幂级数解法

线性微分方程的幂级数解法
常系数齐次线性微分方程可以用代数的方法进行求解，然而，对于变系数线性微分方程来说，由于方程的系数是自变量的函数，就不能用代数的方法求解。

微积分学的知识告诉我们，在满足某一些条件下，可以用幂级数表示一个函数，由此自然想到能否用幂级数表示微分方程的解呢？本章以二阶方程为例，讨论线性微分方程的幂级数解法。

考虑变系数线性微分方程 (5.1)
0)()
()
(22
=++y x c dx
dy x b dx
y d x a 其中)(),(),(x c x b x a 均为x 的解析函数。

如果系数函数)(),(),(x c x b x a 中含有公因子)(0x x -，那么可把其削去，考虑原方程的同解方程即可。

因此，不妨假设系数函数没有公因子)(0x x -。

下面分两种情况考虑方程)1.5(的初值问题解的存在唯一性。

)1( 0)(0≠x a ，则由)(x a 的解析性，在0x x =的某一邻域内0)(≠x a 。

此时，可把方程)1.5(改写成如下形式
(5.2)
0)()
(2
2
=++y x q dx
dy x p dx
y d 其中)
()()( ,)
()()(x a x c x q x a x b x p =
=在0x x =的某一邻域内是解析函数。

考虑方程)2.5(的初值条件
）（是给定的常数）其中3.5 ,()( ,)(2120'
10y y y x y y x y ==
则初值问题)3.5()2.5(+的解是存在且唯一的。

此时，称0x x =为方程)1.5(的一个常点。

)2( 0)(0=x a ，由于)(),(),(x c x b x a 中不含有公因子)(0x x -，则)(0x b 和)(0x c 中至少
有一个不等于零。

因此，在|)(|0x p 和|)(|0x q 中至少有一个为∞+。

此时，无法确定初值问题)3.5()2.5(+的解是存在且唯一的。

在这一种情况下称0x x =为方程)1.5(的一个奇点。

本章主要以 勒让德方程和贝塞耳方程为例分别讨论了微分方程)1.5(在常点邻域内的幂级数解法以及在奇点邻域内的广义幂级数解法。

5.1幂级数的相关知识
定义 每一项都是幂函数的函数项级数称为幂级数，它的一般形式是
(5.4)
)()()()(020201000
+-++-+-+=-∑∞
=n
n n n n
x x a x x a x x a a x x a
其中),2,1,0( =n a n 称为幂级数)4.5(的系数。

下面，列举幂级数解法中常用的知识点。

)1( 令k
n k k
n x x a
x S )()(01
-=
∑-=，则称)}({x S n 为幂级数)4.5(的n 次部分和函数序列。

若
)}({x S n 在点x 收敛，称幂级数)4.5(在点x 是收敛的；否则，称幂级数在点x 发散。

显然，幂级数)4.5(在点0x 总是收敛的；而且，由正项级数的比值判别法，可以构造出形如)4.5(的幂级数，使它在0x x ≠处是收敛的；同样，也可以构造出形如)4.5(的在0x x ≠处是发散的幂级数。

)2( 如果级数
(5.5) |)(||)(||)(||||)(|020201000
+-++-+-+=-∑∞
=n
n n n n
x x a x x a x x a a x x a
在点x 处是收敛的，则称幂级数)4.5(在点x 处是绝对收敛的。

由柯西收敛原理，如果幂级数)4.5(在点x 处是绝对收敛的，那么它在点x 处必定是收敛的。

但是，反之结论不一定成立。

然而，若由比值判别法或根值法得到幂级数)5.5(在点x 处是发散的，那么幂级数)4.5(在点x 处也是发散的。

)3( 检验幂级数的绝对收敛性和发散性常用比值判别法或根值法：
对于固定的x ，若
常数）(|
)(||
)
(|lim
0101c x x a x x a n
n n n n =--++∞
→ 或 常数）(|)(|lim
0c x x a n
n
n n =-∞
→
那么
)a （ 当1<c 时，幂级数)4.5(在点x 处是绝对收敛的； )(b 当1>c 时，幂级数)4.5(在点x 处是发散的；
)(c 当1=c 时，幂级数)4.5(在点x 处可能收敛也可能发散。

)4( 由根值判别法，对于幂级数)4.5(，存在一个非负常数
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
∞==∞++∞<<=∞
→∞
→∞
→∞→时＋当，时
当时当n n n n n n n n n n a a a a R ||lim 0 0||lim ,||lim 0 ,||lim 1n n ， 使得：当R x x <-||0时，幂级数)4.5(在点x 处是绝对收敛的；当R x x >-||0时，幂级数)4.5(在点x 处是发散的。

即此时，幂级数)4.5(的收敛区间为) ,(00R x R x +-，而R x -0与R x +0有可能在)4.5(的收敛范围内，也有可能不在。

此时，称R 为幂级数)4.5(的收敛半径。

对于幂级数的收敛半径，要注意
)(a 当0=R 时，幂级数)4.5(的收敛范围内只有一点0x ； )(b 当+∞=R 时，幂级数)4.5(在整个实数集上收敛。

)5( 如果幂级数)4.5(在点1x 处是收敛的，那么它必在|}||:||{010x x x x x -<-内是绝对
收敛的；如果幂级数)4.5(在点1x 处是发散的，则它必在|}||:||{010x x x x x ->-也是发散的。

)6( 设幂级数)4.5(的收敛半径为0>R ，令
R x x x x a
x f n
n n
<--=∑∞
=|| ,)()( 000
则以下结论成立：
)(a 幂级数)4.5(是函数)(x f 的泰勒级数，其中)2,1,0(!
)
(0)
( ==
n n x f
a n n ；
)(b 在收敛区间) ,(00R x R x +-内，幂级数)4.5(可以逐项积分和微分。

即：对) ,(00R x R x +-内任意一点x ，有
⎰
∑∑⎰=
-+=
-+∞
=∞
=x
x n n n
n
n x
x
n
dt t f x
x n a dt x t a
)()
(1)(1
000
以及
)()(])([1
00
00
x f dx
d x x na
x x a
dx d
n n n
n
n
n =
-=--∞
=∞
=∑∑
并且逐项积分和逐项求导后的幂级数，收敛半径仍为R 。

)7( 设级数
1000|| ,)()( R x x x x a
x f n
n n
<--=
∑∞
=
2000
|| ,)()( R x x x x a
x g m
m m
<--=
∑∞
=
的收敛半径分别为1R 和2R ，则
},m i n {|| ,))(()()(21000R R x x x x b a
x g x f n
n n n
<--±=
±∑∞
=
},m i n {|| ,)()()(21000
R R x x x x c x g x f n
n n <--=
∑
∞
=
其中),2,1,0( 011110 =++++=--n b a b a b a b a c n n n n n
)8( ),()(x g x f = 即
}),min{|| ( )()(21000
00
R R x x x x b
x x a
n
n n
n
n n
<--≡
-∑∑∞
=∞
=, 则
),2,1,0( ==n b a n n 。

习题5.1
1 确定下列幂级数的收敛半径。

)1(
2
0)
1(n
x n n n
∑∞
=- )2(
∑
∞
=⨯14
n n
n n x
)3(
1
3)
1(1
21+-+∞
=∑n x
n n n
)4(
2
21
2
12-∞
=∑
+n n n
x
n )5(
∑
∞
=-1
)
3(n n
n
x )6(
∑
∞
=+1
!
2)1(n n
n
n x
2 确定下列函数在0x x =处的泰勒级数，及其收敛半径。

)1( )0( cos 0=x x )2( )0( 0=x e x
)3( )1( 1202
-=++x x x )4( )0( )1ln(0=+x x )5(
)1( 10=x x
)6(
)1( 3
4102
=++x x x
3 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数。

)1(
∑∞
=-1
1
n n nx
)2(
∑∞
=++1
1313n n n x
)3( ∑
∞
=--1
1
41
4n n n x
5.2幂级数解法
本节主要讨论微分方程)1.5(在常点0x 邻域内的幂级数解法。

当0x 为方程的常点时，下面的结论成立。

定理5.1 若0x x =为方程)1.5(的常点，则
)1( 微分方程)1.5(可以改写成微分方程)2.5(，且系数函数
n
n n
x x a
x p )()(00
-=
∑∞
= 和 n
n n
x x b
x q )()(0
0∑∞
=-=
都是解析的）),((00R x R x x +-∈。

）（2 微分方程)2.5(有收敛的幂级数解
(5.6) || , )(000
R x x x x c
n
n n
<--∑∞
＝
其中10,c c 是两个任意的常数，而)2(≥n c n 随10,c c 而定。

一般来说，寻找方程)2.5(的幂级数解的方法如下：假设方程)2.5(有如下形式的解
(5.7)
|| , )(000
R x x x x d
n
n n
<--∑∞
＝ 将)7.5(形式地代入微分方程)2.5(后，得到一个形式上的恒等式，通过比较该恒等式中关于0x x -的同次幂的系数，就可以把幂级数)7.5(中的系数n d 依次唯一的确定出来，从而得到微分方程)2.5(的“形式幂级数解)7.5(”，此时还易知，该形式上的幂级数解是唯一的。

由定理5.1，收敛的幂级数解)6.5(也是微分方程)2.5(的形式幂级数解。

根据形式幂级数解的唯一性，形式幂级数解)7.5(就是收敛的幂级数解)6.5(。

因此，形式幂级数解)7.5(是收敛的。

例5.1 求解方程
0)(22
=--x y dx
dy x
dx
y d
解 易知0=x 为原方程的一个常点。

令
)( 22100
+∞<<-∞+++++==
∑∞
=x x c x c x c c x
c
y n
n n
n n
是原方程的一个形式幂级数解，则
)
( 21
211
1
+∞<<-∞++++==
--∞
=∑x x
nc x c c x nc
dx
dy n n n n n
)()1(62)1(2
322
2
2
2
+∞<<-∞+-++=-=
--∞
=∑x x
c n n x c c x
c
n n dx
y d n n n n n
将2
2
,,dx
y
d dx dy y 带回原方程，比较x 的同次幂的系数后，得 ),2,1,0( 2
12 =+=+n c n c n n
因而 ),2,1,0( )!
12(!2 ,!2111202 =+=
=
+n c n n c c n c n
n n
n
即1
20
120
0)!
12(!2!
21+∞
=∞
=∑
∑
++=n n n
n
n n x
n n c x
n c y
用比值判别法，易有上述形式幂级数在),(+∞-∞上是收敛的，其中10,c c 是两个任意的数。

从而，所求出的形式幂级数解就是原方程的通解。

例5.2 对于下面的初值问题求出)(),(0)
3(0)
2(x y
x y
和)(0)
4(x y
，从而写出初值问题相应的
近似解。

⎪⎩
⎪⎨⎧====++0
,0)( ,1)(
000'022x x y x y y dx
dy
x dx y d 解 1|)()0(0)
2(-=--==x x y dx
dy x
y
)]()([lim 1
)()(lim
)
0()(lim
)0()
2('
'
)
2()
2(0
)
3(=--=+--=-=→→→x xy
x y x
x y x xy x
y
x y
y
x x x
3
)]()(3[lim )
()(2lim
)]
()([lim
)
0()(lim
)0()
3()2(0
)
2('
'
'
)
3()
3(0
)
4(=--=--=--=-=→→→→x xy
x y
x
x xy
x y x
x y x xy x
y
x y
y
x x x x
易知00=x 为原方程的一个常点，由定理5.1，方程有收敛的幂级数解，即原方程的解
)(x y 在00=x 的某一个邻域内可以展开成幂级数，故
++
-
=++
+
+
+=4
2
4
)
4(3
)
3(2
)
2('
8
12
11 !
4)
0(!
3)
0(!
2)
0()0()0(x x x y
x y
x y
x y y y
例5.3 求解n 阶勒让德方程
(5.8) )11( 0)1()(2)()1(')2(2<<-=++--x y n n x xy x y x 其中n 是一个实常数。

解 易知0=x 是勒让德方程的一个常点。

设
)11( 0
<<-=
∑∞
=x x c
y k
k k
是方程)8.5(的形式上的幂级数解，则
,)1()1(0
k k k
x c
n n y n n ∑∞
=+=
+ ,)2(20
'
k
k k
x kc
xy ∑∞
=-=
-
,)1)(2()1()(0
2
2
2
)
2(k
k k k k k
x c
k k x
c
k k x y
∑∑∞
=+∞=-++=
-=
∑∑∞
=∞
=--=--=-0
2
)
2(2)1()1()(k k
k k
x k k x
k k x y
x
将上述等式代入方程)8.5(后，有
),2,1,0(0]))(1()1)(2[(0
2
==-+++++∑∞
=+k x
c k n k n c
k k k
k k k
比较x 的同次幂的系数后，得 ),2,1,0( )
1)(2())(1(2 =++-++-=+k c k k k n k n c k k
因而
)
,2,1()!
2()
12)(32()1()42)(22()1( 1
2)1()
32)(22()
32)(42()
12)(2()
12)(22(00
2 =-+-+++-+--=
⨯+-⨯
⨯---++--⨯
--++--=k c k k n k n n n k n k n c n n k k k n k n k k k n k n c k
k
)
,2,1()!
12()
2)(22()2)(1()32)(12()1( 2
3)
2)(1()
22)(12()
22)(32()
2)(12()
2)(12(11
12 =++-++-+-+--=
⨯+--⨯
⨯---++--⨯
+++--=+k c k k n k n n n k n k n c n n k k k n k n k k k n k n c k
k
故，勒让德方程有唯一的形式上的幂级数解
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++-++-+-+--+
+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+++-+--+
=∑
∑
∞
=+∞
=1
1
211
20)!
12()
2)(22()2)(1()32)(12()1()!
2()
12)(32()1()42)(22()1(1k k k
k k
k
x
k k n k n n n k n k n x c x
k k n k n n n k n k n c y
由正项级数的比值判别法，有：方程)8.5(的形式上的幂级数解在区间)1,1(-上是收敛的，又10,c c 是两个任意的常数，因此，所得到的形式上的幂级数解就是原方程的通解。

特别地，当0 ,110==c c 时，有
k
k k
x
k k n k n n n k n k n y 21
1)!
2()
12)(32()1()42)(22()1(1∑
∞
=-+-+++-+--+
=
当1 ,010==c c 时，得
1
21
2)!
12()
2)(22()2)(1()32)(12()1(+∞
=∑
++-++-+-+--+
=k k k
x
k k n k n n n k n k n x y
显然，21,y y 是勒让德方程的两个线性无关的解。

当0≥n 是一个偶数时
k
n k k
x
k k n k n n n k n k n y 22
1
1)!
2()
12)(32()1()42)(22()1(1∑
=-+-+++-+--+=
令2
2k n s -=
后，有
的整数部分）表示其中2]2[()!
(!)!2()!22()1(!)!2()!2( )!
(!)!2()!22()1(!)!2()!2( !
)!(!)!2()!
2()!2()!22()1(1 )!
2()
122)(322()1()42)(22()
1(12]2[0
2
22
02
21
20
s 2
21
2
02
1n n x k n k k n k n n n n x s n s s n s n n n
n x n s n s s n n
n s n x
s n s n s n n n s s y k n n
k k n s n n
s s n
s
n n s n
s
n n s s
n
-=--=---=---=-∑∑∑
∑
----=----=----+
=-----+++-+
=
是一个n 次多项式。

当0≥n 是一个奇数时
1
22
1
1
2)!
12()
2)(22()2)(1()32)(12()1(+-=∑
++-++-+-+--+
=k n k k
x
k k n k n n n k n k n x y
令2
1
2--=k n s 后，得
的整数部分）
表示其中2
]2[()!
(!)!2()!
22()
1()!1()!
21
()!2
1( )!
(!)!2()!
22()
1()!1()!
21
(
)!2
1( )!1()!(!)!2()!2
1
(
)!21
(
)!22()
1( )!
2()
122)(322()2)(1()42)(22()
1(2]
2
[
2
1
222
1
2
1
222
3
2
1
222
302
1
22n
n x
k n k k n k n n n n x
s n s s n s n n n n x
n s n s s n n n s n x x
s n s n s n n n s s x y k
n n k k n s
n n s s n s
n n s s n s
n n s s n -=----=----=----=--∑
∑
∑
∑
----+-+=
----+-+=
+---+--+
=-----+-++-+
=
是一个n 次多项式。

若取 (5.9) 2
]2[()!
(!)!2()!
22()1(2
1)(2]
2[0
的整数部分）表示其中n
n x
k n k k n k n x p k
n n k k
n
n -=∑----=
则，当n 是一个非负整数时，勒让德方程总有一个n 次多项式解，且该解函数可以表示为
)()(x cp x P n n =，其中c 是一个不为零的常数。

而由)9.5(所规定的多项式)(x p n 称为勒让
德多项式，在数学物理方程中有广泛的应用。

此时，易有：当n 是偶数时，)(x p n 为偶函数：当n 是奇数时，)(x p n 为奇函数。

且)(x p n 还满足罗德里格斯(Rodrigues)公式：
])1[(!21
)(2n
n
n n
n x dx
d
n x P -=
证明 由)9.5(式，有
]
)1[(!21
)()!(!)1(2
1 )!(!)
1(2
1 )!(!)
1(2
1 )!(!)!2()!
22()1(2
1)(202220
22]2[
02]
2[0n
n
n n
n k k n k
n
n
n
k
n n
n n
k k
n
k
n n n n k k
n
k
n n k k
n
n x dx
d
n x k n k dx
d x
dx
d
k n k x
dx d
k n k x
k n k k n k n x p -=
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡--=
--=
--=
----=
∑∑
∑
∑=--=-=-=
由罗德里格斯公式得：1)1(=n P ，从而n
n P )1()1(-=-。

勒让德方程的与)(x P n 线性无关的解记为)(x Q n ，显然)(x Q n 并不是n 次多项式，由二阶齐线性微分方程的降阶法，不妨假设
⎰
-=x
x n n n t P t dt
x P x Q 0
2
2
)]
()[1()()(
其中初值点为0x )10(0<<x 。

故，勒让德方程的通解可以表示为 )()(21x Q c x P c y n n +=
其中21,c c 是任意常数。

因为1)1(=n P ，所以可取充分接近1的初值点0x ，使得
)1( 2
3)(2
10≤≤<
<x x x P n
从而，当10<≤x x 时，有
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+--+=
->
⎰
0022
11ln 11ln 169)
2
3)(1(2
1)(0
x x x x
t dt x Q x
x n 故+∞=-
→)(lim 1
x Q n x 。

由此可见，勒让德方程的与勒让德多项式线性无关的解，当1
1-→x 时是无界的。

类似地，可以证明+∞=+
-→)(lim
)
1(x Q n x 。

综上所述，当n 是一个非负整数时，勒让德方程总有一个n 次多项式解，且，该解函数可以表示为)0( )()(≠=c x cp x P n n 。

而，勒让德方程的与勒让德多项式线性无关的解)(x Q n 满足：当-→1x 或+-→)1(x 时，)(x Q n 无界。

习题5.2
1 在点0x x =处，用幂级数解法求解下列微分方程。

)1( )0( 0)()()(0'
)
2(==++x x y x xy x y
)2( )0( 0)()(0)
2(==-x x xy x y )3( )0( )()(02
)
2(==x x y x x y
2 用幂级数解法求解下列微分方程的初值问题。

)1( ⎩⎨
⎧=+=+- 0)0(1)()()1('y x
x y x y x )2( ⎩⎨⎧===++
0)0( ,1)0(0
)()()('
')2(y y x xy x y x xy
5.3广义幂级数解法
本节主要考虑微分方程)1.5(在奇点0x 邻域内的广义幂级数解法。

为了后面叙述上的方便，在这里首先引入广义幂级数的概念。

定义5.1 形如
)0( )
(000
≠-+∞
=∑c x x c
k
a k k
的级数为广义幂级数，其中系数),2,1,0( =k c k 以及指标a 均为常数。

例5.4 讨论微分方程 (5.10)
0)(3)(3)('
)
2(2
=+-x y x xy x y
x 显然，0=x 是微分方程)10.5(的一个奇点，因此，在0=x 不能对微分方程考虑柯西问题。

另一方面，由欧拉方程的解法，得微分方程)10.5(的通解为
(5.11) 3
21x c x c y += 其中21,c c 是任意常数。

此时，)0( 00≠c x c 是微分方程)10.5(在奇点0=x 的一个广义幂
级数解，其中指标为1=a ；而)0( 030≠c x c 是微分方程)10.5(在奇点0=x 的另一个广义幂级数解，其中指标为3=a 。

由此可见方程)10.5(的通解)11.5(式是广义幂级数的线性组合。

例5.5 讨论微分方程
(5.12) 0)()()13()(')2(2=+-+x y x y x x y x 显然，0=x 是微分方程)12.5(的一个奇点，因此，在0=x 不能对微分方程考虑柯西问题。

假设方程有形式上的广义幂级数解
(5.13)
)0( 00
≠+∞
=∑c x
c
k
a k k
将)13.5(带回原方程)12.5(，再比较x 的同次幂的系数后，有 ),2,1,0( )1(1 =++=+k c k a c k k 从而
),2,1( )1()1)((0 =+-++=k c a k a k a c k 故
(5.14)
)1()1)((1
00∑∞
=++-+++=k k a a
x a k a k a c x c y 当0≠x 时，级数)14.5(发散，即方程)12.5(没有收敛的广义幂级数解。

以上两个例子说明，微分方程在奇点邻域内是否有收敛的广义幂级数解，与奇点的类型是有关系的。

为此，引入下面的定义
定义5.2 设微分方程)1.5(可以改写为如下形式
(
5.15) 0)()()()()()()()('
0)2(20=+-+-x y x r x y x q x x x y x p x x 其中)|(| )(),(),0)(( )(00R x x x r x q x p x p <-≠都是解析函数。

此时，称微分方程)15.5(的奇点0x 为它的一个正则奇点。

如果，线性微分方程的奇点不是正则的，称它是非正则奇点。

显然，例5.4中00=x 是正则奇点；例5.5中00=x 是非正则奇点。

当0x 为微分方程的正则奇点时，下面的结论成立。

定理5.2 微分方程)15.5(在正则奇点0x 有收敛的广义幂级数解
)|(| )
(000
R x x x x c
y k
a k k
<--=
+∞
=∑
其中)0( ,00≠c c a 是任意常数，而)1( ≥k c k 是依赖于a 和0c 的常数。

例5.6 求解n 阶贝塞耳方程
(5.16) 0)()()()(22')2(2=-++x y n x x xy x y x 其中n 是一个非负常数。

解 显然，00=x 是贝塞耳方程)16.5(的正则奇点。

设
0)(00
≠=
+∞
=∑c x
c
y k
a k k
是方程)16.5(的形式上的广义幂级数解，则
k
a k k k a k k
x
c n
x y n x
c
x y x +∞
=++∞
=∑∑-=
-=)()( )(0
2
2
2
2
k
a k
k k
a k k
x c
k a k a x y x x c
k a x xy +∞
=+∞
=∑∑-++=
+=
2
20
'
)1)(()( )()( 将上述等式代入方程)16.5(后，有
0])()1)([(2
2
=+
-++-++++∞
=+∞
=∑∑k a k k
k
a k k x
c
x
c n
k a k a k a
比较x 的同次幂的系数后，得
(5.17)
),3,2( 0])[( 0])1[(
0)(222221220⎪⎩⎪
⎨⎧==+-+=-+=-- k c n k a c n a c n a c k k
第一式为
)0( 0)(02
20≠=-c n a c
因而
(5.18) 0 ))((=+-n a n a 称)18.5(为贝塞耳方程)16.5(的指标方程。

此时，有n a n a -==21 ,。

当n a =1时，从)17.5(式可以逐个确定出系数如下
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-==-),3,2( )2( 021 k k n k c c c k k
分别考虑偶数项系数和奇数项系数，有
),2,1( )22(2)
122)(12(2
221212 =⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+-=+++-=--+k k n k c c k n k c c k k k k 从而
,2,1 , 012==-k c k ,2,1 ,)
()2)(1(!2
)
1(20
2=+++-=k k n n n k c c k
k
k
注意到Γ函数的性质，有 ,2,1 ,!
)1(2
)1()1(022=++Γ+Γ-=
k c k k n n c k
k
k
为了求出n a =1时，对应的贝塞耳方程)16.5(的特解，不妨取 )
1(210+Γ=n c n
则
,2,1,0 ,2
1
!)1()
1(22=++Γ-=
+k k k n c n
k k
k
从而，对应于指标n a =1，贝塞耳方程)16.5(有一个形式上的广义幂级数解
(5.19)
)2
()1(!)
1(20
1n
k k k
x k n k y +∞
=∑
++Γ-=
又，对于任意的x ，级数)19.5(是收敛的，从而1y 是贝塞耳方程)16.5(的一个收敛的广义幂级数解，称它为一个第一类贝塞耳函数，记为)(x J n 。

显然，)(x J n 是贝塞耳方程的在奇点邻域内的有界解。

对应于贝塞耳方程的另一个指标n a -=2，相应的递推公式)17.5(的一般项为
(5
.20) )0( )1( 0)2(12=≥=+---c k c c n k k k k 此处令 其中)2(n k k -有可能为零，这就给从递推公式确定出k c 带来了困难。

接下来，对于常数n
2
分情况进行讨论。

)1( n 2不是整数。

此时在)20.5(中，),3,2,1( )2( =-k n k k 。

因此，类似于指标n a =1的情形，利用公式
)20.5(有
),2,1,0( 012 ==+k c k ),2,1,0()
1(!2
)1()1(
022 =+-Γ-Γ-=
k c n k k n c k
k
k 此时，只需令)
1(2
10n c n
-Γ=
-，就可以得到贝塞耳方程的一个形式上的广义幂级数解
(5.21)
)2
()1(!)
1(20
2n k k k
x n k k y -∞
=∑
+-Γ-=
利用比值判别法后，可得：对于任意的非零常数x ，级数)21.5(都是收敛的，故，2y 是贝塞耳方程的一个收敛的广义幂级数解，称其为第二类贝耳函数，记为)(x J n -。

显然， )(x J n -是贝塞耳方程在奇点邻域内的无界解。

又，)(x J n 与)(x J n -可以展为由x 的不同幂次开始的级数，从而它们的比不可能是常数，即)(x J n 与)(x J n -线性无关。

故，此时脮塞耳方程
)16.5(的通解可以表示为
(
5.22) )()(21x J d x J d y n n -+= 其中21,d d 是任意常数。

)2( n 2等于某一个整数M 。

)(a n M 2=是奇数（此时，不妨令12+=m M ）。

因为，n 2是奇数，所以，从)20.5(有：当k 为偶数s 2时，)2( ≥k c k 的系数0)2(≠-n k k 。

此时，与前面的情形类似，可得 ),1,0( )
1(!2
)1()1(022 =+-Γ-Γ-=
s c n s s n c s
s
s 。

而当k 为奇数时，若12+<m k ，则)1(≥k c k 的系数)2(n k k -也不可能等于零，故
01231====-m c c c
若12+≥m k ，则由)20.5(有：12+m c 的系数为零，且 0)212)(12(12=-+++m c n m m 0)232)(32(1232=+-++++m m c c n m m
)2( 0)2122)(122(122122≥=+-++++-+++t c c n t m t m t m t m 为此，只需，令012=+m c ，则有 05232===++ m m c c
从而，对应于指标n a -=2，得到一个贝塞耳方程的形式上的广义幂级数解)(2x J y n -=，其表达式同)21.5(。

与情形（1）类似，此时方程)16.5(的通解仍为)22.5(。

)(b n M 2=是偶数m 2（即n 等于整数m ）。

由)20.5(有
01231=====+ m c c c 以及
0,,0222≠≠-n c c
然而，由0)22(2222=+--n n c c n n n ，可以推出022=-n c 。

这是一个矛盾，从而，当n 是整数时，对应于指标n a -=2，贝塞耳方程没有形式上的广义幂级数解。

故，此时要求出贝塞耳方程的通解，需求出方程的与)(1x J y n =线性无关的解。

此时，由二阶齐次线性微分方程的降阶法可得：dx x xJ x J dx e
x J x J y n n dx
x n n ⎰
⎰
=⎰=-
)
(1)()
(1)(2
1
2
2是贝塞耳方程的与
)(1x J y n =线性的解。

当然，此时方程的通解为
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+=⎰dx x xJ d d x J y n n )(1
)(2
21 其中21,d d 是任意常数。

例5.7 求解贝塞耳方程
0)()4
1()()(2')2(2=-++x y x x xy x y x 。

解 贝塞耳方程的阶为2
1=n ，此时)()( ),(2
122
11x J
x y x J y -
==构成了原方程的一个基本
解组。

x
x
x
k x
x
k k k x
k k x J k k k
k k
k k k
s i n 2
)!
12()
1(2
)
2
()
21(2123)21)(21(!(-1)
)2
()
2
3(!)
1()(1
20
2
120
k 2
1202
1ππ=+-=
Γ⨯-+=
+Γ-=
+∞
=+
∞
=+
∞
=∑∑
∑
x
x
x
k x
x
k k k x
k k x J k
k k
k k
k k k
c o s 2
)!
2()
1(2
)
2
()
21(2123)23)(21(!(-1)
)
2
()
2
1(!)
1()(20
2
120
k 2
1202
1ππ=-=
Γ⨯--=
+Γ-=
∑∑
∑
∞
=-
∞
=-
∞
=-
故，原方程的通解为 []x d x d x
y c o s s i n 2
21+=
π
其中21,d d 是任意常数。

习题5.3
1 判断1 ,0 ,1-=x 是下列微分方程的什么点（常点，正则奇点或非正则奇点）
)1( 0)(2)(5)()1(32
')
2(22=++-x y x x xy x y
x x )2( 0)(5)(3)()1(2'
)
2(2
3
=-+
-x y x y x
x y
x x
2 用广义幂级数解法，求解下列微分方程。

)1( 0)()16
14()()(2
')
2(2
=-
++x y x x xy x y x
)2( 0)(3)(3)(4'
)
2(=-+x y x y x xy )3( 0)(1)(1)(2
'
)2(=+
+
x y x
x y x x y
本章小结
本章主要介绍了变系数齐次线性微分方程的幂级数解法，其主要结论可概括如下：
)1( 变系数齐次线性微分方程在常点邻域内有收敛的幂级数解；
)2( 变系数齐次线性微分方程在正则奇点邻域内有收敛的广义幂级数解。

本章还利用以上两个结论，分别讨论了勒让德方程与贝塞耳方程，得到以下两个主要结果：
)(a 当n 是非负整数时，勒让德方程必定有一个n 次多项式解，它可以表示为勒让德多项
式)(x P n 的非零常数倍，而，勒让德方程的与)(x P n 线性无关的解)(x Q n ，满足：当-→1x 或+-→)1(x 时，)(x Q n ；
)(b 当n 2不是整数，以及n 2是奇数时，贝塞耳方程有两个线性无关的收敛的广义幂级数
解)(x J n 与)(x J n -；当n 2是偶数，即n 是整数时，贝塞耳方程仅有一个收敛的广义幂级数解)(x J n ，此时利用齐次线性微分方程的降阶法，可求得贝塞耳方程的与)(x J n 线性无关的解⎰
=)
()(2
x xJ dx x J y n
n 。

总复习题五
1 判断微分方程 0)()()()1(3)()1(2
'
)
2(2
2
=-++++x y x x x y x x y
x x
有几个奇点？是正则奇点还是非正则奇点？
2 对于下面的初值问题求出)(),(0)3(0)2(x y x y 和)(0)
4(x y ，从而写出初值问题相应的近似
解。

)1( ⎩⎨⎧=-===-+0
,1)( ,1)(0
)()()(00'
02')2(x x y x y x y x x xy x y )2( ⎩
⎨⎧====++ 0 ,1)( ,0)(0
)()(cos )()(sin )(00'
0')2(x x y x y x y x x y x x y
3 用幂级数解法或广义幂级数解法求解下列微分方程。

)1(0)()()('
)
2(=++x y x xy x y
)2(0)()()('
)
2(=+-x y x xy x y
)3(0)()()(2'
)
2(=++x xy x y x xy
)4(0
)()25
19()()(2
'
)
2(2
=-
++x y x x xy x y x
)5(0)()()('
)
2(=-+x y x y x xy。