2015届高考数学二轮复习专题训练8.3空间点、直线、平面之间的位置关系

一、课前小测摸底细
1.【2014年广东】若空间中四条两两不同的直线1l ，2l ，3l ，4l 满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是（ ）
A ．14l l ⊥ B.14//l l
C. 1l 与4l 既不垂直也不平行
D. 1l 与4l 的位置关系不确定
2.【2014年哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学高三第一次联合模拟考试】直线,m n 均不在平面,αβ内，给出下列命题：
①若,m n n α，则m α；②若,m βαβ，
则m α；③若,m n n α⊥⊥，则m α；④若,m βαβ⊥⊥，则m α.则其中正确命题的个数是（ ）
A. 1
B.2
C.3
D.4
3.直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
4.下列命题：
①三个点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面；④两条平行线确定一个平面；⑤若四点不共面，则必有三点不共线．
其中正确命题是________．
5.如图所示，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点．问：
（Ⅰ） AM 和CN 是否是异面直线？说明理由；
（Ⅱ）D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由．
二、课中考点全掌握
考点一：平面的基本性质
【1-1】下列命题中错误的是( )．
A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
【1-2】以下四个命题中，正确命题的个数是( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面
A．0 B．1 C．2 D．3
【1-3】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．
【1-3】(2013年江西卷)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
【1-4】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．
【1-5】如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．
综合点评：
证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．
证明点或线共面问题，一般有以下两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合．
异面直线的判定方法
判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；
反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
【基础知识重温】
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．
(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
【方法规律技巧】
公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．
画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．
要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证
点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上.
【新题变式探究】
【变式1】以下四个命题中，正确命题的个数是( )．
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2】设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )
①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【变式3】三条直线两两垂直，给出下列四个结论：
①这三条直线必共点；
②其中必有两条是异面直线；
③三条直线不可能共面；
④其中必有两条在同一平面内．
其中正确结论的序号是________．
【变式4】如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
（Ⅰ）求证：E，F，G，H四点共面；
（Ⅱ）设EG与FH交于点P，
求证：P，A，C三点共线．
【变式5】如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．
考点二：空间两直线的位置关系
【1-1】对于直线m、n和平面α，下列命题中的真命题是( )
A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α
B．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交
C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
D．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m与n相交
【1-2】已知a，b，c是直线，α，β是平面，给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，b⊥c，则a⊥c；③a∥α，b⊂α，则a∥b；④若a，b异面，且a∥β，则b与β相交；⑤若a，b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直．其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【1-3】 l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l2∥l3∥l1⇒ l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
【1-4】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线( )
A．不存在B．有且只有两条
C．有且只有三条D．有无数条
【1-5】正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：
（Ⅰ）E、C、D1、F四点共面；
（Ⅱ）CE、D1F、DA三线共点．
综合点评：
要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上．
【基础知识重温】
直线与直线的位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交
异面直线：不同在任何一个平面内
直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【方法规律技巧】
空间中直线位置关系的判定，主要是异面和垂直的判定．对于异面直线，可采用定理或反证法，对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质说明．
【新题变式探究】
【变式1】【2014重庆模拟】若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是
( )
A ．平行
B ．异面
C ．相交
D ．平行、异面或相交
【变式2】【2014年长春一模】一个正方体的展开图如图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )．
A ．A
B ∥CD B ．AB 与CD 相交
C ．AB ⊥C
D D ．AB 与CD 所成的角为60°
【变式3】如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结
论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．
【变式4】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．
【变式5】已知空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的中点．
（Ⅰ）求证：BC与AD是异面直线；
（Ⅱ）求证：EG与FH相交．
考点三：异面直线所成的角
【1-1】已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )．
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
【1-2】如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )．
A ．12对
B ．24对
C ．36对
D ．48对
【1-3】已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b( )
A ．一定是异面直线
B ．一定是相交直线
C ．不可能是平行直线
D ．不可能是相交直线
【1-4】在下图中，G 、H 、M 、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．
【1-5】 A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点．
（Ⅰ）求证：直线EF 与BD 是异面直线；
（Ⅱ）若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．
综合点评：
证明两直线为异面直线的方法
定义法(不易操作)．
反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
【基础知识重温】
异面直线所成的角
①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a′∥a ，b′∥b ，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：]2,0(
.
异面直线的判定方法：
判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线； 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
【方法规律技巧】
求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是]2,
0(π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为
两条异面直线所成的角．
求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
【新题变式探究】
【变式1】【2014年成都模拟】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1的中点，则A 1B 与EF 所成角的大小为________．
【变式2】已知空间三条直线l ，m ，n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则( )
A ．m 与n 异面
B ．m 与n 相交
C ．m 与n 平行
D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能
【变式3】【上海市2014届高三八校联合调研考试数学（理）试题】在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒ ,11,2AB =BC =BB =，则异面直线11B C 与1
AC 所成角的大小为 .
【变式4】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．
【变式5】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝22，PA＝2.求：
（Ⅰ）三角形PCD的面积；
（Ⅱ）异面直线BC与AE所成的角的大小．
三．易错试题常警惕
易错典例：l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面。