞5”是“S 3＋S 9＞93”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是（ ） A ．若,,a b c d >>则a c b d +>+ B ．22a b ac bc >>若，则 C ．若,a b >则
11a b
< D ．若,,a b c d >>则ac bd >
12．如果a b >，那么下列不等式一定成立的是( ) A ．a b >
B ．33a b >
C ．
11a b
< D ．22a b <
二、填空题
13．垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等几方面的效益，某地街道呈现东-西，南-北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点，若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，现有下述格点(2,2)-，
(2,1)，(2,3)，(2,4)-，(4,5)，(6,6)为垃圾回收点，请确定一个格点（除回收点外）
________为垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短 14．已知关于x 的不等式
1+1
ax a
x ->在[2,5]有实数解，则实数a 的取值范围为________． 15．设434411e m e +=+，42431
1
e n e +=+，比较m ，n 的大小__________（用“>”“＜”“=”表示）．
16．若关于x 的不等式14x x a -++<的解集是空集，则实数a 的取值范围是__________．
17．已知函数()|||2|f x x a x =++-．若()|4|f x x ≤-的解集包含[]1,2，则实数a 的取值范围为__________． 18．不等式的解集是______．
19．设5x >，45P x x --23Q x x --，则P 与Q 的大小关系是
P ______Q .
20．已知函数()211f x x a x =-+-，若()2f x x ≥-的解集包含1,22⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
，则实数a 的
取值范围是________.
三、解答题
21．已知函数()|2|||f x x x =-+. （Ⅰ）求不等式()2f x x ≥+的解集；
（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为M ，正数a ，b 满足a b M +=，求1111
a b +++的最小值. 22．（1）解不等式：1|1||2|2
x x --->
；
（2）设集合P 表示不等式121x x a -+->对任意x ∈R 恒成立的a 的集合，求集合P ； （3）设关于x 的不等式22||200ax x a +--<的解集为A ，试探究是否存在a ∈N ，使得不等式.220x x +-<与|212x x -<+的解都属于A ，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a 的所有值.
23．设函数()22f x x a a =-+，其中.a R ∈
（1）若不等式()6f x ≤ 的解集是{}
64x x -≤≤ ，求a 的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式()5f x kx ≤-的解集非空，求实数k 的取值范围. 24．（1）已知关于x 的不等式2211log x x a +--≤（其中0a >），当4a =时，求不等式的解集；
（2）已知x ，y 均为正数，且x y >，求证：22
1
2232x y x xy y +
≥+-+.
25．已知1m ，且关于x 的不等式21x m -≤-的解集为[]1,3. （1）求m 的值；
（2）若a ，b 均为正实数，且满足a b m +=，求22a b +的最小值. 26．已知()15f x x x =---， （1）解不等式()2f x <；
（2）若()210f x m +-<存在实数解，求实数m 的取值范围．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥.求函数
()||||||f t t t t a =++-的最小值,从而不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.解法二:（特殊值法）
代入2a =, 1a =-,排除错误选项即可. 【详解】
解:解法一:（换元法）
设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥. 令()||||||f t t t t a =++-,则min [()](0)||f t f a ==, 从而解不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.故选B .
解法二:（特殊值法）
当2a =时,因为2|sin ||sin 2|2sin 2|sin |2|sin |2x x x x x +-=-+≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 2|4x x +-≥不恒成立, 所以2a =不合题意,可以排除C 、D .
当1a =-时,因为2|sin ||sin 1|1sin 2|sin |1|sin |1x x x x x ++=++≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 1|1x x ++≥恒成立, 所以1a =-符合题意,可以排除A. 故选:B 【点睛】
本题考查绝对值不等式的参数问题,属于中档题,利用函数求最值的方法或者特殊值排除法都可以解题.
2．C
解析：C 【分析】
由放缩法可得出0x >，再利用特殊值法以及不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误. 【详解】
x y z >>，23x y z x ∴=++<，可得203
x >>.
取0y =，3x =，1z =-，则A 、D 选项中的不等式不成立； 取0z =，32x =
，1
2
y =，则B 选项中的不等式不成立； 0x
且y z >，由不等式的基本性质得xy xz >，C 选项中的不等式成立.
故选：C. 【点睛】
本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的性质或特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.
3．D
解析：D 【分析】
化简得到()214222x x
f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭
，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】
()2211544422222x x f x x x x ⎛⎫=--
=-++≤-= ⎪⎝⎭
当
21
222x x x
==即1x =时等号成立 故选：D 【点睛】
本题考查了利用均值不等式求函数最值，意在考查学生对于均值不等式的灵活运用.
4．C
解析：C 【分析】
考虑到,C D 中不等号方向，先研究C ，D 中是否有一个正确。

构造函数lg y x x =+是增函数，可得当0a b >>时，有lg lg a a b b +>+,所以lg lg ,a b b a ->-作差
lg lg W b a a b ---=，lg 0b a -<，对lg a b -可分类，lg a b ≥和lg a b <
【详解】
令lg y x x =+，显然单调递增，所以当0a b >>时，有lg lg a a b b +>+,所以
lg lg ,a b b a ->-另一方面因为lg ,lg 0,b b a b a <<-<所以
lg lg W b a a b ---=lg a a b =--lgb-，当lg a b ≥时，
lg lg lg lg 0W a b a b a a b b --+=-+->=，当lg a b <时，
lg lg lg (lg )0W a b a b a a b b -=+>=+-+-（由lg y x x =+递增可得），
∴lg lg b a a b ->-，C 正确。

故选：C 。

【点睛】
本题考查判断不等式是否成立，考查对数函数的性质。

对于不等式是否成立，有时可用排除法，即用特例，说明不等式不成立，从而排除此选项，一直到只剩下一个正确选项为止。

象本题中有两个选项结论几乎相反（或就是相反结论时），可考虑先判断这两个不等式中是否有一个为真。

如果这两个都为假，再考虑两个选项。

5．A
解析：A 【分析】
由作差法可判断出A 、B 选项中不等式的正误；由对数换底公式以及对数函数的单调性可判断出C 选项中不等式的正误；利用指数函数的单调性可判断出D 选项中不等式的正误. 【详解】
对于A 选项中的不等式，()()()
a b c b c
b a
c a a b a c --=++++，01a <<，01c b <<<， ()0a b c ∴->，0a b +>，0a c +>，b c
b a
c a
∴
>++，A 选项正确； 对于B 选项中的不等式，
()()
a c
b
c c a b b a b b a -+-=++，01a <<，01c b <<<，
()0a c b ∴-<，0a b +>，c c a
b b a
+∴<
+，B 选项错误； 对于C 选项中的不等式，
01c b <<<，ln ln 0c b ∴<<，110ln ln b c
∴
<<， 01a <<，ln 0a ∴<，ln ln ln ln a a
b c
∴
>，即log log b c a a >，C 选项错误； 对于D 选项中的不等式，
01a <<，∴函数x y a =是递减函数，
又c b <，所以c b a a >，D 选项错误.故选A. 【点睛】
本题考查不等式正误的判断，常见的比较大小的方法有：（1）比较法；（2）中间值法；（3）函数单调性法；（4）不等式的性质.在比较大小时，可以结合不等式的结构选择合适的方法来比较，考查推理能力，属于中等题.
6．A
解析：A 【分析】
先求|x-3|+|x-4|的最小值是1，即得解. 【详解】
由题得|x-3|+|x-4|＜a 有解，
由绝对值三角不等式得|x-3|+|x-4|≥|x -3-x+4|=1， 所以|x-3|+|x-4|的最小值为1， 所以1＜a,即a ＞1. 故选A 【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式求最值，考查不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据幂函数的单调性判断A ；令1a =，1b =-判断,B D ，根据指数函数的单调性判断
C ．
【详解】
因为()3
f x x =是增函数，所以由b a >可得33b a >，选项A 正确；
当1a =，1b =-时，22a b >不成立，选项B 错误；
因为1y ()3x =是减函数,由a b >可得11()()33
a b
<，选项C 错误，
1a =，1b =-时，
11
a b
<不成立，选项D 错误，故选A ．
【点睛】
本题主要考查不等关系与不等式的性质，属于中档题．利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据不等式的性质，以及指数函数与对数函数的单调性，逐项判定，即可得到答案. 【详解】
由题意，因为0n m <<，则 对于A 中，则
110m n
n m mn --=> ，所以11n m
>，所以不正确； 对于B 中，因为函数1()2x
y =为单调递减函数，所以11()()22
m n <，所以不正确；
对于C 中，因为函数4log y x =为单调递增函数，又因为0n m <<，则n m ->-， 所以44log ()log ()m n -<-是正确的；
对于D 中，由22()()0n m n m n m -=+->，所以22n m >，所以不正确，故选C. 【点睛】
本题主要考查了不等式的性质的应用，以及比较大小问题，其中解答中熟练应用作差法比较，以及熟记指数函数与对数函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
9．D
解析：D 【分析】
由已知条件结合不等式的基本性质求出结果 【详解】
2
2
π
π
αβ-≤<≤，
4
2
4
π
α
π
∴-
≤
<
，4
2
4π
β
π
-
<
≤
两式相加可得2
2
2
π
αβ
π
+-
<
<
4
2
4
π
β
π
-
<≤
，则4
2
4
π
β
π
-
≤-
<
则2
2
2
π
αβ
π
--
≤
<
又αβ<
则
02
αβ
-<
故02
2
π
αβ
--
≤
<
故选D 【点睛】
本题考查了两角和与差的范围问题，结合已知条件和不等式性质即可求出答案，注意取等时的条件．
10．A
解析：A 【分析】
利用等差数列的通项公式、求和公式与性质，以及充分条件与必要条件的定义，结合不等式的性质即可得到结论. 【详解】
设公差为d ，若21a =，315a d =+>，则43d >>，
所以()3925223939312271227393S S a a a a d d +=+=++=+>+⨯=，充分性成立； 反之， 39193S S +>成立，则()22393122793,3a a d d d ++=+>>
3214a a d d =+=+>，35a >不一定成立，即必要性不成立，
所以35a >是39193S S +>的充分不必要条件，故选A. 【点睛】
判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
11．A
解析：A 【解析】
分析：根据不等式性质判断命题真假.可举反例说明命题不成立. 详解：因为同向不等式可相加，所以若,,a b c d >>则a c b d +>+， 因为c=0时，22ac bc =，所以B 错； 因为1
21,
12
>->-，所以C 错； 因为10,01,100(1)>>-⨯=⨯-，所以D 错； 选A.
点睛：本题考查不等式性质，考查基本论证能力.
12．B
解析：B
【解析】
分析：根据幂函数3y x =的单调性，即可判定得到答案. 详解：当1,2a b ==-时，此时a b >，但a b <，且
11
a b
>，所以A 、C 不正确； 由函数2x y =为单调递增函数，当a b >时，22a b >，所以D 不正确，
由函数3y x =是R 上的单调递增函数，所以当a b >时，33a b >成立，所以B 是正确的，故选B.
点睛：本题主要考查了不等式的比较大小问题，其中熟记幂函数的单调及其应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
二、填空题
13．【分析】首先表示横轴和纵轴方向的距离和再根据含绝对值三角不等式求最值【详解】设格点的坐标为则根据含绝对值三角式可知横轴方向距离和此时的最小值是14此时三个等号成立的条件是所以时的最小值是纵轴方向的距 解析：(2,4)
【分析】
首先表示横轴和纵轴方向的距离和，再根据含绝对值三角不等式求最值. 【详解】
设格点的坐标为(),x y ，则26x -≤≤，16y ≤≤， 根据含绝对值三角式+≥-a b a b 可知
横轴方向距离和()222246d x x x x x =++-+-+-，
()()262422x x x x x =++-+++-+- ()()()()26242014x x x x ≥+--++--+⨯=，
此时()d x 的最小值是14，此时三个等号成立的条件是26242x x x -≤≤⎧⎪
-≤≤⎨⎪=⎩
，所以2x =时，
()d x 的最小值是14，
纵轴方向的距离和()123456d y y y y y y y =-+-+-+-+-+-，
()()()()()()()1625349d y y y y y y y ≥---+---+---=
此时()d y 的最小值是9，三个等号成立的条件是162534y y y ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
，即3y =或4，
当3y =时，此时格点位置是()2,3，是垃圾回收点，舍去，所以4y =，此时格点坐标是
()2,4.
故答案为：()2,4 【点睛】
关键点点睛：本题是具有实际应用背景的习题，本题的关键是正确理解题意，并能转化为横轴距离和纵轴距离，利用含绝对值三角不等式求最值.
14．【分析】根据题意分析可得原问题转化为在上能够成立设求出的最小值分析可得答案【详解】解：根据题意不等式在有实数解即在上能够成立又由则在上能够成立设则在区间上为减函数其最小值为若在上能够成立则；故的取值 解析：3(,)2
a ∈+∞
【分析】
根据题意，分析可得原问题转化为1
1x a x +>-在[2，5]上能够成立，设1()1
x f x x +=-，求出()f x 的最小值，分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，不等式11ax a x ->+在[2，5]有实数解，即1
11
x a x -⨯>+在[2，5]上能够成立，
又由[2x ∈，5]，则1
1
x a x +>-在[2，5]上能够成立， 设1()1
x f x x +=-，则2()11f x x =+-，在区间[2，5]上为减函数，其最小值为()3
52f =，
若1
1x a x +>
-在[2，5]上能够成立，则32
a >； 故a 的取值范围是3|2a a ⎧
⎫
>
⎨⎬⎩
⎭
； 故答案为：3,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式转化为整式不等式进行分析．
15．【解析】分析：作差通分因式分解最后根据各因子符号确定差的大小详解：∵所以点睛：作差比较法是判断两个数大小得一种有效得方法作差法关键要尽量通过因式分解化为因子的乘积再根据各因子得符号判断大小 解析：<
【解析】
分析：作差，通分，因式分解，最后根据各因子符号确定差的大小.
详解：∵4342444321
11
e e m n e e ++-=-++
43242444443(1)(1)(1)(1)(1)e e e e e +-++=++
46434642444443121(1)(1)e e e e e e e ++----=++
434243444443
()()(1)(1)e e e e e e -+-=++ 42434443
(1)(1)(1)(1)e e e e e e -+-=++ 43424443
()(1)0(1)(1)
e e e e e --=<++． 所以m n <
点睛：作差比较法是判断两个数大小得一种有效得方法，作差法关键要尽量通过因式分解化为因子的乘积，再根据各因子得符号判断大小.
16．【解析】由题意可知原不等式无解由即填 解析：(),5-∞
【解析】
由题意可知原不等式无解，由()14x 1x 45x x -++≥---=,即
max (14)5a x x <-++=,填(),5-∞。

17．【解析】f(x)≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|当x ∈12时|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|⇔4－x －(2－x)≥|x ＋a|⇔－2－a≤x≤2－a 由条件得－2－a≤1且2－a≥2即 解析：[]-3,0
【解析】
f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2， 即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[]-3,0.
18．【解析】试题分析：含绝对值的不等式我们可以通过根据绝对值的定义通过分类讨论的方法去掉绝对值符号然后解决问题本题也可不分类讨论首先不等式变形为它等价于这是二次不等式解得还要注意题目要求写成集合形式考点 解析：(1,1)-
【解析】
试题分析：含绝对值的不等式我们可以通过根据绝对值的定义通过分类讨论的方法去掉绝对值符号，然后解决问题，本题也可不分类讨论，首先不等式变形为212x x -<-，它等价于22(21)(2)x x -<-，这是二次不等式，解得11x -<<，还要注意题目要求写成集合形式．
考点：解不等式．
19．【分析】用作差的方法比较大小对根式进行分子有理化利用不等式的性质即可得出结果【详解】故答案为：【点睛】本题考查了用作差的方法比较大小和不等式的基本性质的应用考查了运算求解能力和逻辑推理能力属于中档题目 解析：>
【分析】
用作差的方法比较大小，对根式进行分子有理化，利用不等式的性质即可得出结果. 【详解】
-=-P Q
=-
=
=-
5x >
>
0>>
∴<
<
<
∴->
故答案为：> 【点睛】
本题考查了用作差的方法比较大小和不等式的基本性质的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
20．【分析】根据的取值范围可将题意转化为对恒成立分为和两种情形解出的范围即可【详解】当时∵的解集包含∴即对恒成立当时不等式化为即；当时为任意实数；当时不等式化为解得；综上知的取值范围是故答案为：【点睛】 解析：[)3,+∞
【分析】
根据x 的取值范围可将题意转化为133a x x -≥-对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
恒成立，分为1
12
x ≤<和
12x ≤≤两种情形，解出a 的范围即可.
【详解】
当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
时，210x -≥，20x -≤，
∵()2f x x ≥-的解集包含1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
∴2112x a x x -+-≥-，即133a x x -≥-对1,22
x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
恒成立，
当
112
x ≤<时，不等式化为()133a x x -≥-，即3331x a x -≥=-；
当1x =时，a 为任意实数；
当12x <≤时，不等式化为()133a x x -≥-，解得3a ≥-； 综上知a 的取值范围是[
)3,+∞， 故答案为：[
)3,+∞. 【点睛】
本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化思想，属于中档题.
三、解答题
21．（Ⅰ）(,0][4,)-∞⋃+∞；（Ⅱ）1. 【分析】
（Ⅰ）去掉绝对值符号，得到分段函数，然后分类讨论求解不等式()2f x x ≥+的解集； （Ⅱ）由绝对值三角不等式求出函数()f x 的最小值为M ，再利用基本不等式计算可得； 【详解】
解：（Ⅰ）22,0()22,0222,2x x f x x x x x x -+≤⎧⎪
=+-=<<⎨⎪-≥⎩
由()2f x x ≥+，得
0,222x x x ≤⎧⎨-+≥+⎩或02,22x x <<⎧⎨
≥+⎩或2,
222,x x x ≥⎧⎨-≥+⎩ 解得0x ≤或4x ≥，
故不等式()2f x x ≥+的解集为(,0][4,)-∞⋃+∞
（Ⅱ）由绝对值三角不等式的性质，可知|2||||(2)|2x x x x -+≥--=， 当且仅当(2)0x x -≤时取“=”号， ∴min ()2f x M ==，∴2a b +=，所以
(1)(1)
14
a b +++=.
11111111[(1)(1)]1111144111b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=+++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭
121(22)144
⎛≥
+ =+=⎝， 当且仅当11
11
b a a b ++=++，即1a b ==时，等号成立， 所以
1111
a b +++的最小值为1 【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 22．（1）7,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
；（2）()(),01,P =-∞+∞；（3）存在，0a =或1a =或2a =.
【分析】
（1）分2x >，12x ≤≤，1x <三种情况求解即可；
（2）根据三角不等式得，121221x x a x a x a -+-=-+-≥-，由此可得
211a ->，从而可求出a 的取值范围；
（3）先解不等式.220x x +-<与|212x x -<+，可得()2,3A -∈，当0a =时，符合题意，当0a ≠时，构造函数()2
220f x ax x a =+--，则有()()
2030f f ⎧-≤⎪
⎨
≤⎪⎩，从而可求出
a 的值
【详解】
（1）若2x >时，1
12
>
，符合题意； 若12x ≤≤时，1122x x -+->，解得7
4x >，故724
x <≤； 若1x <时，1
12
->
，无解； 综上，1
122x x --->
的解是7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
； （2）根据三角不等式得，121221x x a x a x a -+-=-+-≥-，所以211a ->，解得1a >或0a <， ∴集合()
(),01,P =-∞+∞；
（3）由220x x +-<可得21x -<<，由212x x -<+可得1
33
x -
<<，故()2,3A -∈，
若0a =，220x <，解得1010x -<<，符合题意；
若0a ≠，设()2
220f x ax x a =+--，由于0a >，所以只要()()
2030f f ⎧-≤⎪
⎨
≤⎪⎩即可
即422200
923200
a a a a ⎧++-≤⎪⎨+--≤⎪⎩ 因为a N ∈，可得1a =或2a =； 综上，0a =或1a =或2a =. 【点睛】
关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是
构造函数()2
220f x ax x a =+--，可得()()
2030f f ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，从而可求出a 的值，考查分类思
想和计算能力，属于中档题 23．（1）2-；（2）(](),12,-∞-+∞.
【分析】
（1）先解决对值不等式得33322
a a x -≤≤-，再根据题意得3362a -=-且342a
-=，
故2a =-；
（2）将问题转化为函数221y x y kx =+=-，的图象有交点问题，再数形结合求解即可. 【详解】
（1）因为()6f x ≤,即为262x a a -≤-，620a -> 即26262a x a a -≤-≤-，3a <， 即
33322
a
a x -≤≤- 因为其解集为{}
64x x -≤≤， 所以
3362a -=-且342
a
-=， 解得：2a =-，满足3a <； 故2a =-.
（2）由（1）知()224f x x =+-，
不等式()5f x kx ≤-的解集非空，即不等式()5f x kx ≤-有解， 即为221x kx +≤-有解.
作出函数221y x y kx =+=-，的图象， 由图象可得1k ≤-或2k > . 则有k 的取值范围为(]
(),12,-∞-+∞.
【点睛】
本题考查绝对值不等式，考查数形结合思想与运算求解能力，是中档题.本题第二问的解题关键在于根据题意将问题转化为函数221y x y kx =+=-，的图象有交点问题，进而数形结合求解. 24．（1）243x x ⎧⎫
-≤≤
⎨⎬⎩⎭
；（2）见解析 【分析】
（1）利用已知条件，先分析2211log x x a +--≤的解集就是绝对值不等式的求解，利用三段论法得到即可； （2）根据要证结论分析可知()
22211
22()()2x y x y x y +x xy y x y +-=-+--+-由三元
基本不等式即可证得结论成立. 【详解】
（1）当4a =时，不等式为2112x x +--≤. 当12x <-
时，22x --≤，解得1
42x -≤<-；当112
x -≤≤时，32x ≤，解得1223
x -
≤≤； 当1x >时，0x ≤，此时x 不存在，∴原不等式的解集为243x x ⎧⎫
-≤≤
⎨⎬⎩⎭
. （2）因为0x >，0y >，0x y ->，
()
2
2211
222()2x y x y x xy y x y +
-=-+-+-
2
1()()3()x y x y x y =-+-+
≥-=，当且仅当1x y -=时等号成立， 所以22
1
2232x y x xy y +≥+-+.
【点睛】
本试题主要是考查了绝对值不等式的求解，考查三元基本不等式的应用，考查推理能力与计算能力，考查了分类讨论的思想，属于中档题. 25．（1）2m =（2）2 【分析】
（1）解绝对值不等式得到31m x m -≤≤+，对比解集得到答案. （2）直接利用均值不等式计算得到答案. 【详解】
（1）∵1m ，解不等式21x m -≤-得121m x m -≤-≤+，∴31m x m -≤≤+， 因为解集为[]1,3，∴2m =.
（2）2a b +=，则()()()()
2
22222222
22a b a b ab a b a b a b +=++≤+++=+，
故222a b +≥，当且仅当1a b ==时，等号成立，故22a b +的最小值为2. 【点睛】
本题考查了绝对值不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 26．（1）(),4-∞；（2）5,2m ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝
⎭
． 【分析】
（1）将()f x 去绝对值后写为分段函数的形式，然后根据()2f x ，分别解不等式即可；
（2）()210f x m +-<存在实数解，则()210min f x m +-<，根据（1）求出()f x 的最小
值，然后代入不等式中求出m 的范围． 【详解】
解：（1）4,5()1526,154,1x f x x x x x x >⎧⎪
=---=-≤≤⎨⎪-<⎩，
()2f x <，
1x ∴<或262
15x x -<⎧⎨≤≤⎩
，
1x ∴<或14x ≤<，
∴不等式的解集为(,4)-∞；
（2）由（1）知()4min f x =-，
()210f x m +-<存在实数解，()210min f x m ∴+-<，
即4210m -+-<，52
m ∴<
， m ∴的取值范围为5
(,)2
-∞．
【点睛】
本题主要考查解绝对值不等式和不等式有解问题，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．。