山东省菏泽市2019-2020学年第三次中考模拟考试数学试卷含解析

山东省菏泽市2019-2020学年第三次中考模拟考试数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）
A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米
2．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点H，连接DH，下列结论正确的是（）
①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是
25﹣2
A．①②⑤B．①③④⑤C．①②④⑤D．①②③④
3．如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）
A．53cm B．25cm C．48
cm
5
D．
24
cm
5
4．若a与﹣3互为倒数，则a=（）
A．3 B．﹣3 C．D．-
5．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）
A．8或10 B．8 C．10 D．6或12
6．某厂进行技术创新，现在每天比原来多生产30台机器，并且现在生产500台机器所需时间与原来生产350台机器所需时间相同．设现在每天生产x台机器，根据题意可得方程为（）
A ．50035030x x =-
B ．50035030x x =-
C ．500350+30x x =
D ．500350+30x x
= 7．如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 的中点，且BE ⊥AC 于点F ，则下列结论中错误的是（ ）
A ．AF=12CF
B ．∠DCF=∠DFC
C ．图中与△AEF 相似的三角形共有5个
D ．tan ∠CAD=2 8．如图1，点
E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，点P 从点B 出发沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 从点B 出发沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若点P 、Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），已知y 与t 之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ 是等腰三角形；②S △ABE =48cm 2；③14＜t ＜22时，y=110﹣1t ；④在运动过程中，使得△ABP 是等腰三角形的P 点一共有3个；⑤当△BPQ 与△BEA 相似时，t=14.1．其中正确结论的序号是（ ）
A ．①④⑤
B ．①②④
C ．①③④
D ．①③⑤
9．2 的相反数是（ ）
A ．﹣2
B ．2
C ．2
D ．2
10．如图，是反比例函数4y (x 0)x
=>图象，阴影部分表示它与横纵坐标轴正半轴围成的区域，在该区域内(不包括边界)的整数点个数是k ，则抛物线2y (x 2)2=---向上平移k 个单位后形成的图象是(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知线段AB=8cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=2cm ，若M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度为（ ）
A ．5cm
B ．5cm 或3cm
C ．7cm 或3cm
D ．7cm
12．如图，在⊙O 中，点P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，则下列结论：①AB ⊥CD ； ②∠AOB=4∠ACD ；③弧AD=弧BD ；④PO=PD ，其中正确的个数是（ ）
A ．4
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．正八边形的中心角为______度．
14．如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是_____．
15．计算：21m m ++112m m
++=______． 16．两圆内切，其中一个圆的半径长为6，圆心距等于2，那么另一个圆的半径长等于__． 17．若关于x 的方程x 2+x ﹣a+54
＝0有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a 的值是( ) A ．﹣1 B ．0
C ．1
D ．2 18．与直线2y x =平行的直线可以是__________（写出一个即可）．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）我们常用的数是十进制数，如32104657410610510710=⨯+⨯+⨯+⨯，数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中210110121202=⨯+⨯+⨯等于十进制的数6，543110*********=⨯+⨯+⨯210120212+⨯+⨯+⨯等于十进制的数53.那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？
20．（6分）如图,已知二次函数2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点,A 在B 左侧,点C 是点A 下方,且AC ⊥x 轴.
(1)已知A(－3，0),B(－1，0),AC=OA ．
①求抛物线解析式和直线OC 的解析式；
②点P 从O 出发,以每秒2个单位的速度沿x 轴负半轴方向运动,Q 从O 出发,以每秒2个单位的速度沿OC 方向运动,运动时间为t.直线PQ 与抛物线的一个交点记为M,当2PM=QM 时,求t 的值(直接写出结果,不需要写过程)
(2)过C 作直线EF 与抛物线交于E 、F 两点(E 、F 在x 轴下方),过E 作EG ⊥x 轴于G ,连CG ,BF,求证：CG ∥BF
21．（6分）先化简，再求值：（1+211x -）÷2
221
x x x ++，其中x=2+1． 22．（8分）已知：如图，∠ABC ，射线BC 上一点D ，
求作：等腰△PBD ，使线段BD 为等腰△PBD 的底边，点P 在∠ABC 内部，且点P 到∠ABC 两边的距离相等．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数34
y x =
与一次函数7y x =-+的图像交于点A ，
（1）求点A 的坐标； （2）设x 轴上一点P （a ，0），过点P 作x 轴的垂线（垂线位于点A 的右侧），分别交34
y x =
和7y x =-+的图像于点B 、C ，连接OC ，若BC=75OA ，求△OBC 的面积.
24．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在»BC上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．
（1）求证：AC=CE；
（2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC；
（1）已知⊙O的半径为1．
①若AB
AC
=
5
3
，求BC的长；
②当AB
AC
为何值时，AB•AC的值最大？
25．（10分）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）
26．（12分）已知A、B、C三地在同一条路上，A地在B地的正南方3千米处，甲、乙两人分别从A、B 两地向正北方向的目的地C匀速直行，他们分别和A地的距离s（千米）与所用的时间t（小时）的函数关系如图所示．
（1）图中的线段l1是（填“甲”或“乙”）的函数图象，C地在B地的正北方向
千米处；
（2）谁先到达C地？并求出甲乙两人到达C地的时间差；
（3）如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到者晚1小时到达C地，求他提速后的速度. 27．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．
（1）求证：DB=DE；
（2）求证：直线CF为⊙O的切线；
（3）若CF=4，求图中阴影部分的面积．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．A
【解析】
【分析】
作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根
据tan24°=AM
EM
，构建方程即可解决问题.
【详解】
作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．
在Rt△CDN中，∵
14
0.753
CN
DN
==，设CN=4k，DN=3k，
∴CD=10，
∴（3k）2+（4k）2=100，
∴k=2，
∴CN=8，DN=6，
∵四边形BMNC是矩形，
∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，
在Rt△AEM中，tan24°=AM EM
，
∴0.45=8
66
AB +
，
∴AB=21.7（米），
故选A．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
2．B
【解析】
【分析】
首先证明△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG（SAS），△AGB≌△CGB，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°.
∵在△ABE和△DCF中，AB=CD，∠BAD=∠ADC，AE=DF，
∴△ABE≌△DCF，
∴∠ABE=∠DCF.
∵在△ADG和△CDG中，AD=CD，∠ADB=∠CDB，DG=DG，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠DAG=∠DCF，
∴∠ABE=∠DAG.
∵∠DAG+∠BAH=90°，
∴∠BAE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=90°，
∴AG⊥BE，故③正确，
同理可证：△AGB≌△CGB.
∵DF∥CB，
∴△CBG∽△FDG，
∴△ABG∽△FDG，故①正确.
∵S△HDG:S△HBG=DG:BG=DF:BC=DF:CD=tan∠FCD，∠DAG=∠FCD，∴S△HDG:S△HBG=tan∠FCD=tan∠DAG，故④正确.
取AB的中点O，连接OD、OH.
∵正方形的边长为4，
∴AO=OH=1
2
×4=1，
由勾股定理得，22
4225
+=
由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，
DH最小5．
无法证明DH平分∠EHG，故②错误，
故①③④⑤正确.
故选B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形，解题的关键是掌握它们的性质进行解题.
3．D
【解析】
【分析】
根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也
等于BC×
AE ，可得出AE 的长度． 【详解】
∵四边形ABCD 是菱形，
∴CO=12AC=3，BO=12
BD=，AO ⊥BO ， ∴2222BC CO BO 345=+=+=．
∴ABCD 11S BD AC 682422
=⋅=⨯⨯=菱形． 又∵ABCD S BC AE =⋅菱形，
∴BC·AE=24，
即()24AE cm 5
=． 故选D ．
点睛：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
4．D
【解析】
试题分析：根据乘积是1的两个数互为倒数，可得3a=1，
∴a=，
故选C.
考点：倒数．
5．C
【解析】
试题分析：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、4，∵4+4=4，∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为4、4、4，能组成三角形，周长=4+4+4=4，
综上所述，它的周长是4．故选C ．
考点：4．等腰三角形的性质；4．三角形三边关系；4．分类讨论．
6．A
【解析】
【分析】
根据现在生产500台机器所需时间与原计划生产350台机器所需时间相同，所以可得等量关系为：现在生产500台机器所需时间=原计划生产350台机器所需时间．
【详解】
现在每天生产x 台机器，则原计划每天生产（x ﹣30）台机器．
依题意得：500350
x x30
=
-
，
故选A．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 7．D
【解析】
【分析】
由
11
22
AE AD BC
==，又AD∥BC，所以
1
2
AE AF
BC FC
==，故A正确，不符合题意；过D作DM∥BE
交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=
1
2
BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；
根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；
由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D错误，符合题意．
【详解】
A.∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴
1
2 AE AF
BC FC
==，
∵
11
22
AE AD BC
==，
∴
1
2
AF
FC
=，故A正确，不符合题意；
B. 过D作DM∥BE交AC于N，∵DE∥BM,BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴
1
2
BM DE BC
==，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F,DM∥BE，∴DN⊥CF，
∴DF=DC，
∴∠DCF=∠DFC ，故B 正确，不符合题意；
C. 图中与△AEF 相似的三角形有△ACD ，△BAF ，△CBF ，△CAB ，△ABE 共有5个，故C 正确，不符合题意;
D. 设AD=a,AB=b,由△BAE ∽△ADC,有2.a
b a b
= ∵tan ∠
CAD CD b AD a =
== 故D 错误，符合题意. 故选：D.
【点睛】
考查相似三角形的判定，矩形的性质，解直角三角形，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 8．D
【解析】
【分析】
根据题意，得到P 、Q 分别同时到达D 、C 可判断①②，分段讨论PQ 位置后可以判断③，再由等腰三角形的分类讨论方法确定④，根据两个点的相对位置判断点P 在DC 上时，存在△BPQ 与△BEA 相似的可能性，分类讨论计算即可．
【详解】
解：由图象可知，点Q 到达C 时，点P 到E 则BE=BC=10，ED=4
故①正确
则AE=10﹣4=6
t=10时，△BPQ 的面积等于
111040,22BC DC DC ⋅=⨯⋅= ∴AB=DC=8 故124,2ABE S AB AE =
⋅=V 故②错误
当14＜t ＜22时，()1110221105,22
y BC PC x t =
⋅=⨯⨯-=- 故③正确；
分别以A 、B 为圆心，AB 为半径画圆，将两圆交点连接即为AB 垂直平分线
则⊙A 、⊙B 及AB 垂直平分线与点P 运行路径的交点是P ，满足△ABP 是等腰三角形
此时，满足条件的点有4个，故④错误．
∵△BEA 为直角三角形
∴只有点P 在DC 边上时，有△BPQ 与△BEA 相似
由已知，PQ=22﹣t
∴当AB PQ AE BC
=或AB BC AE PQ =时，△BPQ 与△BEA 相似 分别将数值代入
822610t -=或810622t
=-， 解得t=13214
（舍去）或t=14.1 故⑤正确
故选：D ．
【点睛】
本题是动点问题的函数图象探究题，考查了三角形相似判定、等腰三角
形判定，应用了分类讨论和数形结合的数学思想．
9．A
【解析】
分析：
根据相反数的定义结合实数的性质进行分析判断即可.
详解：
的相反数是.
故选A.
点睛：熟记相反数的定义：“只有符号不同的两个数（实数）互为相反数”是正确解答这类题的关键. 10．A
【解析】
【分析】
依据反比例函数的图象与性质，即可得到整数点个数是5个，进而得到抛物线2y (x 2)2=---向上平移5个单位后形成的图象．
【详解】 解：如图，反比例函数4y (x 0)x
=>图象与坐标轴围成的区域内(不包括边界)的整数点个数是5个，即k 5=，
∴抛物线2
y(x2)2
=---向上平移5个单位后可得：2
y(x2)3
=--+，即2
y x4x1
=-+-，
∴形成的图象是A选项．
故选A．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象、二次函数的性质与图象，解答本题的关键是明确题意，求出相应的k的值，利用二次函数图象的平移规律进行解答．
11．B
【解析】
（1）如图1，当点C在点A和点B之间时，
∵点M是AB的中点，点N是BC的中点，AB=8cm，BC=2cm，
∴MB=1
2
AB=4cm，BN=
1
2
BC=1cm，
∴MN=MB-BN=3cm；
（2）如图2，当点C在点B的右侧时，
∵点M是AB的中点，点N是BC的中点，AB=8cm，BC=2cm，
∴MB=1
2
AB=4cm，BN=
1
2
BC=1cm，
∴MN=MB+BN=5cm.
综上所述，线段MN的长度为5cm或3cm.
故选B.
点睛：解本题时，由于题目中告诉的是点C在直线AB上，因此根据题目中所告诉的AB和BC的大小关系要分点C在线段AB上和点C在线段AB的延长线上两种情况分析解答，不要忽略了其中任何一种. 12．D
【解析】
【分析】
根据垂径定理，圆周角的性质定理即可作出判断．
【详解】
∵P是弦AB的中点，CD是过点P的直径．
∴AB⊥CD，弧AD=弧BD，故①正确，③正确；
∠AOB=2∠AOD=4∠ACD，故②正确．
P是OD上的任意一点，因而④不一定正确．
故正确的是：①②③．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，正确理解定理是关键．平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧；同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．45°
【解析】
【分析】
运用正n边形的中心角的计算公式360
n
︒
计算即可.
【详解】
解：由正n边形的中心角的计算公式可得其中心角为360
45
8
︒
=︒，
故答案为45°.
【点睛】
本题考查了正n边形中心角的计算. 14．25
【解析】
【分析】
利用平方根定义即可求出这个数.
【详解】
设这个数是x（x≥0），所以x＝（-5）2＝25. 【点睛】
本题解题的关键是掌握平方根的定义. 15．1.
【解析】
【分析】
利用同分母分式加法法则进行计算，分母不变，分子相加.
【详解】
解：原式=
12112121m m m m m +++==++. 【点睛】
本题考查同分母分式的加法，掌握法则正确计算是本题的解题关键．
16．4或1
【解析】
∵两圆内切，一个圆的半径是6，圆心距是2，
∴另一个圆的半径=6-2=4；
或另一个圆的半径=6+2=1，
故答案为4或1．
【点睛】本题考查了根据两圆位置关系来求圆的半径的方法．注意圆的半径是6，要分大圆和小圆两种情况讨论．
17．D
【解析】
【分析】
根据根的判别式得到关于a 的方程，求解后可得到答案.
【详解】
关于x 的方程2504x x a +-+
=有两个不相等的实数根， 则251410,4a ⎛⎫∆=-⨯⨯-+
> ⎪⎝⎭
解得： 1.a >
满足条件的最小整数a 的值为2.
故选D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，理解并能运用根的判别式得出方程是解题关键.
18．y=-2x+5（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据两条直线平行的条件：k 相等，b 不相等解答即可．
【详解】
解：如y=2x+1（只要k=2，b≠0即可，答案不唯一）．
故答案为y=2x+1．（提示：满足y 2x b =+的形式，且b 0≠）
【点睛】
本题考查了两条直线相交或平行问题．直线y=kx+b ，（k≠0，且k ，b 为常数），当k 相同，且b 不相等，图象平行；当k 不同，且b 相等，图象相交；当k ，b 都相同时，两条直线重合．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．1.
【解析】
分析：利用新定义得到101011=1×
25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20，然后根据乘方的定义进行计算． 详解：101011=1×
25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=1， 所以二进制中的数101011等于十进制中的1．
点睛：本题考查了有理数的乘方：有理数乘方的定义：求n 个相同因数积的运算，叫做乘方．
20． (1)①y=－x 2－4x －3；y=x ；② 或6350±；（2）证明见解析. 【解析】
【分析】
(1)把A(－3，0),B(－1，0)代入二次函数解析式即可求出；由AC=OA 知C 点坐标为(-3,-3),故可求出直线OC 的解析式；②由题意得OP=2t,P(－2t ，0)，过Q 作QH ⊥x 轴于H,
得OH=HQ=t,可得Q(－t,－t),直线 PQ 为y ＝－x －2t ，过M 作MG ⊥x 轴于G ,由12PG PM GH QM ==，则2PG ＝GH ，由2P G G H x x x x -=-，得2P M M Q x x x x -=-， 于是22M M t x x t --=+，解得
533M M x t x t =-=-或，从而求出M(－3t,t)或M （51,33
t t --），再分情况计算即可； (2) 过F 作FH ⊥x 轴于H ，想办法证得tan ∠CAG=tan ∠FBH ，即∠CAG=∠FBH ，即得证.
【详解】
2y x bx c =-++
解：(1)①把A(－3，0),B(－1，0)代入二次函数解析式得09301b c b c =--+⎧⎨=--+⎩解得43b c =-⎧⎨=-⎩
∴y=－x 2－4x －3；
由AC=OA 知C 点坐标为(-3,-3),∴直线OC 的解析式y=x ；
②OP=2t,P(－2t ，0)，过Q 作QH ⊥x 轴于H,
∵,∴OH=HQ=t,
∴Q(－t,－t),∴PQ ：y ＝－x －2t ，
过M 作MG ⊥x 轴于G ,
∴12
PG PM GH QM ==， ∴2PG ＝GH ∴2P G G H x x x x -=-，即2P M M Q x x x x -=-，
∴ 22M M t x x t --=+， ∴5
33
M M x t x t =-=-或，
∴M(－3t,t)或M （51,33t t --） 当M(－3t,t)时：29123t t t =-+-，
∴t =当M （5
1,33t t --）时：2125203393
t t t -=-+-，
∴6350
t ±=
综上：t =
t = (2)设A(m,0)、B(n,0),
∴m 、n 为方程x 2－bx －c=0的两根，
∴m+n=b,mn ＝－c,
∴y ＝－x2+(m+n)x －mn ＝－(x －m)(x －n),
∵E 、F 在抛物线上，设()()2111E x x m n x mn -++-，、()()
2222,F x x m n x mn -++-， 设EF ：y ＝kx+b,
∴E E F
E y kx b y kx b =+⎧⎨=+⎩ ， ∴()E
F E F y y k x x -=- ∴()()2212121212
E F E F x x m n x x y y k m n x x x x x x -+++--===+---- ∴()()()()12111:F y m n x x x x x m x n =+------，令x ＝m
∴()()()()12111c y m n x x m x x m x n =+------
＝()()()()112112+m x m n x x x n m x m x -+---=--
∴AC=()()12m x m x ---,
又∵1A E AG x x m x =-=-,
∴tan ∠CAG=2AC x m AG
=-， 另一方面：过F 作FH ⊥x 轴于H ，
∴()()22FH x m x n =--，2BH x n =-，
∴tan ∠FBH=2FH x m BH
=- ∴tan ∠CAG=tan ∠FBH ∴∠CAG=∠FBH
∴CG ∥BF
【点睛】
此题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质及正确作出辅助线进行求解.
21．11
x x +-，2 【解析】
【分析】
运用公式化简，再代入求值.
【详解】
原式=22
222
11(1)()?11x x x x x -++-- ＝22
2(1)•(1)(1)x x x x x
+-+ ＝11
x x +- ， 当2时，
原式=22
12
2
+
=+．
【点睛】
考查分式的化简求值、整式的化简求值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
22．见解析.
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【详解】
∵点P在∠ABC的平分线上，
∴点P到∠ABC两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边距离相等），
∵点P在线段BD的垂直平分线上，
∴PB=PD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），
如图所示：
【点睛】
本题考查作图﹣复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
23．（1）A(4，3)；（2）28.
【解析】
【分析】
（1）点A是正比例函数
3
4
y x
=与一次函数y=-x+7图像的交点坐标，把
3
4
y x
=与y=-x+7联立组成方程
组，方程组的解就是点A的横纵坐标；（2）过点A作x轴的垂线，在Rt△OAD中，由勾股定理求得OA
的长，再由BC=7
5
OA求得OB的长，用点P的横坐标a表示出点B、C的坐标，利用BC的长求得a值，
根据
1
2
OBC
S BC OP
∆
=⋅即可求得△OBC的面积.
【详解】
解：（1）由题意得:
3
4
7
y x
y x
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-+
⎩
，解得
4
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴点A的坐标为（4,3）.
（2）过点A作x轴的垂线，垂足为D，
在Rt△OAD中，由勾股定理得，
2222
435 OA OD AD
+=+=
∴
77
57
55
BC OA
==⨯=.
∵P（a，0），∴B（a,3
4
a）,C（a,-a+7），∴BC=
37
(7)7
44
a a a
--+=-，
∴7
77
4
a-=，解得a=8.
∴
11
7828
22
OBC
S BC OP
∆
=⋅=⨯⨯=.
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（1）①23 2
【解析】
分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC，据此得证；
（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG=AC=CE=CD，
证△BEF∽△BGA得BE BG
BF BA
=，即BF•BG=BE•AB，将BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代
入可得；
（1）①设AB=5k、AC=1k，由BC2-AC2=AB•AC知6k，连接ED交BC于点M，Rt△DMC中
由DC=AC=1k、MC=1
2
6k求得22
CD CM
-3，可知3k，在
Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2可得答案．②设OM=d，则MD=1-d，MC2=OC2-OM2=9-d2，继而知BC2=（2MC）2=16-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（1-d）2+9-d2，由（2）得AB•AC=BC2-AC2，据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．
详解：（1）∵四边形EBDC为菱形，
∴∠D=∠BEC，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠A+∠D=180°，
又∠BEC+∠AEC=180°，
∴∠A=∠AEC，
∴AC=CE；
（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，
由（1）知AC=CE=CD，
∴CF=CG=AC，
∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，
∴∠G+∠AEF=180°，
又∵∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠G=∠BEF，
∵∠EBF=∠GBA，
∴△BEF∽△BGA，
∴BE BG
BF BA
=，即BF•BG=BE•AB，
∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即BC2﹣AC2=AB•AC；（1）设AB=5k、AC=1k，
∵BC2﹣AC2=AB•AC，
∴6k，
连接ED交BC于点M，
∵四边形BDCE是菱形，
∴DE垂直平分BC，
则点E、O、M、D共线，
在Rt△DMC中，DC=AC=1k，MC=1
2
6k，
∴223
CD CM k
-=，
∴OM=OD﹣DM=13k，
在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（13）2+6k）2=12，
解得：k=
3
或k=0（舍），
∴；
②设OM=d，则MD=1﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2，∴BC2=（2MC）2=16﹣4d2，
AC2=DC2=DM2+CM2=（1﹣d）2+9﹣d2，
由（2）得AB•AC=BC2﹣AC2
=﹣4d2+6d+18
=﹣4（d﹣3
4
）2+
81
4
，
∴当d=3
4
，即OM=
3
4
时，AB•AC最大，最大值为
81
4
，
∴DC2=27
2
，
∴AC=DC=
2
，
∴AB=
4，此时
3
2
AB
AC
．
点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．
25．线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．
【解析】
试题分析：在Rt△BED中可先求得BE的长，过C作CF⊥AE于点F，则可求得AF的长，从而可求得EF的长，即可求得CD的长．
试题解析：∵BN∥ED，
∴∠NBD=∠BDE=37°，
∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴BE=DE•tan∠BDE≈18.75（cm），
如图，过C作AE的垂线，垂足为F，
∵∠FCA=∠CAM=45°，
∴AF=FC=25cm，
∵CD∥AE，
∴四边形CDEF为矩形，
∴CD=EF，
∵AE=AB+EB=35.75（cm），
∴CD=EF=AE-AF≈10.8（cm），
答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确地添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.
26．（1）乙；3；（2）甲先到达，到达目的地的时间差为3
2
小时；（3）速度慢的人提速后的速度为
4
3
千米
/小时.
【解析】
分析：
（1）根据题意结合所给函数图象进行判断即可；
（2）由所给函数图象中的信息先求出二人所对应的函数解析式，再由解析式结合图中信息求出二人到达C地的时间并进行比较、判断即可得到本问答案；
（3）根据图象中的信息结合（2）中的结论进行解答即可.
详解：
（1）由题意结合图象中的信息可知：图中线段l1是乙的图象；C地在B地的正北方6-3=3（千米）处. （2）甲先到达.
设甲的函数解析式为s=kt，则有4=t，
∴s=4t.
∴当s=6时，t=3 2 .
设乙的函数解析式为s=nt+3，则有4=n+3，即n=1. ∴乙的函数解析式为s=t+3.
∴当s=6时，t=3.
∴甲、乙到达目的地的时间差为：
33
3
22
-=（小时）.
（3）设提速后乙的速度为v千米/小时，
∵相遇处距离A地4千米，而C地距A地6千米，∴相遇后需行2千米.
又∵原来相遇后乙行2小时才到达C地，
∴乙提速后2千米应用时1.5小时.
即3
2
2
v=，解得：
4
3
v=，
答：速度慢的人提速后的速度为4
3
千米/小时.
点睛：本题考查的是由函数图象中获取相关信息来解决问题的能力，解题的关键是结合题意弄清以下两点：（1）函数图象上点的横坐标和纵坐标各自所表示是实际意义；（2）图象中各关键点（起点、终点、交点和转折点）的实际意义.
27．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2
π-．
【解析】
【分析】
（1）欲证明DB=DE.，只要证明∠DBE=∠DEB；
（2）欲证明CF是⊙O的切线.，只要证明BC⊥CF即可；
（3）根据S阴影部分=S扇形-S△OBD计算即可．
【详解】
解：（1）∵E是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，
∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE
(2)连接CD
∵DA平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∴BD=CD，
又∵BD=DF，
∴CD=DB=DF ，
∴°90BCF ，
∠= ∴BC ⊥CF ，
∴CF 是⊙O 的切线
（3）连接OD
∵O 、D 是BC 、BF 的中点，CF =4， ∴OD =2.
∵CF 是⊙O 的切线，
∴90.BOD BCF ∠=∠=︒
∴△BOD 为等腰直角三角形
∴S 阴影部分=S 扇形-S △OBD =
211222242
ππ⨯⨯-⨯⨯=-． 【点睛】
本题考查数学圆的综合题，考查了圆的切线的证明，扇形的面积公式等，注意切线的证明方法，是高频考点．。