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南阳一中2012级高三春期第三次模拟考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合{0}A x
x =≥，且A B B =，则集合B 可能是（ ）
A ．{}1,2
B ．{1}x
x ≤ C ．{1,0,1}- D ． R
2．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若2)1(=-z i ，则z 为（ ）
A ．i +1
B ．i -1
C ．i +2
D ．i -2
3．在如图所示的程序框图中，如果任意输入的t ∈[-2,3]，那么输出的s 取值范围是( )
A ．[-8，-1]
B ．[-10，0]
C ．[-10，6]
D ．(-6，6]
4．如图是一个有底的容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图像是( )
5．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲
得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏.比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ）
A ．甲得9张，乙得3张
B ．甲得6张，乙得6张
C ．甲得8张，乙得4张
D ．甲得10张，乙得2张
6．已知{}n a 是首项为32的等比数列，n S 是其前n 项和，且64
65
36=
S S ,则数列|}log {|2n a 前10项和为（ ）
A ．58
B ．56
C ．50
D ．45
7．A 和B 是抛物线2
8y x =上除去原点以外的两个动点，O 是坐标原点且满足0OA OB ⋅=
0OM AB ⋅=，则支动点M 的轨迹方程为（ ）
A ．2
2
80x y x +-=
B ．26y x =
C ．22
41x y +=
D ．22
194
x y -= 8．设1F 、2F 是双曲线2
2
14
y x -=的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使 22()0OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点）且1||PF λ=2||PF 则λ的值为（ ）
A ．2
B ．2
1
C ．3
D ．31
9．设⎩⎨
⎧<≥-=,
2,,
2,y x y y x y x z 若22,22≤≤-≤≤-y x ，则z 的最小值为（ ）
A.-4
B.-2
C.-1
D.0
10. 已知函数2
()3f x ax bx a b =+++是定义在[1,2]a a -上的偶函数，则2cos[()]3
y a b x π=+- 的最小正周期是
（ ）
A. 6π
B. 5π
C.4π
D.2π 11．函数()y f x =,
()x R ∈为奇函数，当(,0)x ∈-∞时，()()xf x f x '<-，若
2211
3(3),(lg3)(lg3),(log )(log )44
a f
b f
c f =⋅=⋅=⋅，则a ，b ，c 的大小顺序为( )
A. a ＜b ＜c
B. c ＞b ＞a
C. c ＜a ＜b
D. c ＞a ＞b
12．设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞ 上x x f <')(，
若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．]2,2[-
B ．),2[+∞
C ．),0[+∞
D ．(,2][2,)-∞-+∞
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分.
13．设A ＝725436163452
7777773333,3331C C C B C C C +++=+++，则A B -=
14．已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六
棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 .
15．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列,n S 为其前n 项和,且满足()221n n a S n *-=∈N ． 若不等式
()
()1
1
181n
n n n a n
λ++-+⋅-≤
对任意的n *∈N 恒成立,则实数λ的取值范围是 ．
16．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，E 在CD 延长线上，且DE CD =.动点P 从点A 出发，沿正方形ABCD 的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中
A P A
B A E λμ=+uu u r uu u r uu u r
，则下列命题正确．．
的是 .（填上所有正确命题的序号）
①0,0λμ≥≥；②当点P 为AD 中点时，1λμ+=；③若2λμ+=，
则点P 有且只有一个；④λμ+的最大值为3；⑤AP AE ⋅uu u r uu u r
的最大值为1.
三、 解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，满足1=c ，且
()()0c o s
s in s in c o s =+-+B A B a C B . （1）求角C 的大小；
（2）求22b a +的最大值，并求取得最大值时角,A B 的值.
18．（本小题满分12分）某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为
合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 [70，76） [76，82） [82，88） [88，94） [94，100]
芯片甲
8 12 40 32 8 芯片乙
7 18 40 29 6 （1）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；
（2）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（1）的前提下，
（i ）记X 为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X 的分布列； （ii ）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．
19. （本小题满分12分）如下图，在组合体中，1111D C B A ABCD -是一个长方体，ABCD P -是一个四棱锥．
2=AB ，3=BC ，点D D CC P 11平面∈且2==PC PD ．
（1）证明：PBC PD 平面⊥；
（2） 求PA 与平面ABCD 所成的角的正切值；
（3）若a AA =1，当a 为何值时，D AB PC 1//平面．
20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆
22:12412
+=x y C ，设00(,)R x y 是椭圆C 上任一点，从原点O 向圆()()2200:8-+-=R x x y y 作两
条切线，切点分别为,P Q .
（1）若直线,OP OQ 互相垂直，且R 在第一象限，求圆R 的方程； （2）若直线,OP OQ 的斜率都存在，并记为12,k k ，求证：12210.+=k k
21. （本小题满分12分）设函数2
()ln(1)f x x m x =++．
（1）若函数()f x 是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围； （2）若1m =-，试比较当(0,)x ∈+∞时，()f x 与3
x 的大小； （3）证明：对任意的正整数n ，不等式2
14
29(1)(3)
2
n n n n e e
e e -⨯-⨯-+++++<
成立．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 作答时用2B 铅笔在答题纸上把所选题目的题号涂黑.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知AB 是⊙O 的直径，F 为圆上一点，∠BAF 的角平分线与圆交于点C ，过点C 作圆的切线与直线 相交于点D ，若AB ＝6，∠DAB ＝
3
π （1）证明：AD ⊥CD ；
（2）求 的值及四边形ABCD 的面积.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
242sin()64
π
ρρθ-++=
已知⊙C 的极坐标方程为：
（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的圆心坐标, 并选择合适的参数, 写出圆C 的参数方程； （Ⅱ）点(,)P x y 在圆C 上，试求u xy =的值域
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（1）设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,求x y z ++的值； （2）设不等式*
2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,1
2
A ∉.求函数()2f x x a x =++-的最小值.
三模理科数学
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
1. 由A
B B =知B A ⊆,故选A . 2. B 3.
C 4.B 5. A
6.A 根据题意
3633164S S q S -==，所以14q =，从而有721
1
3224
n n n a --=?，所以2log 72n a n =-，所
以有
2
l
o g 27n a n =-
，所以
数列的
前
10
项
和
等
于
2(51)2(113)
5311357911135822
+++++++++++=
+=. 7. A 8.A 9.C 10. A 11. D 12.B 设()()2
12
g x f x x =- 因为对任意()()2,
x R f x f x x ∈-+= ，
所以，()()()()()2
21122
g x g x f x x f x x -+=---+-=()()20f x f x x -+-= 所以，函数()()2
12
g x f x x =-
为奇函数；又因为，在),0(+∞上x x f <')(， 所以，当时0x > ，()()0g x f x x ''=-< 即函数()()2
12
g x f x x =-在),0(+∞上为减函数，因为函数
()()212g x f x x =-为奇函数且在R 上存在导数，所以函数()()21
2
g x f x x =-在R 上为减函数，所以，
()()()()()2
21144422
g m g m f m m f m m --=----+
()()()484f m f m m =----0≥ 所以，()()442g m g m m m m -≥⇒-≤⇒≥
所以，实数m 的取值范围为),2[+∞. 13. 128
14. 13π 设正六棱柱的的底面边长为x ，高为y ，则69x y +=，所
以
302
x <<
，正六棱柱的体积223333()6(96)42V x x y x x =⨯=-，2'()273()V x x x =-，令
2'()273()0V x x x =->，解得01x <<，令2'()273()0V x x x =-<得3
12
x <<
，即函数()V x 在(0,1)是增函数，在3
(1,)2
是减函数，所以()V x 在1x =时取得最大值，此时3y =.易知正六棱柱的外接球
的球心是其上下中心连线的中点，如图所示，外接球的半径为2213(),22
y OE x =+=所以外接球的表
面积为2413.S R ππ== 15. 77,153⎡⎤-
-⎢⎥⎣⎦
试题分析：由题意2
21(21)n n n
S n a a -=-=,则21n a n =-, 当n 为偶数时由不等式
()
()
1
1
181n
n n n a n
λ++-+⋅-≤
得
821
n n n λ
-+≤
,即(8)(21)
n n n λ-+≤,
(8)(21)8
215n n y n n n
-+=
=--是增函数,当2n =时取得最小值15-,所以15;λ≤-
当n 为奇数时,(8)(21)8
217n n n n n λ++-=++≤
,函数8217y n n
=++,
当3n =时取得最小值为
773,即77,3λ-≤所以773λ≥-,综上,λ的取值范围是77,153⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
. 考点：数列的通项公式,数列与不等式恒成立的综合问题. 16.答案①②④⑤
试题分析：不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，
(1)则B （1，0），E （-1，1），故AB=（1，0），AE==（-1，1），AP AB AE λμ=+uu u r uu u r uu u r
=(),λμμ-，由图像可知0,0λμ≥≥，故①正确；(2)当点P 为AD 中点时，AP =uu u r 10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，AB AE λμ+uu u r uu u r = (),λμμ-，
所以10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
=(),λμμ-，解得11
,22
λμ=
=，则1λμ+=，故②正确； (3)当λ=1，μ=1时，AP=（1，1），此时点P 与D 重合，满足λ+μ=2， 当λ=
32,μ= 12时，AP=（1，1
2
），此时点P 为BC 的中点，满足λ+μ=2， 故满足λ+μ=2的点不唯一，故③错误；
(4)当P ∈AB 时，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，
当P ∈BC 时，有λ-μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3， 当P ∈CD 时，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3， 当P ∈AD 时，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2， 综上可得0≤λ+μ≤3，故④正确，
(5) 2
=AP AE AB AE AE λμ⋅⋅+uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r =2||||||AB AE AE λμ⋅+u u u r u u u r u u u r =2λμ-+,
当P ∈AB 时，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤-λ≤1，故有-1≤2λμ-+≤0，
当P ∈BC 时，有λ-μ=1，0≤μ≤1，0≤2μ≤2,所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，-2≤-λ≤-1 故-2≤-λ+2μ≤1，
当P ∈CD 时，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，-2≤-λ≤-1，故-1≤2λμ-+≤0， 当P ∈AD 时，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，-1≤-λ≤0，故0≤-λ+2μ≤1， 综上可得-2≤-λ+2μ≤1，故⑤正确，
考点：向量加减的几何意义，向量的线性运算性质及几何意义
17.解析：（1）由()()0cos sin sin cos =+-+B A B a C B ，可得()0cos sin sin cos =--C B a C B ，即
C a A cos sin =，又1=c ，所以C a A c cos sin =， 由正弦定理得C A A C cos sin sin sin =，
因为π<<A 0，所以>A sin 0，从而C C cos sin =，即4
π
=
C .
（2）由余弦定理222cos 2c C ab b a =-+，得122
2=-+ab b a ，
又222b a ab +≤，所以()122122≤+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-b a ，于是2222+≤+b a ， 当π8
3
=
=B A 时，22b a +取到最大值22+. 18．（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为，
芯片乙为合格品的概率约为
． …（3分）
（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90，45，30，﹣
15.
；
；
；
．
所以，随机变量X 的分布列为： X 90 45 30 ﹣15
P
…（8分）
（ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品n 件，则次品有5﹣n 件． 依题意，得 50n ﹣10（5﹣n ）≥140，解得
．所以 n=4，或n=5．
设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A ， 则
． …（12分）
19. 方法一（综合法）:（1）证明：因为2==PC PD ，2==AB CD ，所以PCD ∆为等腰直角三角形，
所以PC PD ⊥．（1分因为1111D C B A ABCD -是一个长方体，
所以D D CC BC 11面⊥，而D D CC P 11平面∈，所以D D CC PD 11面⊂，所以PD BC ⊥．（3分） 因为PD 垂直于平面PBC 内的两条相交直线PC 和BC ，
由线面垂直的判定定理，可得PBC PD
平面⊥． （4分） （2）过P 点在平面CC 1D 1D 作PE ⊥CD 于E ，连接AE （5分） 因为面ABCD ⊥面PCD ，所以PE ⊥面ABCD ，
所以∠P AE 就是P A 与平面ABCD 所成的角．（6分）因为PE =1，AE =10，
所tan ∠P AE =10
1010
1==AE
PE ．（7分）所以P A 与平面ABCD 所成角的正切值为10
10（8分）
（3）当a =2时，PC ∥平面AB1D ． （9分） 当a =2时，四边形CC 1D 1D 是一个正方形， 所以∠C 1DC =45°，而∠PDC=45°， 所以∠PDC 1=90°，所以PD D C ⊥1．
而PD PC ⊥，D C 1与PC 在同一个平面内，所以D C PC 1//．（10分）而D C AB D C 111面⊂，所以
D C AB PC 11//面，所以D AB PC 1//平面． （12分）
方法二：（向量法）（1）如图建立空间直角坐标系，
设棱长a AA =1，则有),0,0(a D ，)1,1,0(+a P ，),2,3(a B ，),2,0(a C ．（2分）于是(0,1,1)PD =--，
(3,1,1)PB =-(0,1,1)PC =-，
所以0PD PB ⋅=，0PD PC ⋅=．（3分）
所以PD 垂直于平面PBC 内的两条相交直线PC 和BC ，由线面垂直的判定定理，可得PBC PD 平面⊥． （4分） （2）
),0,3(a A ，所以(3,1,1)PA =--，
而平面
ABCD 的一个法向量为1(0,0,1)n =． （5分）
所以1111
cos ,11111
PD n -<>==-⨯． （6分）
所以PA 与平面ABCD 所成的角的正弦值为11
11． （7分）
所以PA 与平面ABCD 所成的角的正切值为
10
10．（8分）
（3）∵
),0,0(a D ，1(3,2,0)B ，),0,3(a A ，∴(3,0,0)DA =，1(0,2,)AB a =-．
设平面D AB 1的法向量为2
(,,)n x y z =，则有⎪⎩⎪
⎨
⎧=-=⋅==⋅0
20
3212az y n AB x n DA ，令2=z ，可得平面D AB 1的一个法向量为
2(0,,2)n a =． （10分） 若要使得D AB PC 1//平面，则要2PC n ⊥，
即220PC
n a =-=，解得2=a ．
所以当2=a 时，D AB PC 1//平面． （12分）
20. 解：（1）由题圆R 的半径为22,因为直线,OP OQ 互相垂直，且与圆R 相切，所以24=
=OR r ，
即2
2
0016,+=x y ① 又00(,)R x y 在椭圆C 上，所以
22
001,2412
+=x y ② 由①②及R 在第一象限，解得0
022,==x y 所以圆R 的方程为：()(
)
22
2222
8
-+-=x y
（2）证明：因为直线12:,:==OP y k x OQ y k x 均与圆R 相切，所以
1002
122,1-=+k x y k 化简得222010010(8)280,--+-=x k x y k y
同理有2
2
2
020020(8)280,--+-=x k x y k y
所以12,k k 是方程2
2
2
0000(
8)280--+-=x k x y k y 的两个不相等的实数根，
所以20122
08.8-=-y k k x 又因为00(,)R x y 在椭圆C 上，所以22
001,2412+=x y 即2200112,2
=-y x 所以2
0122
01
412,82-==--x k k x 即12210.+=k k 21.解析：（1）∵222()211
m x x m
f x x x x ++'=+=++又函数()f x 在定义域上是单调函数. ∴ ()0f x '≥或()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立
若()0f x '≥在(1,)-+∞上恒成立，即函数()f x 是定义域上的单调地增函数，则
2211
222()22
m x x x ≥--=-++在(1,)-+∞上恒成立，由此可得12m ≥；
若()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立，则()201
m
f x x x '=+≤+在(1,)-+∞上恒成立.即
2211
222()22
m x x x ≤--=-++在(1,)-+∞上恒成立.
∵211
2()22
x -++在(1,)-+∞上没有最小值
∴不存在实数m 使()0f x '<在(1,)-+∞上恒成立.
综上所述，实数m 的取值范围是1
[,)2
+∞.
（2）当1m =-时，函数2
()ln(1)f x x x =-+. 令3
3
2
()()ln(1)g x f x x x x x =-=-+-+
则32
2
13(1)()3211
x x g x x x x x +-'=-+-=-++ 显然，当(0,)x ∈+∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递减
又(0)0g =，所以，当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0g x g <=，即3
()0f x x -<恒成立. 故当(0,)x ∈+∞时，有3
()f x x < （3）法1：证明：由（2）知),0(),1ln(3
2+∞∈+<-x x x x 即),1ln()1(2
+<-x x x
令x n =，n N +∈,即有2
(1)ln(1),n n n -<+ 所以2
(1)1n n e
n -⨯<+（n N +∈）
因此2
014
29(1)(3)
2345(1)2
n n n n e e
e e n -⨯-⨯-⨯+++++<++++
++=
故对任意的正整数n ，不等式2
014
29(1)(3)
2
n n n n e e e e -⨯-⨯-+++++<
成立． 法2：数学归纳法
证明：1、当1=n 时，左边=10=e ，右边=22
4
1=⨯，原不等式成立. 2、设当k n =时，原不等式成立， 即2
)
3(2
)1(924
10
+<
++++⨯-⨯-⨯-k k e e e
e k k 则当1+=k n 时， 左边=22
2
)1()1()11()1(924
10
2
)
3(=⨯-+⨯--⨯-⨯-⨯-++<
+++++k k k k k k e k k e e e e e 只需证明2
)
4()1(2)3(2)1(+⨯+<
+++⨯-k k e k k k k 即证22
)1(+<+⨯-k e
k k ，即证)2ln()1(2+<+⨯-k k k
由（2）知),0(),1ln(3
2
+∞∈+<-x x x x 即),1ln()1(2
+<-x x x
令1+=k x ，即有)2ln()1(2
+<+⨯-k k k 所以当1+=k n 时成立
由1、2知，原不等式成立
22. 解析： Ⅰ 连接OC ，过O 作OE ⊥AC （E 为垂足）， 易知∠ ∠OCA ∠ （AC 为∠BAD 的平分线） ⟹OC ∥AD ， CD 是⊙O 的切线， ⟹ Ⅱ ， ，∠
∠
， ， ，由 Ⅰ 知AD ⊥CD ，∠
DAC ，
，又 ，
，
四边形
23. 解析： Ⅰ 取极点为直角坐标系中的原点，极轴为直角坐标系中的 轴，取其单位长度，于是
代入圆C ：2
4sin 4cos 60ρρθρθ--+=得： 22224460(2)(2)2x y x y x y +--+=⇒-+-=，圆C 的圆心坐标为 ， ，
半径为 ,取旋转角α为参数,则圆C 的参数方程为C:22cos (22sin x y α
αα
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参变数）
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————
桑水 Ⅱ (22cos )(22sin )422(sin cos )2sin cos u x y αααααα=⋅=++=+++ 设22sin cos 1sin cos 2sin()422t t t ααπ
ααα⎧=-⎪=+=+⇒⎨-≤≤⎪⎩
， ＝ 的值域为 ，
24. 【答案】解:(Ⅰ)由题222214(x y z )(149)(x 2y 3z),=++++=++
但由柯西不等式，2222(x y z )(149)(x 2y 3z),++++≥++ 当且仅当2314x y z ++=且y z x 23==，即14x 14214y 14314z 14⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩
时取等，故取等条件必须成立，此时x y z ++=3147
（2）因为32A ∈,且12A ∉,所以322a -<,且122
a -≥ 解得
1322
a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = 因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--= 当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为3。