2020-2021学年重庆市中考仿真模拟数学二诊试卷及答案解析

重庆市中考数学二诊试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每小题的下面，只有一个答案是正确的．
1．5的绝对值是（）
A．5 B．﹣5 C．±5 D．
2．下列运算正确的是（）
A．a2+2a3=3a5 B．﹣3a+2a=﹣a C．（3a3）2=6a6D．a8÷a2=a4
3．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能保证a、b平行的是（）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠4 D．∠1+∠4=180°
4．x取下列各数中的哪个数时，二次根式没有意义（）
A．B．2 C．1 D．0
5．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（）
A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm 6．在Rt△ABC中，∠C=90°，若，则sinB的值得是（）
A．B．C．D．
7．五箱苹果的质量（单位：kg）分别为：19，20，21，22，19，则这五箱苹果质量的众数和中位数分别为（）
A．21和19 B．20和19 C．19和19 D．19和22
8．已知点A（﹣3，7）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A．（0，7）B．（﹣1，7）C．（﹣2，7）D．（﹣3，7）
9．如图，已知A、B、C在⊙O上，∠A=∠B=19°，则∠AOB的度数是（）
A．68°B．66°C．78°D．76°
10．在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（）
A．B．C．D．
11．如图是一组有规律的图案，第1个图案由1个▲组成，第2个图案由4个▲组成，第3个图案由7个▲组成，第4个图案由10个▲组成，…，则第7个图案▲的个数为（）
A．16 B．17 C．18 D．19
12．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数解析式是（）
A．y=12x B．C．D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
13．计算：= ．
14．方程的解是．
15．如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，∠1=26°，则∠B的度数是．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=2，⊙A与BC相切于点D，且交AB，AC于M，N两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．
17．从﹣4、3、5这三个数中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的方程x2+4x+a=0有解，且使关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概
率．
18．如图，已知，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在AC、DC上，若EC=BC，EF⊥BE，BF 与EC交于G，则BG与GF的乘积为．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）
19．计算：．
20．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB=6，AD=8，求sin∠OEA的值．
四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）
21．先化简，再求值：（﹣）÷，其中，a是方程x2+3x+1=0的根．
22．为了增强学生环保意识，我区举办了首届“环保知识大赛”，经选拔后有30名学生参加决赛，这30，名学生同事解答50个选择题，若每正确一个选择题得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
组别成绩x分频数（人数）
第1组50≤x＜60 3
第2组60≤x＜70 8
第3组70≤x＜80 13
第4组80≤x＜90 a
第5组90≤x＜100 2
（1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
（4）第4组的同学将抽出3名对第一组3名同学进行“一帮一”辅导，则第4组的小宇与小强能同时抽到的概率是多少？
23．在“红五月”读书活动中，社区计划筹资15000元购买科普书籍和文艺刊物．
（1）计划购买文艺刊物的资金不少于购买科普书籍资金的2倍，那么最少用多少资金购买文艺刊物？
（2）经初步了解，有150户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资100元，经筹委会进一步宣传，自愿参加的户数在150户的基础上增加了a%（其中a＞50），如果每户平均集资在100元的基础上减少a%，那么实际筹资将比计划筹资多3000元，求a的值．
24．如图，已知，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD延长线于点E．（1）若AD=1，求DC；
（2）求证：BD=2CE．
五、解答题（本大题2个小题，各12分，共24分）每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．25．如图，矩形ABC0位于直角坐标平面，O为原点，A、C分别在坐标轴上，B的坐标为（8，6），线段BC上有一动点P，已知点D在第一象限．
（1）D是直线y=2x+6上一点，若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；
（2）D是直线y=2x﹣6上一点，若△APD是等腰直角三角形．求点D的坐标．
26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．
重庆市中考数学二诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每小题的下面，只有一个答案是正确的．
1．5的绝对值是（）
A．5 B．﹣5 C．±5 D．
【考点】绝对值．
【分析】根据绝对值的定义，可直接得出5的绝对值．
【解答】解：|5|=5，
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单，熟记绝对值的定义是解决本题的关键．
2．下列运算正确的是（）
A．a2+2a3=3a5 B．﹣3a+2a=﹣a C．（3a3）2=6a6D．a8÷a2=a4
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，即可解答．
【解答】解：A．a2与2a3不是同类项，不能合并，故错误；
B．﹣3a+2a=﹣a，正确；
C．（3a3）2=9a6，故错误；
D．a8÷a2=a6，故错误；
故选：B．
【点评】本题考查同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，解决本题的关键是熟记同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项的定义．
3．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能保证a、b平行的是（）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠4 D．∠1+∠4=180°
【考点】平行线的判定．
【分析】分别根据同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行进行判断即可．
【解答】解：A、由∠1=∠2，得到a∥b，所以A选项正确；
B、由∠2=∠3，得到a∥b，所以B选项正确；
C、由∠3=∠4，无法判断a与b的关系所以C选项错误；
D、由∠1=∠3，∠3+∠4=180°，得到a∥b，所以D选项正确．
故选C．
【点评】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行．也考查了对顶角相等的性质．
4．x取下列各数中的哪个数时，二次根式没有意义（）
A．B．2 C．1 D．0
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵二次根式没有意义，
∴x﹣1＜0，解得x＜1．
故选D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
5．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（）
A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】设AB=AC=x，则BC=16﹣2x，根据三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】解：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，
∴设AB=AC=x cm，则BC=（16﹣2x）cm，
∴，
解得4cm＜x＜8cm．
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、解一元一次不等式组，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，若，则sinB的值得是（）
A．B．C．D．
【考点】同角三角函数的关系．
【分析】根据sin2B+cos2B=1和即可求出答案．
【解答】解：
∵sin2B+cos2B=1，，
∴sin2B=1﹣（）2=，
∵∠B为锐角，
∴sinB=，
故选A．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系的应用，能知道sin2B+cos2B=1是解此题的关键，难度适中．
7．五箱苹果的质量（单位：kg）分别为：19，20，21，22，19，则这五箱苹果质量的众数和中位数分别为（）
A．21和19 B．20和19 C．19和19 D．19和22
【考点】众数；中位数．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：从小到大排列此数据为：19、19、20、21、22，数据19出现了2次最多，所以19为众数；
20处在第3位是中位数．所以本题这组数据的众数是19，中位数是20．
故选B．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
8．已知点A（﹣3，7）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A．（0，7）B．（﹣1，7）C．（﹣2，7）D．（﹣3，7）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先求出对称轴，再根据二次函数的对称性求解．
【解答】解：对称轴为直线x=﹣=﹣2，
设点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（x，7），
则=﹣2，
解得x=﹣1，
所以，对称点为（﹣1，7）．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称轴，先确定出对称轴解析式是解题的关键．
9．如图，已知A、B、C在⊙O上，∠A=∠B=19°，则∠AOB的度数是（）
A．68°B．66°C．78°D．76°
【考点】圆周角定理．
【分析】利用圆周角定理可知∠AOB=2∠C，根据三角形的内角和定理得出
∠AOB=∠OAC+∠OBC=2×19=38°，从而求得∠AOB=76°．
【解答】解：连接AB，如图，
∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OBC+∠C=180°
∴∠AOB=∠OAC+∠OBC+∠C，
∴∠C=∠AOB，
∴∠AOB=∠OAC+∠OBC=2×19=38°，
∴∠AOB=76°．
故选D．
【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握在同圆或等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
10．在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（）
A．B．C．D．
【考点】函数的图象．
【专题】压轴题．
【分析】露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．
【解答】解：因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．
则露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．
故选：C．
【点评】本题考查函数值随时间的变化问题．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
11．如图是一组有规律的图案，第1个图案由1个▲组成，第2个图案由4个▲组成，第3个图案由7个▲组成，第4个图案由10个▲组成，…，则第7个图案▲的个数为（）
A．16 B．17 C．18 D．19
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】仔细观察图形可知：第一个图形有1个三角形；第二个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；第三个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；第四个图形有3×4﹣3+1=10个三角形；…第n个图形有3n﹣3+1=3n﹣2个三角形；进一步代入求得答案即可．
【解答】解：观察发现：
第一个图形有1个三角形；
第二个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；
第三个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；
第四个图形有3×4﹣3+1=10个三角形；
…
第n个图形有3n﹣3+1=3n﹣2个三角形；
则第7个图案中▲的个数为3×7﹣2=19．
故选D．
【点评】此题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律，利用规律，解决问题．
12．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数解析式是（）
A．y=12x B．C．D．
【考点】相似三角形的判定与性质；函数关系式．
【专题】动点型．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE=∠APB，再根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABP和△DEA相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，然后整理即可得到y 与x的关系式．
【解答】解：矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE=∠APB，
∵∠B=∠AED=90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴=，
∴=，
∴y=．
故选B．
【点评】本题考查了矩形的性质，主要利用了相似三角形的判定与性质，勾股定理，求出相似三角形并根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
13．计算：= ．
【考点】二次根式的乘除法．
【专题】计算题．
【分析】根据二次根式的乘法，先把被开方数相乘，再化简即可．
【解答】解：原式==，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，是基础知识比较简单，要识记．
14．方程的解是x=1 ．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】观察方程可得最简公分母是：2（x+1），两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答．
【解答】解：方程两边同乘以2（x+1），
得2x=x+1，
解得x=1．
经检验：x=1是原方程的解．
故答案为：x=1．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
15．如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，∠1=26°，则∠B的度数是71°．
【考点】旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出
∠A′B′C，然后根据旋转的性质可得∠B=∠A′B′C．
【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴AC=A′C，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴∠CAA′=45°，
∴∠A′B′C=∠1+∠CAA′=26°+45°=71°，
由旋转的性质得∠B=∠A′B′C=71°．
故答案为：71°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=2，⊙A与BC相切于点D，且交AB，AC于M，N两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．
【考点】扇形面积的计算；勾股定理；切线的性质．
【专题】压轴题．
【分析】我们只要根据勾股定理求出AD的长度，再用三角形的面积减去扇形的面积即可．
【解答】解：连接AD，∵⊙A与BC相切于点D，AB=AC，∠A=120°，
∴∠ABD=∠ACD=30°，AD⊥BC，
∴AB=2AD，由勾股定理知BD2+AD2=AB2，即+AD2=（2AD）2
解得AD=1，△ABC的面积=2×1÷2=，扇形MAN得面积=π×12×=，所以阴影部分的面积=．
【点评】解此题的关键是求出圆的半径，即三角形的高，再相减即可．
17．从﹣4、3、5这三个数中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的方程x2+4x+a=0有解，且使关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率．【考点】概率公式；根的判别式；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】由关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4，可求得a 的值，由关于x的方程x2+4x+a=0有解，可求得a的取值范围，继而求得答案．
【解答】解：∵一次函数y=2x+a与x轴、y轴的交点分别为：（﹣，0），（0，a），
∴|﹣|×|a|×=4，
解得：a=±4，
∵当△=16﹣4a≥0，即a≤4时，关于x的方程x2+4x+a=0有解，
∴使关于x的方程x2+4x+a=0有解，且使关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率为：．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用以及根的判别式与一次函数的性质．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18．如图，已知，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在AC、DC上，若EC=BC，EF⊥BE，BF 与EC交于G，则BG与GF的乘积为．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】连接DE，根据等腰三角形得出∠DEF=45°，再利用三角形全等得出EF=BE，进而得出△EGF～△BGC，利用相似三角形的性质得出BG•GF=EG•GC，进而得出GC=AE=，EG=1﹣GC=2﹣，即可得出两者乘积．
【解答】解：连接DE，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°，BC=DC=1，
∵EC=BC，
∴∠CBE=∠BEC=67.5°，
∵EF⊥BE，
∴∠CEF=22.5°，
∵EC=BC=DC，
∴∠DEF=45°，∠EDC=67.5°，
∴△EFD是等腰三角形，
∴ED=EF，
∵△BEC和△DEC是等腰三角形，且BC=CE=CD，
∴BE=ED，
∴BE=EF，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠GBC=∠EBC﹣∠EBF=67.5°﹣45°=22.5°=∠CEF，
∵∠EGF=∠BGC，
∴△EGF∽△BGC，
∴BG•GF=EG•GC，
∵CE=AB=CB=1，
∴AE=，
∴EG=EC﹣GC=2﹣，
∴EG•GC=，
∴BG•GF=．
故答案为：．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是利用全等三角形和相似三角形的判定和性质分析解答．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）
19．计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用立方根定义计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=1+2﹣（﹣2）+2×
=1+2+2+
=5+．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB=6，AD=8，求sin∠OEA的值．
【考点】解直角三角形；矩形的性质．
【专题】应用题．
【分析】连接EC，由四边形ABCD为矩形，得到对角线互相平分，即O为AC中点，再由OE垂直AC，得到OE垂直平分AC，即AE=CE，在直角三角形EDC中，设EC=AE=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到EC的长，即为AE的长，利用勾股定理求出AC的长，进而求出OA的长，在直角三角形AOE中，利用锐角三角函数定义即可求出sin∠OEA的值．
【解答】解：连接EC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC，∠ABC=90°，
利用勾股定理得：AC==10，即OA=5，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
在Rt△EDC中，设EC=AE=x，则有ED=AD﹣AE=8﹣x，DC=AB=6，
根据勾股定理得：x2=（8﹣x）2+62，
解得：x=，
∴AE=，
在Rt△AOE中，sin∠OEA==．
【点评】此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）
21．先化简，再求值：（﹣）÷，其中，a是方程x2+3x+1=0的根．
【考点】分式的化简求值；一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a代入方程求出a2+3a的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=[+]÷
=（+）•
=•
=，
∵a是方程x2+3x+1=0的根，
∴a2+3a=﹣1，
则原式=﹣．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．为了增强学生环保意识，我区举办了首届“环保知识大赛”，经选拔后有30名学生参加决赛，这30，名学生同事解答50个选择题，若每正确一个选择题得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
组别成绩x分频数（人数）
第1组50≤x＜60 3
第2组60≤x＜70 8
第3组70≤x＜80 13
第4组80≤x＜90 a
第5组90≤x＜100 2
（1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
（4）第4组的同学将抽出3名对第一组3名同学进行“一帮一”辅导，则第4组的小宇与小强能同时抽到的概率是多少？
【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；列表法与树状图法．
【分析】（1）用总人数减去第1、2、3、5组的人数，即可求出a的值；
（2）根据（1）得出的a的值，补全统计图；
（3）用成绩不低于80分的频数除以总数，即可得出本次测试的优秀率；
（4）用A表示小宇，B表示小强，C、D表示其他两名同学，画出树状图，再根据概率公式列式计算即可．
【解答】解：（1）表中a的值是：
a=30﹣3﹣8﹣13﹣2=4；
（2）根据题意画图如下：
（3）本次测试的优秀率是=0.20=20%．
答：本次测试的优秀率是20%；
（4）用A表示小宇，B表示小强，C、D表示其他两名同学，根据题意画树状图如下：
共有24种情况，小宇与小强能同时抽到的情况有12种，
则小宇与小强能同时抽到的概率为=．
【点评】本题考查了频数分布直方图，频数分布表和概率，利用统计图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图表，才能作出正确的判断和解决问题，概率=所求情况数与总情况数之比．
23．在“红五月”读书活动中，社区计划筹资15000元购买科普书籍和文艺刊物．
（1）计划购买文艺刊物的资金不少于购买科普书籍资金的2倍，那么最少用多少资金购买文艺刊物？
（2）经初步了解，有150户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资100元，经筹委会进一步宣传，自愿参加的户数在150户的基础上增加了a%（其中a＞50），如果每户平均集资在100元的基础上减少a%，那么实际筹资将比计划筹资多3000元，求a的值．
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设用x元购买文艺刊物，则用（15000﹣x）元购买科普书籍，根据购买文艺刊物的资金不少于购买科普书籍资金的2倍列出不等式，解不等式即可；
（2）根据实际筹资将比计划筹资多3000元建立方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设用x元购买文艺刊物，则用（15000﹣x）元购买科普书籍，根据题意得
x≥2（15000﹣x），
解得x≥10000．
答：最少用10000元购买文艺刊物；
（2）由题意得150（1+a%）×100（1﹣a%）=15000+3000，
解得a1=100，a2=50（不合题意舍去）．
答：a的值为100．
【点评】本题考查了一元二次方程与一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程或不等式，再求解．
24．如图，已知，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD延长线于点E．（1）若AD=1，求DC；
（2）求证：BD=2CE．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1过点D作DH⊥BC于H，根据已知条件，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，得到DH=AD，在等腰直角三角形CDH中，求得CD；
（2）延长CE、BA相交于点F．可以证明Rt△ABD≌Rt△ACF，再证明△BCE≌△BFE得到CE=EF，就可以得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点D作DH⊥BC于H，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BCA=45°，
∴DH=CH，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DH=AD=1，
∴CD=；
（2）如图2，延长CE、BA相交于点F，
∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠EBF=∠ACF，
在△ABD和△ACF中
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD=CF，
在△BCE和△BFE中，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE=EF，
∴BD=2CE．
【点评】本题主要考查了角平分线性质，全等三角形判定和性质，能够想到延长CE、BA相交于点F，构造全等三角形是解决本题的关键．
五、解答题（本大题2个小题，各12分，共24分）每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．25．如图，矩形ABC0位于直角坐标平面，O为原点，A、C分别在坐标轴上，B的坐标为（8，6），线段BC上有一动点P，已知点D在第一象限．
（1）D是直线y=2x+6上一点，若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；
（2）D是直线y=2x﹣6上一点，若△APD是等腰直角三角形．求点D的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）根据题意可知只有PA=AD，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可证明△ADE≌△PAF，可求得OE，代入直线解析式可求得D点坐标；
（2）可分为当∠ADP=90°，D在AB上方和下方，当∠APD=90°时三种情况，设PC=m，可分别表示出点D的坐标，再代入直线y=2x﹣6，可求得D点坐标．
【解答】解；（1）如图1所示，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA=∠AFP=90°，
根据题意可知当△APD为等腰直角三角形时，只有∠DAP=90°满足条件，
∴AD=AP，∠DAP=90°，
∴∠EAD+∠DAB=90°，∠DAB+∠BAP=90°，
∴∠EAD=∠BAP，
∵AB∥PF，
∴∠BAP=∠FPA，
∴∠EAD=∠FPA，
在△ADE和△PAF中，
，
∴△ADE≌△PAF（AAS），
∴AE=PF=8，OE=OA+AE=14，
设点D的横坐标为x，由14=2x+6，得x=4，
∴点D的坐标是（4，14）；
（2）由点D在直线y=2x﹣6上，可设PC=m，
如图2所示，当∠ADP=90°时，AD=PD，易得D点坐标（4，2）；
如图3所示，当∠APD=90°时，AP=PD，设点P的坐标为（8，m），则D点坐标为（14﹣m，m+8），由m+8=2（14﹣m）﹣6，得m=，∴D点坐标（，）；
如图4所示，当∠ADP=90°时，AD=PD时，
同理可求得D点坐标（，），
D点坐标分别为（4，2）或（，）或（，）．
【点评】本题主要考查一次函数综合应用，涉及矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质及分类讨论思想等知识点．在（1）中求得D点的坐标是解题的关键，在（2）中确定出点D可能的位置是解题的关键．本题所考查内容较为基础，难度不大．
26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y 轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
【解答】解：（1）将B、C两点的坐标代入得，
解得：；
所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；
设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；
连接PP′，则PE⊥CO于E，
∵C（0，﹣3），
∴CO=3，
又∵OE=EC，
∴OE=EC=
∴y=；
∴x2﹣2x﹣3=
解得x1=，x2=（不合题意，舍去），
∴P点的坐标为（，）
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC 的解析式为：y=kx+d，
则，
解得：
∴直线BC的解析式为y=x﹣3，
则Q点的坐标为（x，x﹣3）；
当0=x2﹣2x﹣3，
解得：x1=﹣1，x2=3，
∴AO=1，AB=4，
S四边形ABPC=S△
ABC +S△
BPQ
+S△
CPQ
=AB•OC+QP•BF+QP•OF
=
=
当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．
【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．。