新人教数学 8年级上：同步测控优化训练(13.3 角的平分线的性质).pptx

答案：A
4.如图 13-3-6，若点 P 在∠AOB 的平分线上，若应用角平分线的性质可得 PA=PB，则必须添
加的条件是
.
思路解析：注意角平分线上的点到角两边距离相等，这里要添加的是“点到直线的距离”这
个条件.
答案：PA⊥OA 于 A，PB⊥OB 于 B
5.如图 13-3-7，若∠B=∠C=90°，DB＝DC，就可以得到点 D 在
图 13-3-11 思路解析：点 D 到 AB 的距离和 DC 的长实际就是角平分线上的点到角两边的距离.过 D 作 DE
⊥AB 于 E，则 DE=DC＝ 3 BC＝9(cm). 7
答案：提示：过 D 作 DE⊥AB 于 E. 5.如图 13-3-12，△ABC 中，AD 是它的角平分线，P 是 AD 上一点，过点 P 作 PE∥AB 交 BC 于 E，点 F 在 BC 上，连结 PF，已知 D 到 PE 的距离与 D 到 PF 的距离相等. 求证：PF∥AC.
答案：76
2.如图 13-3-2，△ABC 的∠B 和∠C 的外角平分线交于 D，∠A=40°，那么∠D=
.
思路解析：用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”计算，∠D=90°- 1 ∠ 2
A.
答案：70°
3.如图 13-3-3，AB∥CD，点 P 到 AB、BC、CD 的距离相等，则∠P=
学无 止 境
答案：D 3.如图 13-3-10，BE 是∠MBC 的平分线，CE 是∠NCB 的平分线，连结 AE.问：AE 是∠MAN 的 平分线吗？为什么？ 思路分析：要证 AE 是∠MAN 的平分线，可证∠MAE=∠NAE 或证点 E 在∠MAN 的平分线上.证 点 E 在∠MAN 的平分线上可转化为证 E 到 AM、AN 的距离相等.由已知条件可以运用角平分线 性质解决线段相等的问题. 解：AE 是∠MAN 的平分线. 理由：如图，作 EH⊥AM 于 H，ED⊥BC 于 D，EP⊥AN 于 P.
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13.3 角的平分线的性质
5 分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.如图 13-3-1，OB、OC 分别平分∠ABC、∠ACB，且∠BOC＝128°，则∠A＝
°.
图 13-3-1 图 13-3-2 图 13-3-3[ 来 源 : 学 。 科 。 网 Z 。 X 。 X。K]
思路解析：根据三角形的内角和定理计算∠BOC=90°+ 1 ∠A. 2
.[来源:学科网
ZXXK]
思路解析：点 P 是同旁内角的角平分线的交点.
答案：90°
10 分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.作∠AOB 的平分线的步骤如下：①作射线 OC;②以 O 为圆心，适当长为半径作弧交 OA 于 M， 交 OB 于 N;③分别以 M、N 为圆心，大于二分之一 MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部 交于点 C;④射线 OC 即为所求.作法顺序正确的是( )
8.如图 13- 3-15，AC 为∠BAD 的平分线，AD＝AE.把△DAC 沿 AC 翻折 180°，
图 13-3-15
1 请结合图形填空：
①△DAC
△EAC；
②DC 与 CE 的大小关系是
；
③∠D 与∠CEB 的关系是
.
2 用你得到的结论解决下面的问题：
学无 止 境
在四边形 ABCD 中，已知 AB＝a，AD＝b，且 BC＝DC，对角线 A C 平分∠BAD.问 a 与 b 大小符 合什么条件时，有∠D＋∠B＝180°?请画图并证明你的结论. 思路解析：翻折图形是全等形.从图形可以看出，若以 C 为圆心，CE 为半径画弧，弧与 AB 的交点有两个，所以应注意分类讨论.
图 13-3-12 思路解析：证明线段平行常用的方法是证明同位角相等或者内错角相等.根据题意知道点 D 在∠EPF 的平分线上，点 D 在∠BAC 的平分线上，由平行的性质还知道∠EPD=∠BAD，用“等 量代换”即可得到∠FPD=∠CAD. 证明：∵D 到 PE 的距离等于 D 到 PE 的距离, ∴点 D 在∠EPF 的平分线上.
答案：D
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图 13-3-4 图 13-3-5 图 13-3-6 图 13-3-7
3. 如图 13-3-5，已知 AB=AC，BE⊥AC 于 E，CF⊥AB 于 F，BE 与 CF 相交于点 D，则：①△ABE ≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点 D 在∠BAC 的平分线上.以上结论正确的是( ) A.①②③ B.②③ C.①③ D.①[来源:学.科.网 Z.X.X.K] 思路解析：根据对顶角相等，有 ∠BDF=∠CDE，由“同角的余角相等”得到∠B=∠C，证明 Rt△ABE≌Rt△ACF（AAS），所以 AE＝AF，则 CE=BF.所以△BDF≌△CDE（AAS）.得到 DE=DF， 所以点 D 在∠BAC 的平分线上.
答案：（1）①≌ ②相等 ③互补 （2）结论：分两种情况：①当 a≠b 时，总有∠D+∠ABC=180°. 证明：〔如图(1)〕在 A B 上截取 AE=AD. 由（1）得∠D+∠CEB=180°，EC=DC. ∵BC=CD，∴EC=BC. 作 CH⊥BE，垂足为 H.
在
Rt△CHE
与
Rt△CHB
中,
ห้องสมุดไป่ตู้
图 13-3-13 思路解析：三角形的面积跟高有关，这里有角平分线，不妨过点 D 作 AB、AC 的垂线段，把
问题转化为角平分线问题.
证明：作 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F,
（1）∵AD 平分∠BAC,∴DE=DF.
∵S△ABD= 1 ·AB·DE，S△ACD= 1 ·AC·DF,∴S△ABD∶S△ACD=AB∶AC.
学生：“是雀斑！”
30 分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.如图 13-3-8，O 点为直线 AB 上一点，OC 为一条射线，OD 为∠AOC 的平分线，OE 为∠BOC
的平分线，则∠DOE 等于( )
A.80° B.90° C.100° D.120° 思路解析：邻补角的角平分线互相垂直.[来源:学科网]
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∴∠EPD=∠FPD.[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 又∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD. ∵PE∥AB,∴∠EPD=∠BAD. ∴∠FPD=∠CAD.∴PF∥AC. 6.如图 13-3-13，在△ABC 中，求证：
(1)若 AD 为∠BAC 的平分线，则 S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC;[来源:学科网] (2)设 D 为 BC 边上一点，连结 AD,若 S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，则 AD 为∠BAC 的平分线.
2
2
（2）∵S△ABD= 1 AB·DE，S△ACD= 1 ·AC·DF,S△ABD∶S△ACD=（AB·DE）∶（AC·DF）.
2
2
∵S△ABD∶S△ACD= AB∶AC,
∴ AB • DE AB . AC • DF AC
∴DE=DF.∴AD 为角平分线.
7.(用尺规作图，不写作法，只保留作图痕迹)在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥
答案：B
2. 如图 13-3-9，点 P 到 BE、BD、AC 的距离恰好相等，则点P 的位置：①在∠B 的平分线上； ②在∠DAC 的平分线上；③在∠ECA 的平分线上；④恰是∠B、∠DAC、∠ECA 三条平分线的
交点.上述结论中，正确的个数有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
图 13-3-8 图 13-3-9 图 13-3-10 思路解析：到角两边的距离相等的点在角的平分线上.
[来源:Z#xx#] ∵BE 是∠MBC 的平分线, ∴EH＝ED（角平分线上的点到角两边的距离相等）. 同理，ED＝EP.∴EH＝EP. ∴点 E 在∠MAN 的平分线上（到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）. ∴AE 平分∠MAN. 4.如图 13-3-11，已知在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，若 BC＝21 cm，且 CD∶BD＝4∶ 3.求点 D 到 AB 的距离.
A.①②③④ B.①③②④ C.②③①④ D.④②③①
答案：C
2 . 如 图 13-3-4，直线 l1、l2、l3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要
求 它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A. 一 处 B. 两 处 C. 三 处 D. 四 处 思路解析：到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点.把三条公路 的 中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线 的交 点都满足要求.
的平分线上.因为此
时 DB、DC 分别是
的 距 离 .也可得到点 A 在
的平分线上，因为
分
别是点 A 到∠BDC 的两边 DB、DC 的距离，所以 AD 为
的角平分线.
答案：∠BAC D 到 AB、AC ∠BDC AB、AC ∠BDC
快乐时光 英文老师问：“eye 是什么东西？”
学生：“不晓得？” 英文老师：“看我鼻子两边是什么？”
EC CH
BC, CH ,
∴Rt△CHE≌Rt△CHB. ∴∠CEB=∠B.∴∠D+∠ABC=180°. ②当 a=b，且∠D=90°时，有∠D+∠ABC=180°. 证明：〔如图(2)〕∵AD=AB，BC=CD，AC=AC，∴△ADC≌△ABC. ∴∠D=∠ABC=90°. ∴∠D+∠ABC=180°.[来源:]
部设在 A 区内，到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路交叉处 B 点 700 m，如果你是红 方的指挥员，请你在图 13-3-14 所示的作战图上标出蓝方指挥部的位置.[来源:学科网]
图 13-3-14 思路解析：到角两边距离相等的点在角的平分线上.[来源:学科网 ZXXK] 答案：作 A 区所在公路与铁路夹角的角平分线 BM，在 BM 上截取 BN=3.5 cm，则 N 点即为所 求.