帮你认识变化率

帮你认识变化率
导数的概念这一节内容中谈到了两个变化率，一个是平均变化率，还有一个是瞬时变化率，这两个变化率有着什么样的特点呢？
一、平均变化率与瞬时变化率
1．平均变化率
事物的变化率往往是相关的两个量的变化量的比值。

如：气球的膨胀率为半径的变化量比体积的变化量；位移的变化率为位移变化量比时间变化量。

如果某个问题中的函数关系用()f x 表示，那么问题的变化率可用式子2121
()()f x f x x x --表示，我们把这个式子称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率，简记作
f x ∆∆。

（1）平均变化率是指函数值的“增量”（即“改变量”）f ∆与相应的自变量的“增量”x ∆的比，这也给出了平均变化率的求法。

（2）平均变化率的几何意义为函数()f x 图象上两点11(,())x f x 、22(,())x f x 的割线的斜率。

（3）某段时间内的平均速度v （即平均变化率），描述的是在这段时间内运动速度的平均状态。

2．瞬时变化率
在实际问题中，非匀速直线运动的瞬时速度、化学反应速度、物体温度变化速度以及几何曲线切线的斜率等实质上都是瞬时变化率。

（1）瞬时速度：平均速度实际就是平均变化率，当t ∆趋近于0时，总存在一个常数0v 与商
00()()S t t S t t
+∆-∆无限接近。

这个常数反映了物体在某时刻运动的快慢。

（2）切线斜率：实质就是当x ∆趋近于0时，曲线()y f x =在00[,]x x x +∆上的平均变化率与一个常数A 无限接近，常数A 就是曲线在此位置的切线的斜率。

我们对上面分析的两个方面进行抽象、归纳、延伸，即撇开这些量的实际意义，捉住它们在数量关系上的共性，就是瞬时变化率的概念。

3．必须注意的几个问题
（1）正确理解曲线的切线的定义，即：过曲线()y f x =上的一点P 作曲线的割线PQ ，当Q 点沿着曲线无限趋近于P 点时，若割线PQ 趋近于某一确定的直线PT ，则这一确定的直线PT 称为曲线()y f x =在点P 处的切线。

在解析几何中，求圆（椭圆）的切线时，用方程联立消元后一元二次方程的判别式0∆=来解的方法不能扩展到一般情况，曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定就一个。

圆锥曲线的切线方程如下：
①过圆222()()x a y b r -+-=上一点000(,)P x y 的切线方程为0()()x a x a --+ 20()()y b y b r --=； ②过椭圆22
221x y a b
+=上一点000(,)P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=； ③过双曲线22
221x y a b
-=上一点000(,)P x y 的切线方程为00221x x y y a b -=； ④过抛物线22y px =上一点000(,)P x y 的切线方程为00()y y p x x =+。

（2）正确理解导数的定义，导数是函数()y f x =在0x x =处的一个局部性质，它是一个极限值，是一个确定的定值，若0lim
x y x ∆→∆∆存在，函数()y f x =在点0x 处就有导数，否则就没有导数。

（3）正确理解“函数在一点0x 处的导数”、“导函数”、“导数”的意义，弄清它们之间的区别与联系。

二、范例剖析
例1 求221y x =+在0x 到0x x +∆之间的平均变化率。

分析：函数平均变化率的简单求解，要紧扣定义式
00()()f x x f x y x x
+∆-∆=∆∆进行操作。

解析：当自变量从0x 变到0x x +∆时，函数的平均变化率为
220000()()[2()1][21]f x x f x x x x y x x x +∆-+∆+-+∆==∆∆∆042x x =+∆。

评注：这一类题目是公式的简单应用，只要注重运算过程就可以了。

例2 已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则a 的值为_______。

分析：根据导数的几何意义，设出切点坐标，则在切点处的导数等于直线的斜率，又切点在直线和抛物线上，联立方程即可。

解析：设切点为00(,)P x y ，则
22/
0000()()lim x a x x ax f x x ∆→+∆-=∆000lim (2)2x ax a x ax ∆→=+∆=， 即021ax =。

①
又200y ax =，②
001x y -=，③ 将①②③联立得14
a =。

评注：本题若用直线与抛物线的位置关系联立方程，用判别式求解，将更为简捷。

例3 已知曲线y 和这条曲线上的一点P ，判断曲线y =在点P 处是否有切线，如果有，求出切线方程。

分析：对斜率存在情况，可将切线是否存在的问题转化为研究割线PQ 的斜率的极限情况问题，因而可以先求出函数的增量y ∆，写出PQ k ，再讨论PQ k 的极限。

解析：在曲线y =上点P 附近取一点Q ，设Q 点的横坐标为2x +∆，则点Q
∴函数的增量为y ∆=
∴割线PQ 的斜率00lim lim PQ x x y k x ∆→∆→∆==∆
lim x ∆→==
∴由点斜式可得切线方程为2)y x =
-，
40y -+=。

评注：过曲线上一点P ，若存在切线，则切线是过该点的割线PQ 的极限位置，反映了事物间量变到质变的过程。