福建省漳州市普通高中2015届高三上学期质量检查数学(

第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合{}
02x x A =<<，集合{}
01x x B =<≤，则集合A
B =（ ）
A ．()0,1
B ．(]0,1
C ．()1,2
D ．[)1,2 【答案】B
考点：集合的运算；
2.已知命题:p R x ∀∈，1
sin 2
x ≤，则（ ） A ．:p ⌝R x ∃∈，1sin 2x ≤ B ．:p ⌝R x ∃∈，1sin 2x > C ．:p ⌝R x ∀∈，1sin 2x > D ．:p ⌝R x ∀∈，1sin 2
x ≥ 【答案】B 【解析】
试题分析：全称命题的否定为特称命题，命题:p R x ∀∈，1
sin 2
x ≤
，的否定是x R ∃∈，1
sin
2
x >
，选B. 考点：全称量词与存在量词；
3.某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） A ．
13 B ．2
3
C ．1
D ．2
【答案】
B
考点： 三视图
4.函数()21,01,03x x x f x x ⎧-+<⎪
=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭
⎩的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】C 【解析】
试题分析：由于0x <时，2
()1f x x =-+，其图象为顶点在(0,1)，开口向下的抛物线
的左支，排除B 、D ，当0x ≥时，1()()3
x
f x =，其图象过（0，1）点，在[0,)+∞为减函
数，排除A ，本题选C. 考点：分段函数的图象；
5.“2
11n n n a a a +-=，2n ≥且n ∈N ”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
考点:充要条件
6.6
12x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中常数项为（ ）
A ．
1516 B ．1516- C ．52 D ．52
-
【答案】D 【解析】
试题分析：利用二项式定理的通项公式，66216611
()()22
r
r
r r r x r T C x
C x x --+=-
=-⋅⋅，令620r -=，3r =，334615
()22
T C =-⋅=-，选D. 考点：二项式定理
7.某程序框图如右图所示，若输出的41S =，则判断框内应填（ ） A ．4?k > B ．5?k > C ．6?k > D ．7?k >
【答案】A
考点：程序框图
8.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a b B ．若//a α，b β⊥，且αβ⊥，则//a b C ．若a α⊥，//a b ， //b β，则αβ⊥ D ．若a b ⊥，a α⊂，b β⊂，则αβ⊥ 【答案】C 【解析】
试题分析：若//αβ，a α⊂，
b β⊂，则直线a 与b 可能平行或异面，A 错误；若//a α，b β⊥，且αβ⊥，则直线a 与b 可能平行或相交或异面，B 错误；若a α⊥，//a b ，//b β，则αβ⊥，
由于垂直于同一平面的两条直线互相平行，C 正确；选C. 考点：空间直线与平面的位置关系；
9.已知抛物线C :2
2y px =（0p >）的焦点F 到双曲线2
2
13
y x -=
过焦点F 斜率为k 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且F 2F A =B ，则k =（ ） A
．
C
D ．13
【答案】A 【解析】
试题分析：抛物线的焦点(
,0)2
p
F
到双曲线的一条渐近线y =
的距离为
4
d =
=
=
，4p =；抛物线方程为2
8y x =，其准线方程为2x =-，过、A B 分别作准线的垂线
11、AA BB ，垂足分别为11、A B 过1B 作11B D AA ⊥，垂足为D ，由于2AF BF =，不妨设BF m =，根据抛物线定义11,2,,3BB BF m AA m AD m AB m =====，若直线的
倾斜角为锐角，在Rt ABD ∆中，cos DAB ∠
1
3
=
，设直线的倾斜角为θ，则DAB θ=∠
，tan θ=
tan θ=-
所以k = 考点：抛物线的定义应用
10.已知函数()f x 定义域(]1,1-，满足()()
1
11f x f x +=
+，当[]0,1x ∈时，()f x x =，
若函数()()2
,11156,132
f x x
g x x x x -<≤⎧⎪
=⎨-+<≤⎪⎩，方程()20g x mx m --=有三个实根，则实数m 的
取值范围是（ ） A ．
11363m ≤< B ．1136m << C
13m ≤< D
13
m <<
【答案】无答案？
(2,0)从x 轴顺时针旋转到直线与抛物线2
1(56)2
y x x =
-+相切于（2，0）点为止，下面求在点（2，0）处21(56)2y x x =
-+的切线的斜率。

因为2
51
,22
x y x y =''=-=-，
斜率取值范围1
(,0)2
-
，
当直线过(1,1)时，1m =-也有三个交点，符合要求，因此m 的取值范围是1
02
m -
≤≤或1m =-；
本题无答案？
考点：零点问题
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在答题纸上） 11.已知1a =，2b =，向量a 与b 的夹角为3
π
，则a b ⋅= ． 【答案】1 【解析】
试题分析：由于cos ,12cos 13
a b a b a b π
⋅=⋅<>=⨯⨯=.
考点：平面向量数量积；
12.复数z 为纯虚数，若()1i z a i +=+（i 为虚数单位），则实数a 的值为 ． 【答案】-1
考点：复数运算
13.已知函数()sin 6f x x πωϕ⎛⎫
=++ ⎪
⎝
⎭
（0ω>，02
πϕ<≤）的部分图象如图所示，则ϕ的值为 ．
【答案】
6
π
【解析】
试题分析：先计算周期
52(
)63T πππ=-=，则22π
πωω
=⇒=，函数()s i n (2+
f x x ϕ=+ )6π，而44
T π
=，又
3
4
12
π
π
π
-
=，图象过点(
,1)12
π
，则
s i n (2
12
6
ππ
⨯++)1s i n (3π
ϕ=⇒
)
ϕ+ 1=，由于50+
2
3
3
6π
π
π
πϕϕ<≤
⇒
<≤
，则32ππϕ+=，有6
π
ϕ=.
考点：依据图象求函数sin()y A x ωϕ=+的解析式；
14.在平面直角坐标系xoy 中，设M
是由不等式组)0
y y y ⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩
表示的区
域，A 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向A 中随机投一点，则所投点落在M 中的概率是 ．
【答案】
13
考点：几何概型
15.已知集合{}12,,,n x x x X =⋅⋅⋅（n *
∈N ，3n ≥），若数列{}n x 是等差数列，记集合
(){}
,,,1,,i j i j x x x x x x i j n i j P X ==+∈X ≤<≤∈N 的元素个数为()P X ，则()P X 关于
n 的表达式为 ．
【答案】2n-3 【解析】
试题分析：当3n =时，集合X 中有3个元素成等差数列，23()3P x C ==，当4n =时，
集合X 中有4个元素成等差数列，由于1423+x x x x =+，24()15P x C =-=，
当5n =时，集合
X
中有
4
个元素成等差数列，由于
1423+x x x x =+，
15242534+x =x +x ,x +x =x +x x 25()37P x C =-=，可见形成一个等差数列，根据等差数列
通项公式，按照归纳推理可知：当即可X 有n 个元素时，()3(P x n =+-
3)223n ⨯=- .
考点：归纳推理
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本小题满分13分）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-．
()I 求函数()f x 的最小正周期和函数()f x 的单调递增区间； ()II 在C ∆AB 中，角A
，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()1f A =，
()
sin 2sin C πB =-，C ∆AB 的面积为a 的值．
【答案】（1）T π=，[,]3
6
k k π
π
ππ-+
，k Z ∈，（2），
【解析】
试题分析：先用降幂公式和辅助角公式把函数()f x 化为sin()A x ωϕ+形式，再求周期和
递增区间；利用()1f A =求出角A ，再利用正弦定理进行角转边得到2b c =，利用面积公式求出bc ，解出b 和c,再利用余弦定理求出a 即可. 试
题
解
析
：
2()sin cos 2cos 1sin 2cos 22sin(2)6
f x x x x x x x π
=+-=
+=+
，
函数()f x 的最小正周期，2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
（k Z ∈），有
k π3
6
x k π
π
π-
≤≤+
，（k Z ∈），所以函数()f x 的单调递增区间为[,]3
6
k k π
π
ππ-
+
（k ∈Z )，
（2）因为
(A
)=
2s i n (2
6
f A A π
π+=<<有132(
,),66
A ππ
∈526
63
A A π
ππ
∴+
=
⇒=，
又
sin 2sin()2sin ,2B C C b c π=-==，又
ABC ∆的面积为，
1
sin 2
S bc A ∴=
=
，
则
8,b c c b
=∴=，
222164812,a b c bc a =+-=+-=∴=a 的值为.
考点：三角函数性质与解三角形；
17．（本小题满分13分）根据新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0
50，
各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为[)0,10，
[)10,20，[)20,30，[)30,40，[]40,50，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，
如图．
()I 求a 的值；
()II 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；
()III 用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率．如果空气质量指数不超过
20，就认定空气质量为“最优等级”．从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
【答案】（1）0.02，（2）25.6，（3）0.6
试题解析：(1)先求
a ，根据频率分布直方图中的数据可知
(0.030.0320.012)101a +++⨯=，则a
=0.02；
(2)50
个
样
本
中
空
气
质
量
指
数
的
平
均
值
为
：
0.150.2150.32250.335
x =⨯+⨯+⨯+⨯+0.08+ ⨯4525.6=；由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值为25.6;
(3)利用样本估计总体，该年度空气质量指数在[0,20]内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则
(2,0.3B ζ，ζ的可能取值为0，1，2；
002249
(0)(0.3)(0.7)100
P C ζ===
，(1)P ζ== 1242(0.3)(0.7)100C =
，220
29(2)(0.3)(0.7)100
P C ζ===； ζ的分布列为：
49429
0120.6100100100
E ζ=⨯
+⨯+⨯=（或0.30.6E ζ=⨯=） ζ的数学期望为0.6;
考点： 1.概率分布直方图；2.概率分布列与数学期望；
18．（本小题满分13分）如图1，在Rt C ∆AB 中，C 90∠AB =，C 60∠BA =，2AB =，
D 、
E 分别为C A 、D B 的中点，连接AE 并延长交C B 于
F ，将D ∆AB 沿D B 折起，使平
面D AB ⊥平面CD B ，如图2所示．
()I 求证：AE ⊥平面CD B ；
()II 求平面F AE 与平面DC A 所成的锐二面角的余弦值；
()III 在线段F A 上是否存在点M 使得//EM 平面DC A ？若存在，请指出点M 的位置；若不
存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析，（2）
5
，存在点M ，AM ：3AF =：4；
(2)由（1）结论知：AE ⊥平面BCD ，AE EF ∴⊥，由题意知,EF BD AE BD ⊥⊥，以
E 为坐标原点，分别以、、EA E
F ED 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系
E xyz -，由（1）得，2,1,A E B D D C A D B E
E D =
=====计
算
：,3,,
3
A E
B
C B F
===
则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(
,0)3
E D B A
F -
，C ，
则3,1,
0),DC =AD =
(0,1,，易知平面AEF 的一个法向量为(0,1,0)ED =，设平面ADC 的法向量为
(,,)n x y z =，则
0n DC n AD ⎧⋅=⎪⎨
⎪⋅=⎩
，
即
0y y +=⎪-=⎩
，
令
,1,y x =
=(1
,1)
n ∴=-
.cos ,n ED <>=
5=
所以平面AEF 与平面ADC 所成的锐二面角的余弦值为5
（
3
）
设
A M λ
=
，其中
[0,1]
λ∈
，
3(
,0,3),(,0,33
AF AM AF λλ=
-∴==
，其中[0,λ∈，(
,0,(13
EM EA AM λ=+=-，由0,EM n ⋅=解得3(0,1)4λ=∈. 所以在线段AF 上存在点M ，使//EM 平面ADC ，且AM ：3AF =：4
. 考点：1.空间直线与平面位置关系；（2）求二面角；
19.（本小题满分13分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点(P ，离心率1
2
e =
． ()I 求椭圆C 的方程；
()II 如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点， ()i 求k ，m 满足的关系式；
()ii 如图，1F 、2F 为椭圆C 的左、右焦点，作1F l M ⊥，2F l N ⊥，垂足分别为M 、N ，四
边形12F F MN 的面积S 是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
2
14
3
x y +
=，（2）22
43m k =+，（3），
【解析】
试题分析：先利用短半轴和离心率求出椭圆的标准方程，然后把直线和椭圆方程联立方程组消去y 得关于
x 的一元二次方程，由于直线与椭圆只有一个公共点，因此判别式为零，求出k ，m 满足的
关系式；最后一步分别求出两焦点到直线l 的距离12,d d ，利用12,d d 和直线的斜率k 表示MN 的长，从而写出梯形的面积，利用2
243m
k =+进行减元，用m 表示面积，最后根据
3m ≥，求出面积的最大值即可；
试题解析：(1)设椭圆C 的方程
22
221,x y a b
+=22221
3,
2,3+,432
c b a c a c c c a ==∴===+，1c =，2a =，所以椭圆C 的方程为
2
2
14
3
x y +
=.
(2)(ⅰ)将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆方程22
3412x y +=中
得;222
(43)4(43)k x k +-+
2(412)0m -=,由于直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知：2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=
，化简得：2
243m
k =+.
(ⅱ)
设1122,d F M d F M ====
0k ≠时，设直线l 的倾斜
角为θ，则
12
12tan ,d d d d MN MN k
θ--=⋅∴=
，2212
12121()22d d d d S d d k k --=+=2
21
m k =+ 2
28
1
3
1
4
m
m m m =
=-++，
2243,m k =+∴当0k ≠
时，
1
1m m m
>+
>
+
=
,3
S ∴<又当0k =时，四边形12F MNF
为矩形，S =所以四边形12F MNF 面积的最大
值为.
考点：直线与椭圆问题
20.（本小题满分14分）已知函数()ln f x x c =-（0x >）．
()I 若1x =为函数()()g x xf x =的极值点，求c 的值； ()II 若ln ln a c b <<，
()i 已知1:l x a =，2:l x b =，若直线1l 、2l 及直线y c =与函数()f x 的图象所围成的封闭
图形如阴影部分所示，求阴影面积S 关于c 的函数()S c 的最小值m ；
()ii 证明不等式：ln 2m
b a <-．
【答案】（1）1c =，（2）（ⅰ）ln ln (+)ln
2
a b
a a
b b a b ++-，（ⅱ）证明见解析，
试题解析：（1）
()ln (0),()()f x x c x g x xf x =->=，
()ln ,g x x x cx ∴=-()g x '=ln x 1c +-，又
1x =为极值点，(1)0,1g c '∴==，经检验1c =符合题意，所以1c =；
（2）（ⅰ）
()ln ln c
c
e b
x x a
e
S c c xd x cd =
-+
-⎰⎰=(ln )(ln )c
c
e b
x x a
e c x d x
c d -+
-⎰⎰
2()()ln ln c e c a b a b a a b b =-+-+++，设
()S c 2()()ln c e c a b a b a a =-+-++b +⋅
ln b 所以()2()c S c e a b '=-+，
又l n l n a c b <<，所以当(ln ,ln )2
a b
c a +∈时，
()0,S c '<
()S c 单调递减；当(ln
,ln )2
a b
c b +∈时，()0,S c '<()S c 单调递增；当ln
2
a b
c +=时，min
()S c =
m =(ln
)2
a b
S +ln ln (+)ln
2
a b
a a
b b a b +=+-，
(ⅱ)要证明
ln 2ln ln ()ln
()ln 22
m a b
a a
b b a b b a b a
+<⇔+-+<--，
令()ln ln ()ln
()ln 2()2
a x
F x a a x x a x x a x a +=+-+--≥，
()ln F x x '=-ln ln 22
a x
+-，
,()0,x a F x '≥∴≤则()F x 在[,)a +∞递减，又
()0,()()F a F b F a =∴<
0=，ln 2m b a
∴
<-；
考点：导数的应用
本题()1、()2、()3三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
()1（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵1212⎛⎫
A =
⎪-⎝⎭
．
()I 矩阵1212⎛⎫
A = ⎪-⎝⎭
对应的变换把直线:l 0x y +=变为直线l '，求直线l '的方程；
()II 求A 的逆矩阵1-A ．
【答案】（１）30x y -=，（２）1
1
122114
4A
-⎛⎫-
⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
【解析】
试题分析：设直线上任意一点(,)x y ''，利用矩阵运算变换为(,)x y ,求得2
2
x y x x y y ⎧-'=⎪⎪∴⎨+⎪'=⎪⎩，
代入0x y ''+=求出l '的方程为30x y -=.第二步求逆矩阵根据11001AA -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，设矩阵1
A -，利用矩阵运算，列方程求出；
试题解析：（1）设直线:0l x y +=上任意一点为(,)x y ''，它在矩阵A 的作用下对应的
点为(,)x y ，
由122122x x y x y x y y '''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
'''--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得22x x y y x y ''⎧=+⎨''=-+⎩，22
x y
x x y
y ⎧-'=⎪⎪∴⎨+⎪'=⎪⎩代入直
线:l x '+
0y '=得：
0,302
4
x y
x y
x y -++
=-=，所以直线l '的方程为30x y -=.
(2)设1a b A c d -⎛⎫=
⎪⎝⎭，则122210122201a b a c b d c d a c b d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
21201111,,,22442021
a c a c a
b
c
d b d b d
⎧+=⎪
-+=⎪∴⇒==-==⎨
+=⎪⎪-+=⎩，1
1
1221
144A -⎛⎫
- ⎪
⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭
； 考点：矩阵运算
()2（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程：12x t y t
=⎧⎨
=+⎩（t 为参数）和圆C
的极坐标方程：4πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭．
()I 求圆C 的直角坐标方程；
()II 判断直线l 与圆C 的位置关系．
【答案】（1）2
2
(1)(1)2x y -+-=，（2）相交，
(2)圆心C 到直线l
的距离=
d =<l 与圆C 相交.
考点：极坐标与参数方程
()3（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()f x x m =-．
()I 若不等式()3f x ≤的解集为{}15x x -≤≤，求实数m 的值； ()II 若实数a ，b ，c 满足222a b c m ++=，求22a b c ++的最大值．
【答案】（1）2m =，（2
） 【解析】
试题分析：先用公式解含绝对值的不等式，使其解集为已给解集，求出m 值，根据22a b c ++的特征，构造使用柯西不等式，利用柯西不等式求出最大值
试题解析：（1）由()3f x ≤得33x -≤，解得33m x m -≤≤+，由已知不等式
()3f x ≤的解
集为{15}x x -≤≤，31235
m m m ⎧-=-∴⇒=⎨
+=⎩；
考点：1.解绝对值不等式；2.柯西不等式；。