第四章套利和资产定价

X.,n = [x1, n;…; xω, n;…; xΩ, n]
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那么，证券市场的结构就由支付矩阵X给定：
x 1 ,1 M X = x ω ,1 M x Ω ,1
L O L O L
x 1, n M
L O
xω , n L M O xΩ , n L
x 1, N M xω , N M xΩ , N
T
T
T
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第1类套利允许参与者获得收益而不承担任 何未来责任。第1类套利的一个主要特征就 是它的支付没有任何不确定性。第2类套利 中，组合的初始投资为0却得到正的未来支 付。初始投资为0的组合也叫做套利组合 套利组合 (arbitrage portfolio)。第3类套利由第1类 套利和第2类套利结合而成。例子见P54。
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本章结构
4.1一般市场结构 4.2套利 4.3无套利原理 4.4资产定价的基本定理 4.5风险中性定价和鞅 4.6本章小结
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4.1一般市场结构
A 复合证券 在一般市场上绝大多数证券在不止一个状态下有 复合证券(composite 支付。这些证券有时也叫复合证券 复合证券 security)， security)，从概念上它们的支付都可以看成是由 状态或有证券的组合产生的。记n=1，…，N为 市场中交易的证券，每一证券有支付向量为
1 − S1 S1 (1 + rF ) = 1或rF = S1
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利率也叫货币的时间价值 货币的时间价值(time value of 货币的时间价值 money)。有定价关系我们有 因此我们有
1 = ∑ φω 1 + rF ω∈Ω
债券的定价公式可以写成
(4.7)
1 S1 = 1 + rF
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对于市场上的其他证券，比如说支付为xn = 的证券n，由定价公式(4.6)可得
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定理4.6 在一个无摩擦市场中，定价算子是 递增的线性算子。也就是说，对于任意a， b∈R以及具有支付x，y和z=ax+by的3只证 券， V(ax+by)=aV(x)+bV(y) (4.5) 这就是说V(.)是线性算子，且V(0)=0.因此 定理4.6意味着资产定价算子具有如下形式： V(x)=φTx 其中，φ是一个(Ω×1)的正向量。
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定理4.7 (资产定价基本定理， 资产定价基本定理， 资产定价基本定理 Fundamental theorem of Asset prcing) 证券市场中不存在套利机会的充要条件为 存在φ>>0使得 S=(φTx) T (4.6) 证明：充分性是显而易见的。 必要性由Stiemke引理可以推出。 引理4.1 (Stiemke引理) 令X为一m×n矩阵， m和n是任意的正整数，φ ∈R n且θ，S ∈R n。 当且仅当φ>>0并满足S=(φTx) T ， 集合 {θ:[-S Tθ;X θ]>0}是空集。 见P58例题
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B 冗余证券 给定市场上的交易证券集合，它们的支付 可能是相关联的。比如，可能存在一只证 券j，它的支付可以表示成其他证券支付 的线性组合。在这种情况下，支付矩阵X 不是满秩的。令 X 为剔除证券j后的支付 矩阵， X = [x ,L, x , x ,L, x ] 这里xn是证券n的支付向量。很明显，由 原来N只证券的组合所生成的任意支付也 可以由剔除了证券j以后的N-1只证券组合 产生。
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定理4.3 (一价定律 两个具有相同支付的证券(或组合)的 一价定律) 一价定律 价格必定相同。也就是， 如果x=y，则V(x)=V(y) (4.2) 一价定律的一个推论是，未来支付为0的证券或证券组合 的价格为0：V(0)=0。 定理4.4 支付为正的证券或证券组合的价格为正。即： 如果x>0,则V(x)>0 (4.3) 定理4.5 给定两只证券1和2，如果证券1的支付总是大于证 券2的，那么证券1的价格必高于证券2的价格。即： 如果x1≥x2，则V(x1)≥V(x2) (4.4)
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4.4资产定价基本定理
如前所述，资产定价关系或模型指的是从 证券的支付X到其价格S的映射。可以写成 S=V(X) (4.1) 其中，V(.)常称为定价算子 定价算子(pricing 定价算子 operator)或估价算子 估价算子(valuation operator) 估价算子 无套利原理赋予了定价算子一些基本性质。
T
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定义4.1 将满足下列条件的组合θ称做套利 套利 (arbitrage)或套利机会 套利机会(arbitrage opportunity)： 套利机会 (1) S θ ≤0 (2)Xθ≥0 (3)至少有一个不等式严格成立。 上面定义的套利可以分为三种类型： S 第1类套利： θ ＜0且Xθ=0 第2类套利：S θ =0且Xθ＞0 S Tθ <0且Xθ>0 第3类套利：
[x ;L; x ]
1,n Ω,n
S n = φ xn = ∑ φω xω ,n
T
ω∈Ω
其中，n=2,…,N。定义
φω qω ≡ ∑ φω
w'
'
(4.8)
显然，qω>0，
∀ω ∈ Ω且∑ω qω = 1 。因此， Q ≡ {qω，qω ∈ Ω}也可以被解释成 上的一个概率测度 Ω
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将定价公式重新写成
证券组合当成一个证券。它的支付矩阵是
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x 1, θ 1 M Xθ ≡ xΩ,θ 1
L O L
x 1, θ N = X [θ 1 , L , θ N ] M xΩ,θ N
令H≡[θ1，…，θN]，则H为（N*N）矩阵。因为各组 合（即H的列向量）之间是独立的，H满秩的。由 于rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)},rank( )≤ XHH rank(XH)≤rank(X)，于是，rank(XH)=rank(X)=N。 因而Xθ也是满秩的，为N。用这些组合作为基本单 元，可以生成这些组合的组合。特别的，可用这些 组合来复制原始证券。H可逆。它的逆矩阵为
S n = S1 ∑ qω xω ,n
ω
或
(4.9) 这个式子有个简单的解释：证券价格就是它在测 度Q下的期望对无风险利率的折现。对所有证券都 适用。由于这个原因，(4.9)式叫做风险中性定价 风险中性定价 (risk-neutral pricing)公式。而Q则被称为风险中 风险中 性测度(risk-neutral measure)。 性测度 。
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定理4.8 在一个完全证券市场中，状态价格向量 是唯一的。 证明：令S为Ω只交易证券的价格向量，θω为由它 们来复制状态ω或有证券的组合。那么，状态ω的 状态价格由
φω = S θ ω
T
唯一给定。
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4.5风险中性定价和鞅
由资产定价基本定理，存在一个严格为正的状态 向量φ可对所有交易证券定价。包括无风险债券。 S 1 = φ Tι = ∑ φ ω 因此 ω ∈Ω 定义1单位无风险证券投资获得的净支付或收益 1 收益 风险利率(interest 率(rate of return)，也称做无风险利率 风险利率 rate)并记为rF 。则
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4.3无套利原理
定理4.2在市场均衡中不存在套利机会。 证明：令{ck,k=1, …,K}为均衡配置，S为交易 证券的均衡价格，X为支付矩阵。假设市场中 θ k 存在套利机会θ。考虑一个参与者k的套利交 易。这不需要额外资源却可将他的消费提高到 为 c + [ − S θ ; X θ ] > c 。由不满足公理， c + [ − S θ ; X θ ] f c 。因此，对于参与者k来 说ck不是最优的。这与均衡条件矛盾。
−1
H
−1
9
那么 X = X θ H
−1
，这样我们就复制出 了原始证券。同样容易证明原证券的 任意组合都能这样复制：
Xθ = XHH −1θ = Xθ (H −1θ )
我们可以做出如下总结：如果不存在 摩擦，独立组合θ1，…，θN提供 了一 个市场的等价描述。
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D 生成 现在考虑rank(X)=N=Ω的特殊情形。那么X就是 一个秩为Ω的可逆矩阵。这样就能复合证券复制 所有的Arrow-Debreu证券即状态或有证券。 考虑一个复合证券的组合θ。 θ的支付向量是Xθ。 定义1ω为Ω×1的列向量,其第ω个元素为1,其他 均为0.为了复制状态ω或有证券的支付,必须有 Xθ = 1ω 当X可逆时,我们只要选择 θω = X −11ω 定理4.1 当且仅当具有独立支付的证券数等于状 态数时证券市场是完全的。 在这种情况下，我们称经济中的不确定性可以 由市场中的证券生成（span） 生成（ 生成 ）
T k k
T k k
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上面的讨论说明无套利只依赖于不满足公 理，这是对参与者偏好很弱的一个假设。 实际上，它并不要求所有参与者都是不满 足的，只要求一些或至少一个。它不依赖 于经济的其他特征。由于这个原因，我们 把它作为金融学的一个一般原理。
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定义4.2 无套利原理（Principle of Noarbitrage）：证券市场中不存在套利机会。 作为证券价格和支付的基本性质，无套利 原理对证券价格和支付之间的关系或资产 定价关系做出了限制。 从上面讨论中不存在市场套利机会依赖于 两个假设：一是(至少部分)市场参与者的不 满足性，二是市场无摩擦。
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上面定义的套利只依赖于交易证券的支付 和价格，而又假定所有参与者都知道这些 支付和价格。这意味着：第一：套利不依 赖任何私有信息。特别地，套利依赖于证 券在每一状态下的支付，但不依赖每一状 态发生的可能，而私有信息一般是相对于 后者。第二，如果存在套利机会的话所有 人都可以利用这些套利机会(在无摩擦的假 设下)。
\ j
\ j
1
j −1
j +1
N
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令θ为所有N只证券组成的组合，而 θ 是剔 除j以后的N-1只证券的组合。已经假设xj是 由其他x的线性组合。因此存在 θ 使得 x j = X \ jθ \*j 也就是说，用其他证券的支付 可以复制证券j的支付。现在考虑由任意θ生 成的支付。
\ j
*
\ j
x = Xθ = X
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E Q [~n ] x S n= , n = 1,L , N 1 + rF
需要强调的是，风险中性定价公式是对我 们新定义的概率测度Q而不是实际的概率测 度P取期望值。P反映的是个状态的实际概 率。而Q则是由(4.8)式用状态价格定义的。 它表示的是规范化的状态价格，因而它实 际上已经把证券的风险考虑进去了。看P61 例题。
第四章——套利和资产定价
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本章简述
在第3章中我们考虑的是一个特殊的证券市 场结构，即Arrow-Debreu证券市场结构。 本章从任意的市场结构出发，只作最少的 假设，以探究最一般的结论。由于证券市 场的重要性以及证券价格在资源配置中所 扮演的关键角色，我们将重点讨论证券价 格的基本性质和基本的定价原理。为之后 的学习提供一个基础。
\ j
θ
\ j
+ θ jx j = X
\ j
Baidu Nhomakorabea
(θ
\ j
+ θ j θ \*j )
括号里面的是由剔除j后的N-1只证券生成的 组合。因此没有它我们也可以生成相同的支 付。所以证券j也称做冗余证券 冗余证券(redundant 冗余证券 security)。
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C 证券市场的不同描述方式 在我们对市场结构X的描述中可以只包括具 有线性独立支付的证券。这就意味着X当中 的证券数目不会超过Ω。因为X是满秩的（t 它的N列是独立的），它的秩必须是N和Ω 中最小者：rank（X）=min{N，Ω}=N。 给定具有线性独立支付矩阵X的证券集合， 我们可以形成N个线性独立的组合。记为 θ1，…，θN。此时我们可以把没个组合当作一个
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4.2套利
记证券的价格向量为S=[S1;…;SN]，支付矩阵为X。 把从X到S的映射称做资产定价关系 资产定价关系(assert 资产定价关系 pricing relation)或资产定价模型 资产定价模型(assert 资产定价模型 pricing model)。 。 考虑一个交易证券的组合，θ=[θ1，…，θN]。它在 0期的价值为 S θ ，在1期的支付向量为Xθ。证券 或组合可能在未来某一状态带来负的支付。负的 未来支付也叫做责任 责任(liability)。称未来支付非负， 责任 即Xθ≥0的组合具有有限责任 有限责任(limited liability)。 有限责任 。