2019年七年级数学下期末模拟试卷(含答案)

2019年七年级数学下期末模拟试卷(含答案) 一、选择题
1．在实数3π，22
7
，0.2112111211112……（每两个2之多一个1），3，38中，无理
数的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，已知∠1=∠2，∠3=30°，则∠B的度数是( )
A．20o B．30o C．40o D．60o 3．计算2535
-+-的值是（）
A．－1B．1C．525
-D．255
-
4．已知方程组
276359
632713
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=-
⎩
的解满足1
x y m
-=-，则m的值为（）
A．-1B．-2C．1D．2
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(1，0)．点P第1次向上跳动1个单位至点
P1(1，1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(﹣1，1)，第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…．照此规律，点P第100次跳动至点P100的坐标是( )
A．(﹣26，50)B．(﹣25，50)
C．(26，50)D．(25，50)
6．已知关于x的方程2x+a-9=0的解是x=2，则a的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，能判定EB∥AC的条件是（）
A．∠C＝∠ABE B．∠A＝∠EBD C．∠C＝∠ABC D．∠A＝∠ABE
8．若|321|20x y x y --++-=，则x ，y 的值为（ ）
A ．14x y =⎧⎨=⎩
B ．20x y =⎧⎨=⎩
C ．02x y =⎧⎨=⎩
D ．11x y =⎧⎨=⎩
9．在平面直角坐标系内，线段CD 是由线段AB 平移得到的，点A （-2，3）的对应点为C （2，5），则点B （-4，-1）的对应点D 的坐标为（）
A ．()8,3--
B ．()4,2
C ．()0,1
D ．()1,8
10．如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A ．∠1和∠2是同旁内角
B ．∠1和∠3是对顶角
C ．∠3和∠4是同位角
D ．∠1和∠4是内错角
11．如图所示，点P 到直线l 的距离是（ ）
A ．线段PA 的长度
B ．线段PB 的长度
C ．线段PC 的长度
D ．线段PD 的长度 12．在平面直角坐标系中,点P(1,-2)在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 二、填空题
13．如图，已知AB ∥CD ，F 为CD 上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF ，若6°＜∠BAE ＜15°，∠C 的度数为整数，则∠C 的度数为_____．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，1），将线段AB 平移，使其一个端点到C （3，2），则平移后另一端点的坐标为______________．
15．某小区地下停车场入口门栏杆的平面示意图如图所示，
垂直地面 于点 ， 平行于地面 ，若 ，则 ________.
16．若a ，b 均为正整数，且a ＞7，b ＜32，则a ＋b 的最小值是_______________.
17．化简(2-1)0+(12
)-2-9+327-=________________________. 18．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，现在的传本共三卷，卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法；卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法；卷下记录算题，不但提供了答案，而且还给出了解法，其中记载：“今有木、不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文:“用一根绳子量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还到余1尺，问木长多少尺？”设绳长x 尺，木长y 尺.可列方程组为__________．
19．如图，点A ，B ，C 在直线l 上，PB ⊥l ，PA=6cm ，PB=5cm ，PC=7cm ，则点P 到直线l 的距离是_____cm.
20．已知点(0,)A a 和点(5,0)B ，且直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为10，则a 的值为________．
三、解答题
21．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，∠BOE=∠DOF=90°．
（1）写出图中与∠COE 互补的所有的角（不用说明理由）．
（2）问：∠COE 与∠AOF 相等吗？请说明理由；
（3）如果∠AOC=15
∠EOF ，求∠AOC 的度数． 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （a ，0），B （c ，c ），C （0，c ），且满足2(8)c 40a ++=，P 点从A 点出发沿x 轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q 点从O 点出发沿y 轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动.
（1）直接写出点B 的坐标，AO 和BC 位置关系是；
（2）当P 、Q 分别是线段AO ，OC 上时，连接PB ，QB ，使2PAB QBC S S ∆∆=，求出点P 的坐标；
（3）在P 、Q 的运动过程中，当∠CBQ =30°时，请探究∠OPQ 和∠PQB 的数量关系，并说明理由.
23．已知△ABC 是等边三角形，将一块含有30°角的直角三角尺DEF 按如图所示放置，让三角尺在BC 所在的直线上向右平移．如图①，当点E 与点B 重合时，点A 恰好落在三角尺的斜边DF 上．
(1)利用图①证明：EF ＝2BC ．
(2)在三角尺的平移过程中，在图②中线段AH ＝BE 是否始终成立(假定AB ，AC 与三角尺的斜边的交点分别为G ，H)？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
24．如图，已知AB CD ∥，B D ∠=∠，请用三种不同的方法说明AD BC ∥．
25．补充完成下列解题过程：
如图，已知直线a 、b 被直线l 所截，且//a b ，12100∠+∠=°，求3∠的度数．
解：1∠Q 与2∠是对顶角（已知），12∠∠∴=（ ）
12100∠+∠=︒Q （已知），得21100∠=︒（等量代换）．
1∴∠=_________（ ）．
//a b Q （已知），得13∠=∠（ ）．
3∴∠=________（等量代换）．
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据进行判断即可．
【详解】
无理数有3π，0.2112111211112……（每两个2之多一个13，共三个， 故选C ．
【点睛】
本题考查了无理数的知识，解题的关键是熟练掌握无理数的三种形式．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据内错角相等，两直线平行，得AB ∥CE ，再根据性质得∠B=∠3.
【详解】
因为∠1=∠2，
所以AB ∥CE
所以∠B=∠3=30o
故选B
【点睛】
熟练运用平行线的判定和性质.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据正数的绝对值是它本身和负数的绝对值是它的相反数，化简合并即可得到答案．
【详解】 解：2535+-(253525351-+=-+=，
故选B ．
【点睛】
本题主要考查了去绝对值的知识点，掌握正数的绝对值是它本身和负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 4．A
解析：A
【解析】
【分析】
观察方程结构和目标式，两个方程直接相减得到x-y=-2,，整体代入x-y=m-1，求出m 的值即可．
【详解】
解：276359632713x y x y +=⎧⎨+=-⎩①②
②-①得36x-36y=-72
则x-y=-2
所以m-1=-2
所以m=-1．
故选：A ．
【点睛】
考查了解二元一次方程组，解关于x ，y 二元一次方程组有关的问题，观察方程结构和目标式，巧妙变形，运用整体的思想求解，能简化计算，应熟练掌握.
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100250÷=，其中4的倍数的跳动都在y 轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y 轴的右侧.1P 横坐标为1，4P 横坐标为2，8P 横坐标为3，以此类推可得到100P 的横坐标．
【详解】
解：经过观察可得：1P 和2P 的纵坐标均为1，3P 和4P 的纵坐标均为2，5P 和6P 的纵坐标
均为3，因此可以推知99P 和100P 的纵坐标均为100250÷=；其中4的倍数的跳动都在
y 轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y 轴的右侧.1P 横坐标为1，4P 横坐标为2，8P 横坐标为3，以此类推可得到：n P 的横坐标为41n ÷+（n 是4的倍数）. 故点100P 的横坐标为：1004126÷+=，纵坐标为：100250÷=，点P 第100次跳动至点100P 的坐标为()26,50.
故选：C ．
【点睛】
本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是分析出题目的规律，找出题目中点的坐标的规律，属于中考常考题型．
6．D
解析：D
【解析】
∵方程2x +a ﹣9=0的解是x =2，∴2×2+a ﹣9=0，
解得a =5．故选D ．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【详解】
A 、∠C ＝∠ABE 不能判断出E
B ∥A
C ，故A 选项不符合题意；
B 、∠A ＝∠EBD 不能判断出EB ∥A
C ，故B 选项不符合题意；
C 、∠C ＝∠ABC 只能判断出AB ＝AC ，不能判断出EB ∥AC ，故C 选项不符合题意；
D 、∠A ＝∠AB
E ，根据内错角相等，两直线平行，可以得出EB ∥AC ，故D 选项符合题意．
故选：D ．
【点睛】
此题考查平行线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的
关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
8．D
解析：D
【解析】
分析：先根据非负数的性质列出关于x 、y 的二元一次方程组，再利用加减消元法求出x 的值，利用代入消元法求出y 的值即可．
详解：∵3210x y --=，
∴321020x y x y --⎧⎨+-⎩
＝＝ 将方程组变形为32=1=2x y x y -⎧⎨+⎩①②
， ①+②×
2得，5x=5，解得x=1， 把x=1代入①得，3-2y=1，解得y=1，
∴方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩
． 故选：D ．
点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据点A （-2，3）的对应点为C （2，5），可知横坐标由-2变为2，向右移动了4个单位，3变为5，表示向上移动了2个单位，以此规律可得D 的对应点的坐标．
【详解】
点A （-2，3）的对应点为C （2，5），可知横坐标由-2变为2，向右移动了4个单位，3变为5，表示向上移动了2个单位，
于是B （-4，-1）的对应点D 的横坐标为-4+4=0，点D 的纵坐标为-1+2=1，
故D （0，1）．
故选C ．
【点睛】
此题考查了坐标与图形的变化----平移，根据A （-2，3）变为C （2，5）的规律，将点的变化转化为坐标的变化是解题的关键．
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据对顶角、邻补角、同位角、内错角定义判断即可．
【详解】
A. ∠1和∠2是邻补角，故此选项错误；
B. ∠1和∠3是对顶角，此选项正确；
C. ∠3和∠4是同位角，此选项正确；
D. ∠1和∠4是内错角，此选项正确；
故选：A.
【点睛】
此题考查对顶角，邻补角，同位角，内错角，同旁内角，解题关键在于掌握各性质定义. 11．B
解析：B
【解析】
由点到直线的距离定义，即垂线段的长度可得结果，点P到直线l的距离是线段PB 的长度，
故选B.
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据各象限内点的坐标特征解答即可.
【详解】
∵点P(1,-2),横坐标大于0，纵坐标小于0，∴点P(1,-2)在第三象限,故选D.
【点睛】
本题考查了象限内点的坐标特征，关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号．
二、填空题
13．36°或37°【解析】分析：先过E作EG∥AB根据平行线的性质可得
∠AEF=∠BAE+∠DFE再设∠CEF=x则∠AEC=2x根据6°＜∠BAE＜15°即可得到6°＜3x-60°＜15°解得22°＜
解析：36°或37°．
【解析】
分析：先过E作EG∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF=∠BAE+∠DFE，再设
∠CEF=x，则∠AEC=2x，根据6°＜∠BAE＜15°，即可得到6°＜3x-60°＜15°，解得22°＜x ＜25°，进而得到∠C的度数．
详解：如图，过E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴GE∥CD，
∴∠BAE=∠AEG，∠DFE=∠GEF，
∴∠AEF=∠BAE+∠DFE，
设∠CEF=x，则∠AEC=2x，
∴x+2x=∠BAE+60°，
∴∠BAE=3x-60°，
又∵6°＜∠BAE＜15°，
∴6°＜3x-60°＜15°，
解得22°＜x＜25°，
又∵∠DFE是△CEF的外角，∠C的度数为整数，
∴∠C=60°-23°=37°或∠C=60°-24°=36°，
故答案为：36°或37°．
点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作平行线，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
14．（13）或（51）【解析】【分析】平移中点的变化规律是：横坐标右移加左移减；纵坐标上移加下移减【详解】解：①如图1当A平移到点C时∵C （32）A的坐标为（20）点B的坐标为（01）∴点A的横坐标增大
解析：（1，3）或（5，1）
【解析】
【分析】
平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【详解】
解：①如图1，当A平移到点C时，
∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，
平移后的B坐标为（1，3），
②如图2，当B平移到点C时，
∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点B的横坐标增大了3，纵坐标增大2，
∴平移后的A坐标为（5，1），
故答案为：（1，3）或（5，1）
【点睛】
本题考查坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而通过某点的变化情况来解决问题．
15．150°【解析】【分析】先过点B作BF∥CD由CD∥AE可得C D∥BF∥AE继而证得∠1+∠BCD=180°∠2+∠BAE=180°又由BA垂直于地面AE于
A∠BCD=120°求得答案【详解】如图过
解析：
【解析】
【分析】
先过点B作BF∥CD，由CD∥AE，可得CD∥BF∥AE，继而证得∠1+∠BCD=180°，
∠2+∠BAE=180°，又由BA垂直于地面AE于A，∠BCD=120°，求得答案．
【详解】
如图，过点B作BF∥CD，
∵CD∥AE，
∴CD∥BF∥AE，
∴∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180°，
∵∠BCD=120°，∠BAE=90°，
∴∠1=60°，∠2=90°，
∴∠ABC=∠1+∠2=150°．
故答案是：150o．
【点睛】
考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
16．4【解析】【分析】先估算的范围然后确定ab的最小值即可计算a+b的最
小值【详解】∵＜＜∴2＜＜3∵a＞a为正整数∴a的最小值为3∵＜＜∴1＜＜2∵b＜b为正整数∴b的最小值为1∴a+b的最小值为3+
解析：4
【解析】
【分析】
的范围，然后确定a、b的最小值，即可计算a+b的最小值．
【详解】
∴2
＜3，
∵a
，a为正整数，
∴a的最小值为3，
∴1
＜2，
∵b
，b为正整数，
∴b的最小值为1，
∴a+b的最小值为3+1=4．
故答案为：4．
【点睛】
此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是：确定a、b的最小值．
17．-1【解析】分析：直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质算术平方根的性质分别化简得出答案详解：原式=1+4-3-3=-1故答案为：-1点睛：此题主要考查了实数运算正确化简各数是解题关键
解析：-1
【解析】
分析：直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、算术平方根的性质分别化简得出答案．
详解：原式=1+4-3-3
=-1．
故答案为：-1．
点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．【解析】【分析】本题的等量关系是：绳长-木长=45；木长-绳长=1据此可列方程组求解【详解】设绳长x尺长木为y尺依题意得故答案为：【点睛】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组解题关键在于列出方程
解析：
4.5 1
1 2
x y
x y
-=
⎧
⎪
⎨
=-⎪⎩
【解析】
【分析】
本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；木长-
12
绳长=1，据此可列方程组求解． 【详解】
设绳长x 尺，长木为y 尺， 依题意得 4.5112
x y x y -=⎧⎪⎨=-⎪⎩， 故答案为： 4.5112
x y x y -=⎧⎪⎨=-⎪⎩. 【点睛】
此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键在于列出方程.
19．【解析】【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度可得答案【详解】解：∵PB ⊥lPB=5cm ∴P 到l 的距离是垂线段PB 的长度5c m 故答案为：5【点睛】本题考查了点到直线的距离的定
解析：【解析】
【分析】
根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案．
【详解】
解：∵PB ⊥l ，PB=5cm ，
∴P 到l 的距离是垂线段PB 的长度5cm ，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握是解题的关键.
20．±4【解析】【分析】根据三角形的面积公式和已知条件列等量关系式求解即可【详解】解：假设直角坐标系的原点为O 则直线与坐标轴围成的三角形是以OAOB 为直角边的直角三角形∵和点∴∴∴∴故答案为：±4【点睛
解析：±4
【解析】
【分析】
根据三角形的面积公式和已知条件列等量关系式求解即可．
【详解】
解：假设直角坐标系的原点为O ，
则直线AB 与坐标轴围成的三角形是以OA 、OB 为直角边的直角三角形，
∵(0,)A a 和点(5,0)B ，
∴||OA a =，5OB =,
∴11||51022
OAB S OA OB a ∆=⨯⨯=⨯⨯=， ∴||4=a ，
∴4a =±，
故答案为：±
4． 【点睛】
本题主要考查了三角形的面积和直角坐标系的相关知识，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个．
三、解答题
21．(1) ∠DOE ，∠BOF ；(2) 相等;(3) ∠AOC=30°．
【解析】
试题分析：
（1）由题意易得∠COE+∠DOE=180°，由∠BOE=∠DOF=90°可得∠DOE=∠BOF ，从而可得∠COE 的补角是∠DOE 和∠BOF ；
（2）由∠BOE=∠DOF=90°易得∠AOE=∠COF=90°，从而可得∠COE=∠AOF ；
（3）设∠AOC=x ，则可得∠EOF=5x ，结合∠COE=∠AOF 可得∠COE=2x ，由∠AOC+∠COE=∠AOE=90°列出关于x 的方程，解方程求得x 的值即可.
试题解析；
（1）∵直线AB 与CD 相交于点O ，
∴∠COE+∠DOE=180°，即∠DOE 是∠COE 的补角，
∵∠BOE=∠DOF=90°，
∴∠BOE+∠BOD=∠DOF+∠BOD ，
即：∠DOE=∠BOF ，
∴与∠COE 互补的角有：∠DOE ，∠BOF ；
（2）∠COE 与∠AOF 相等，
理由：∵直线AB 、CD 相交于点O ，
∴∠AOE+∠BOE=180°，∠COF+∠DOF=180°，
又∵∠BOE=∠DOF=90°，
∴∠AOE=∠COF=90°，
∴∠AOE ﹣∠AOC=∠COF ﹣∠AOC ，
∴∠COE=∠AOF ；
（3）设∠AOC=x ，则∠EOF=5x ，
∴∠COE+∠AOF=∠EOF-∠AOC=5x-x=4x ，
∵∠COE=∠AOF ，
∴∠COE=∠AOF=2x ，
∵∠AOE=90°，
∴x+2x=90°，
∴x=30°，
∴∠AOC=30°．
点睛：（1）有公共顶点，且部分重合的两个直角，其公共部分两侧的两个角相等（如本题中的∠COE=∠AOF ）；（2）解第3小题的关键是：当设∠AOC=x 时，利用已知条件把∠COE 用含“x ”的式子表达出来，这样即可由∠AOC+∠COE=∠AOE=90°，列出关于“x ”的方程，解方程即可得到所求答案了.
22．(1)（-4，-4） ,BC ∥AO ；（2）P （−4，0）;（3）∠PQB =∠OPQ +30°或
∠BQP +∠OPQ =150°
【解析】
【分析】
（1）由2(8)40a c +++=解出c ，得到B 点，易知BC ∥AO ；
（2）过B 点作BE ⊥AO 于E ，设时间经过t 秒，AP ＝2t ，OQ ＝t ，CQ ＝4-t ；用t 表示出PAB S ∆与QBC S ∆，根据2PAB QBC S S ∆∆=列出方程解出t 即可；
（3）要分情况进行讨论，①当点Q 在点C 的上方时；过Q 点作QH ∥AO 如图1所示，利用平行线的性质可得到∠PQB =∠OPQ +30°；
②当点Q 在点C 的下方时；过Q 点作HJ ∥AO 如图2所示，同样利用平行线的性质可得到，∠BQP +∠OPQ =150°
【详解】
(1)由2(8)40a c +++=得到c+4=0，得到c=-4
（-4，-4） ,BC ∥AO
(2)过B 点作BE ⊥AO 于E
设时间经过t 秒，则AP ＝2t ，OQ ＝t ，CQ ＝4-t
∵BE ＝4，BC ＝4，
∴APB 1AP 2S V =·1BE 2442
t t =⨯⨯= ()BCQ 11 S CQ?BC 448222t t =
=⨯-⨯=-V ∵APB BCQ 2S S =V V
∴()4282t t =-
解得t =2
∴AP ＝2t ＝4
∴P（−4，0）
(3) ①当点Q在点C的上方时；过Q点作QH∥AO如图一所示，
∴∠OPQ=∠PQH.
又∵BC∥AO，QH∥AO
∴QH∥BC
∴∠HQB=∠BCQ=30°.
∴∠OPQ+∠BCQ=∠PQH+∠BQH.
∴即∠PQB =∠OPQ+∠CBQ.
即∠PQB =∠OPQ+30°
②当点Q在点C的下方时；过Q点作HJ∥AO如图二所示，
∴∠OPQ=∠PQJ.
又∵BC∥AO，QH∥AO
∴QH∥BC
∴∠HQB=∠BCQ=30°.
∴∠HQB+∠BQP+∠PQJ=180°，
∴30°+∠BQP+∠OPQ=180°
即∠BQP+∠OPQ=150°
综上所述∠PQB =∠OPQ+30°或∠BQP+∠OPQ=150°
【点睛】
本题重点考察非负项的性质、三角形面积的计算、平行线的性质等知识点，综合程度比较高，第三问对Q点进行分情况讨论，作出辅助线是解题关键
23．（1）详见解析；（2）成立，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，得∠ACB =60°，AC =BC ．结合三角形外角的性质，得∠CAF =30°，则CF =AC ，从而证明结论；
（2）根据（1）中的证明方法，得到CH =CF ．根据（1）中的结论，知BE +CF =AC ，从而证明结论．
【详解】
（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，AC =BC ．
∵∠F =30°，∴∠CAF =60°－30°=30°，∴∠CAF =∠F ，∴CF =AC ，∴CF =AC =BC ，
∴EF =2BC ．
（2）成立．证明如下：
∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，AC =BC ．
∵∠F =30°，∴∠CHF =60°－30°=30°，∴∠CHF =∠F ，∴CH =CF ．
∵EF =2BC ，∴BE ＋CF =BC ．
又∵AH ＋CH =AC ，AC =BC ，∴AH =BE ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、三角形的外角性质以及等腰三角形的判定及性质．证明EF =2BC 是解题的关键．
24．见解析
【解析】
【分析】
有多种方法可证明：
方法一：通过∠C 转化得到180D C ∠+∠=︒，从而证明；
方法二：连接BD ，根据平行得ABD CDB ∠=∠，角度转化得到DBC BDA ∠=∠，从而证平行；
方法三：延长BC 至E ，根据平行得B DCE ∠=∠，角度转化得DCE D ∠=∠，从而证平行．
【详解】
方法一：∵AB ∥CD ∴180B C ∠+∠=︒
∵B D ∠=∠∴180D C ∠+∠=︒
∴AD ∥BC
方法二：连接BD
∵AB ∥CD ∴ABD CDB ∠=∠
又∵ABC CDA ∠=∠∴ABC ABD CDA CDB ∠-∠=∠-∠
∴DBC BDA ∠=∠∴AD ∥BC
方法三：延长BC 至E
∵AB ∥CD ∴B DCE ∠=∠
又∵B D ∠=∠∴DCE D ∠=∠
∴AD ∥BC
【点睛】
本题考查平行线的性质和证明，注意，仅当两直线平行时才有：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．
25．对顶角相等；50︒；等式性质；两直线平行，内错角相等；50︒
【解析】
【分析】
直接利用平行线的性质结合等式的性质分别填空得出答案．
【详解】
∵∠1与∠2是对顶角（已知），
∴∠1=∠2（对顶角相等）.
∵∠1+∠2=100°（已知），
∴2∠1=100°（等量代换），
∴∠1=50°，
∵a ∥b （已知），
∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）
∴∠3=50°（等量代换）．
故答案为：对顶角相等；50°；两直线平行，内错角相等；50°．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及等式的性质，正确掌握相关性质是解题关键．。