2014年普通高等学校招生统一考试数学试卷(四川.文)
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2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数 学(文史类)
本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)。
第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
注意事项:
必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只
有一个是符合题目要求的。
1、已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤,集合B 为整数集,则A
B =( )
A 、{1,0}-
B 、{0,1}
C 、{2,1,0,1}--
D 、{1,0,1,2}- 【答案】D
2、在“世界读书日”前夕,为了了解某地5000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析。
在这个问题中,5000名居民的阅读时间的全体是( )
A 、总体
B 、个体
C 、样本的容量
D 、从总体中抽取的一个样本 【答案】A
3、为了得到函数sin(1)y x =+的图象,只需把函数sin y x =的图象上所有的点( )
A 、向左平行移动1个单位长度
B 、向右平行移动1个单位长度
C 、向左平行移动π个单位长度
D 、向右平行移动π个单位长度 【答案】A
4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )(锥体体积公式:
侧视图
俯视图
11
2
2
2
21
1
1
3
V Sh =,其中S 为底面面积,h 为高)
A 、3
B 、2
C
D 、1 【答案】D
5、若0a b >>,0c d <<,则一定有( )
A 、a b d c >
B 、a b d c <
C 、a b c d >
D 、a b c d
<
【答案】B
6、执行如图的程序框图,如果输入的,x y R ∈,那么输出的S 的最大值为( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 【答案】C
7、已知0b >,5log b a =,lg b c =,510d
=,则下列等式一定成立的是( ) A 、d ac = B 、a cd = C 、c ad = D 、d a c =+ 【答案】B
8、如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75,30,此时气球的高是60cm ,则河流的宽度BC 等于( )
A 、1)m
B 、1)m
C 、1)m
D 、1)m 【答案】 C.
9、设m R ∈,过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ,则||||PA PB +的取值范围是( )
A 、
B 、
C 、
D 、
【答案】B
10、已知F 为抛物线2
y x =的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,
2OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点),则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是( )
A 、2
B 、3
C
D 【答案】B
第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
注意事项:
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。
作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。
答在试题卷、草稿纸上无效。
第Ⅱ卷共11小题。
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
11、双曲线2
214
x y -=的离心率等于____________。
【答案】
2
. 12、复数
221i
i
-=+____________。
【答案】2i -.
13、设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数,当[1,1)x ∈-时,
242,10,(),
01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩,则3()2f =____________。
【答案】1
14、平面向量(1,2)a =,(4,2)b =,c ma b =+(m R ∈),且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角,则m =____________。
【答案】 2.
15、以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合:
对于函数()x ϕ,存在一个正数M ,使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -。
例如,当
31()x x ϕ=,2()sin x x ϕ=时,1()x A ϕ∈,2()x B ϕ∈。
现有如下命题:
①设函数()f x 的定义域为D ,则“()f x A ∈”的充要条件是“b R ∀∈,x R ∃∈,()f a b =”; ②若函数()f x B ∈,则()f x 有最大值和最小值;
③若函数()f x ,()g x 的定义域相同,且()f x A ∈,()g x B ∈,则()()f x g x B +∉; ④若函数2
()ln(2)1
x
f x a x x =++
+(2x >-,a R ∈)有最大值,则()f x B ∈。
其中的真命题有____________。
(写出所有真命题的序号)。
【答案】①③④
三、解答题:本大题共6小题,共75分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)
一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同。
随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a ,b ,c 。
(Ⅰ)求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率; (Ⅱ)求“抽取的卡片上的数字a ,b ,c 不完全相同”的概率。
【答案】(1)
19;(2)8
9
. . 本题主要考查随机事件的概率,古典概型等概念及相关计算,考察应用意识
(1)由题意,(,,)a b c 的所有可能为:
(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3), (2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),
(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种. 设“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”为事件A ,则事件A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,共3种, 所以31
()279
P A =
=.
因此“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为
1
9
21213V ==.
(2)设“抽取的卡片上的数字,,a b c 不完全相同”为事件B , 则事件B 包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种,
所以38()1279
P B =-
=. 因此“抽取的卡片上的数字,,a b c 不完全相同”的概率为
89
. 17、(本小题满分12分)
已知函数()sin(3)4
f x x π
=+
(Ⅰ)求()f x 的单调递增区间;
(Ⅱ)若α是第二象限角,4()cos()cos 2354
f α
π
αα=+,求cos sin αα-的值。
【答案】(1)22
()43123
k x k k Z ππππ-+≤≤+∈;
(2
)
,2-.
试题分析:本题主要考查正弦型函数的性质,二倍角于和差角公式,简单的三角恒等变换等基础知识,考察运算求解能力,考察分类与整合,化归与转化等数学思想 (1)22
232()2
4
2
43123
k x k k x k k Z π
π
π
π
πππππ-
+≤+
≤
+⇒-
+≤≤+∈; (2)由已知,有4sin()cos()cos 2454
π
π
ααα+=+, 即4
sin cos (cos sin )(cos sin )(sin cos )5
αααααααα+=
--+,. 若sin cos 0αα+=
,则cos sin αα-=, 若sin cos 0αα+≠
,则241(cos sin )cos sin 5αααα=
-⇒-=综上得,cos sin αα-
的值为
或2
-. 18、(本小题满分12分)
在如图所示的多面体中,四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形。
(Ⅰ)若AC BC ⊥,证明:直线BC ⊥平面11ACC A ;
(Ⅱ)设D ,E 分别是线段BC ,1CC 的中点,在线段AB 上是否存在一点M ,使直线//DE 平面1A MC ?请证明你的结论。
【答案】(1)证明详见解析;(2)存在,M 为线段AB 的中点时,直线
DE
C 1A
平面1A MC .
试题分析:本题主要考查空间线面平行和垂直的 判定与性质等基础知识,考察空间想
象能力、推理论证能力。
(Ⅰ)因为四边形11ABB A 和11ACC A 都是矩形, 所以11,AA AB AA AC ⊥⊥.
因为AB ,AC 为平面ABC 内的两条相交直线, 所以1AA ⊥平面ABC.
因为直线BC ⊂平面ABC 内,所以1AA BC ⊥.
又由已知,1,,AC BC AA AC ⊥为平面11ACC A 内的两条相交直线, 所以,BC ⊥平面11ACC A .
C
C 1
(2)取线段AB 的中点M ,连接111,,,A M MC AC AC ,设O 为11,A C AC 的交点. 由已知,O 为1AC 的中点.
连接MD ,OE ,则MD ,OE 分别为1,ABC ACC ∆∆的中位线. 所以,11
,,22
MD
AC OE AC MD OE ∴, 连接OM ,从而四边形MDEO 为平行四边形,则DE MO .
因为直线DE ⊄平面1A MC ,MO ⊂平面1A MC , 所以直线DE
平面1A MC .
即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点),使得直线DE 平面1A MC .
19、(本小题满分12分)
设等差数列{}n a 的公差为d ,点(,)n n a b 在函数()2x
f x =的图象上(n N *
∈)。
(Ⅰ)证明:数列{}n b 为等差数列;
(Ⅱ)若11a =,函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为1
2ln 2
-,求数列2
{}n n a b 的前n 项和n S 。
【答案】(1)详见解析;(2)1(31)44
9
n n n T +-+=.
试题分析:本题考查等差数列与等比数列的概念、等差数列与等比数列的通项公式与前n 项和、导数的 几何意义等基础知识,考察运算求解能力、推理论证能力。
(1)由已知,2n
a n
b =0>..
当1n ≥时,
11
22n n a a d n n
b b +-+==. 所以,数列是首项为12a
,公比为2d 的等比数列.
(2)()2x f x =求导得()2l n 2x f x '=,所以()2x
f x =在22(,)a b 处的切线为
2222ln 2()
a y
b x a -=-,令
y =得
222221
(2ln 2)(),,2ln 2
a b x a x a a -=⨯-=-
∴=, 所以211,n d a n =-=∴=,2n n b =.所以24n
n n a b n =⋅, 其前n 项和:23
1142434(1)44n n
n T n n -=⋅+⋅+⋅+
+-⋅+⋅…………………………
①
两
边
乘以
4得:
2
3
4414243
4
n
n n T n n +=⋅
+⋅+⋅+
+-⋅
+⋅…………………………② ①-②得:12
3
1
1
44444444
43
n n n n n n T T n n ++
+--=+++
+-⋅=-⋅,所以
1(31)449
n n n T +-+=.
.20、(本小题满分13分)
已知椭圆C :22
221x y a b
+=(0a b >>)的左焦点为(2,0)F -
,离心率为3。
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;
(Ⅱ)设O 为坐标原点,T 为直线3x =-上一点,过F 作TF 的垂线交椭圆于P ,Q 。
当四边形OPTQ 是平行四边形时,求四边形OPTQ 的面积。
【答案】(1) 22
162
x y +=;(2
)
试题分析:本题主要考查直线及椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考察推理论证能力、运算求解能力,考察数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想。
(1
)由已知得:
3
c a =,2c =
,所以a =又由2
2
2
a b c =+
,解得b =,所以椭圆的标准方程为:22
162
x y +=. (2)设T 点的坐标为(3,)m -,则直线TF 的斜率0
3(2)
TF m k m -==----.
当0m ≠时,直线PQ 的斜率1
PQ k m
=
,直线PQ 的方程是2x my =- 当0m =时,直线PQ 的方程是2x =-,也符合2x my =-的形式. 将2x my =-代入椭圆方程得:2
2
(3)420m y my +--=. 其判别式2
2
168(3)0m m ∆=++>. 设1122(,),(,)P x y Q x y , 则12121212222
4212
,,()4333
m y y y y x x m y y m m m --+=
=+=+-=+++. 因为四边形OPTQ 是平行四边形,所以OP QT =,即1122(,)(3,)x y x m y =---.
所以122122
123343x x m m y y m m -⎧+==-⎪⎪+⎨⎪+==⎪+⎩
解得1m =±.
此时四边形OPTQ 的面积
122122||||423
OPTQ OPQ S S OF y y m ==⨯⋅-==+21、(本小题满分14分)
已知函数2
()1x
f x e ax bx =---,其中,a b R ∈, 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数。
(Ⅰ)设()
g x 是函数()f x 的导函数,求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值; (Ⅱ)若(1)0f =,函数()f x 在区间(0,1)内有零点,证明:21e a -<<。
本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想,并考查思维的严谨性. (Ⅰ)()2,()2x
x
g x e ax b g x e a '=--=-
①当0a ≤时,()20x
g x e a '=->,所以()(0)1g x g b ≥=-.
②当0a >时,由()20x
g x e a '=->得2,ln(2)x
e a x a >>. 若12a >
,则ln(2)0a >;若2
e
a >,则ln(2)1a >. 所以当1
02
a <≤时,()g x 在[0,1]上单调递增,所以()(0)1g x g
b ≥=-. 当
122
e
a <≤时,()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减,在[ln 2,1]a 上单调递增,所以()(ln 2)22ln 2g x g a a a a
b ≥=--.
当2
e
a >
时,()g x 在[0,1]上单调递减,所以()(1)2g x g e a b ≥=--. (Ⅱ)设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点,则由0(0)()0f f x ==可知,
()f x 在区间0(0,)x 上不可能单调递增,也不可能单调递减.
则()g x 不可能恒为正,也不可能恒为负. 故()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x . 同理()g x 在区间0(,1)x 内存在零点2x . 所以()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点. 由(Ⅰ)知,当1
2
a ≤时,()g x 在[0,1]上单调递增,故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 当2
e
a ≥时,()g x 在[0,1]上单调递减,故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 所以
122
e a <<. 此时,()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减,在[ln 2,1]a 上单调递增,
因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈,必有
(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->.
由(1)10f e a b =---=得:12a b e +=-<,有
(0)120,(1)210g b a e g e a b a =-=-+>=--=->.
解得21e a -<<.
所以,函数()f x 在区间(0,1)内有零点时,21e a -<<.。