2020年广东省湛江市洋青中学高三数学理模拟试卷含解析

2020年广东省湛江市洋青中学高三数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 某校高三(38)班有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为
88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
参考答案：
C
略
2. 复数的共轭复数在复平面上对应的点在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象
限 D.第四象限
参考答案：
D.
考点：复数的概念及其运算.
3. 数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比为（）
A．B． C．或 D．
参考答案：
C
略
4. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是
（）
A．B．C．）D．
参考答案：
A
【考点】几何概型．
【分析】根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，
而阴影区域的边长为﹣1，面积为4﹣2
故飞镖落在阴影区域的概率为=1﹣．
故选A．
5. 已知f（x）=lnx﹣+，g（x）=﹣x2﹣2ax+4，若对?x1∈（0，2]，?x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g （x2）成立，则a的取值范围是( )
A．[﹣，+∞）B．[，+∞）C．[﹣，] D．（﹣∞，]
参考答案：
A
考点：函数的单调性与导数的关系．
专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：由题意，要使对?x1∈（0，2]，?x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x1）min≥g （x2）min，且x1∈（0，2]，x2∈[1，2]，然后利用导数研究它们的最值即可．
解答：解：因为f′（x）===，
易知当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，1）上递减，在[1，2]上递增，故f（x）min=f（1）=．
对于二次函数g（x）=）=﹣x2﹣2ax+4，该函数开口向下，所以其在区间[1，2]上的最小值在端点处取得，
所以要使对?x1∈（0，2]，?x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x1）min≥g（x2）min，即或，所以或．
解得．
故选A．
点评：本题考查了不等式恒成立问题以及不等式有解问题的综合思路，概念性很强，注意理解．
6. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
7. 已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C 【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据三视图知该几何体是直三棱柱，
结合图中数据，计算它的体积即可．
【解答】解：根据三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，高为2的直三棱柱，
结合图中数据，计算它的体积是
V三棱柱=×2×1×2=2．
故选：C．
8. 已知双曲线（k＞0）的一条渐近线与直线x－2y－3＝0平行，则双曲线的离心率是
A． B． C．4 D．
参考答案：
A
9. 双曲线的离心率的值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
10. 已知实数，则“”是“”的（）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【分析】
首先解出的等价条件，然后根据充分条件与必要条件的定义进行判定。

【详解】“”．
∴“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设集合
则
=__________
参考答案：
{0}. 12. 已知角
的终边经过点P(-5,12),则sin
+2cos
的值为。

参考答案：
13.
如图所示，长方形ABCD 中，
AB =8，AD =6，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 的中点，图中5个圆分别为△AEH ，△BEF ，△DHG ，△FCG 以及四边形EFGH 的内切圆，若往长方形ABCD 中投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率为 ．
参考答案：
14. 已知p ：2x 2
﹣7x+3≤0，q ：|x ﹣a|≤1，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．
参考答案：
≤a≤2
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】简易逻辑．
【分析】利用不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【解答】解：由2x 2
﹣7x+3≤0，得，
由|x ﹣a|≤1，得：a ﹣1≤x≤1+a，
若p 是q 的必要不充分条件，
则，
即
，
即≤a≤2. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的解法求出不等式的解是解决本题的关键，比较基础．
15. 如右图所示的程序框图输出的结果是____________。

参考答案：
略
16. 已知函数
，定义域为
，则函数
的定义域为_______;
参考答案：
17. 若
，则
＝_______________.
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数，
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若在内有极值点，当，，求证：
.
参考答案：
(1)函数的定义域为，当时，，令：，得：或，所以函数单调增区间为：，.
(2)证明：，
令：，
所以：，，若在内有极值点，
不妨设，则，且，
由得：或，
由得：或，
所以在递增，递减；递减，递增，
当时，；
当时，，
所以：
，. 设：，，则.
所以：是增函数，所以.
又：，
所以：.
19. 如图，⊙O中的弦AB与直径CD相交于点P，M为DC延长线上一点，MN为⊙O的切线，N为切点，若AP=8，PB=6，PD=4，MC=6，求MN的长．
参考答案：
【考点】与圆有关的比例线段．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】先根据相交弦定理求出PC，得到MD，再结合切割线定理即可求出MN的长
【解答】解：由相交弦定理得：AP?PB=PC?PD，所以8×6=4PC，
所以PC=12，
所以MD=MC+PC+PD=22．
由切割线定理得：MN2=MC?MD=6×22，
所以MN=2．
【点评】本题主要考查与圆有关的比例线段以及相交弦定理和切割线定理的应用，是对基础知识的考查，属于基础题．解决这类问题，需要对圆中的有关结论熟悉．
20. （本小题满分12分）
设的内角所对的边分别为且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的周长的取值范围．
参考答案：
解：（Ⅰ）由得
又
，，，
又 --------------（6分）（Ⅱ）由正弦定理得：,
故的周长的取值范围为. -----（12分）（Ⅱ）另解：周长
由（Ⅰ）及余弦定理
又
即的周长的取值范围为
.
略21. 已知A为焦距为的椭圆E：（a＞b＞0）的右顶点，点P（0，），直线PA 交椭圆E于点B，．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点P且斜率为k的直线l与椭圆E交于M、N两点（M在P、N之间），若四边形MNAB的面积是△PMB面积的5倍．求直线l的斜率k．
参考答案：
（1）+=1；（2）k=±
【分析】
（1）先根据条件得B点坐标，代入椭圆方程，再与焦距联立方程组解得（2）根据面积关系得，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理建立等量关系解得斜率.
【详解】（1）由题意，得焦距2c=2，∴2c=2，c=，
∵，所以点B为线段AP的中点，
因为点P（0，2），A（a，0），
∴B（，），
因为点B（，）在椭圆E上，∴+=1，
即b2=4，2=b2+c2=9，
∴椭圆E的方程为+=1．
（2）由题可得S△PAN=6S△PBM，即|PA|?|PN|?sin∠APN=6×|PB|?|PM|?sin∠BPM，
∴|PN|=3||，∴，设M（x1，y1），N（x2，y2），
于是=（x1，y1-2），=（x2，y2-2），
∴3（x1，y1-2）=（x2，y2-2），
∴x2=3 x1，即=3，于是+=，即=，①，
联立，消去y，整理得（9k2+4）x2+36kx+72=0，
由△=（36k）2-4×（9k2+4）×72＞0，解得k2＞，
∴x1+x2=-，x1x2=，
代入①可解得k2=，满足k2＞，∴k=±，即直线l的斜率k=±．
【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合求解能力，属中档题.
22. 设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和S n满足且，. （1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）求的前n项和T n.
参考答案：
（1）,；（2）.
【分析】
（1）利用项和公式求数列的通项公式，再求数列的通项公式；（2）利用错位相减法求的前项和.
【详解】（1）由，当时，，
当时，，
，
即，∴是首项为3，公比为3的等比数列，
所以数列的通项公式为，
又因为数列是等差数列，且，，
所以，
可得数列的通项公式为. （2）①
②
①-②得
，
整理得.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法，考查项和公式求等比数列的通项，考查错位相减法求数列的前n项和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。