苏科版七年级下册 二元一次方程组数学试卷(含答案)百度文库

苏科版七年级下册 二元一次方程组数学试卷(含答案)百度文库
一、选择题
1．已知关于x 、y 的方程组2323216ax by c ax by c -=⎧⎨
+=⎩的解是4
2
x y =⎧⎨=⎩，则关于x 、y 的方程组
232232316ax by a c
ax by a c
-+=⎧⎨
++=⎩的解是 （ ） A ．4
2
x y =⎧⎨
=⎩
B ．3
2
x y =⎧⎨
=⎩
C ．5
2
x y =⎧⎨
=⎩
D ．5
1x y =⎧⎨
=⎩
2．小红问老师的年龄有多大时，老师说：“我像你这么大时，你才4岁，等你像我这么大时，我就49岁了，设老师今年x 岁，小红今年y 岁”，根据题意可列方程为（ ）
A ．4
49x y y x y x -=+⎧⎨-=+⎩
B ．4
49x y y x y x -=+⎧⎨-=-⎩
C ．449x y y x y x -=-⎧⎨-=+⎩
D ．449x y y x y x -=-⎧⎨-=-⎩
3．已知方程组27
28x y x y +=⎧⎨+=⎩
，则5510x y -+的值是( )
A ．5
B ．-5
C ．15
D ．25
4．如图，用10块相同的长方形纸板拼成一个矩形，设长方形纸板的长和宽分别为xcm 和ycm ，则依题意列方程式组正确的是（ ）
A ．504x y y x
+=⎧⎨
=⎩
B ．50
4x y x y
+=⎧⎨
=⎩
C ．50
4x y y x
-=⎧⎨
=⎩
D ．50
4x y x y -=⎧⎨
=⎩
5．二元一次方程2x+3y=15的正整数解的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．在关于x 、y 的二元一次方程组321
x y a
x y +=⎧⎨-=⎩中，若232x y +=，则a 的值为（ ）
A ．1
B ．-3
C ．3
D ．4
7．阅读理解：a ，b ，c ，d 是实数，我们把符号
a b c d
称为22⨯阶行列式，并且规
定：
a b a d b c c d
=⨯-⨯，例如，
32
3(2)2(1)62412
=⨯--⨯-=-+=---．二元一
次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解可以利用22⨯阶行列式表示为x
y D x D
D y D
⎧=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，其中1122a D a b b =
，1122x b a D c b
=，11
22
y a c D a c =．问题：对于用上面的方法解二元一次方程
组3137x y x y -=⎧⎨+=⎩
时，下面的说法错误．．的是（ ）． A ．311013
D -=
=
B ．10x D =
C ．方程组的解为1
2
x y =⎧⎨
=⎩
D ．20y D =-
8．某木工厂有22人，一个工人每天可加工3张桌子或10只椅子，1张桌子与4只椅子配套，现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套而没有剩余，若设安排x 个工人加工桌子，y 个工人加工椅子，则列出正确的二元一次方程组为（ ） A ．22
12100
x y x y +=⎧⎨
-=⎩
B ．22
6100x y x y +=⎧⎨
-=⎩
C ．22
24100
x y x y +=⎧⎨
-=⎩
D ．22
12200
x y x y +=⎧⎨
-=⎩
9．8块相同的长方形地砖拼成面积为2400 cm 2的矩形ABCD （如图），则矩形ABCD 的周长为（ ）
A ．200cm
B ．220cm
C ．240cm
D ．280cm
10．如图，宽为25cm 的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积
是（ ）
A ．2200cm
B ．2150cm
C ．2100cm
D ．275cm
11．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在我们把它改为横排，如图1、图2图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数,x y 的系数与相应的常数项把
图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是
2+327
214
x y
x y
=
⎧
⎨
+=
⎩
类似地，
图2所示的算筹图我们可以表述为( )
A．
2+16
4322
x y
x y
=
⎧
⎨
+=
⎩
B．
2+16
4327
x y
x y
=
⎧
⎨
+=
⎩
C．
2+11
4322
x y
x y
=
⎧
⎨
+=
⎩
D．
2+11
4327
x y
x y
=
⎧
⎨
+=
⎩
12．解方程组
229
229
232
x y
y z
z x
+=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪+=
⎩
得x等于( )
A．18B．11C．10D．9
二、填空题
13．一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位数是_____．
14．有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是_____元．
15．某商场在11月中旬对甲、乙、丙三种型号的电视机进行促销.其中，甲型号电视机直接按成本价1280元的基础上获利25%定价；乙型号电视机在原销售价2199元的基础上先让利199元，再按八五折优惠；丙型号电视机直接在原销售价2399元上减499元；活动结束后，三种型号电视机总销售额为20600元，若在此次促销活动中，甲、乙、丙三种型号的电视机至少卖出其中两种型号，则三种型号的电视机共______有种销售方案. 16．历代数学家称《九章算术》为“算经之首”.书中有这样一道题的记载，译文为：今有5只雀、6只燕，分别聚集在一起称重，称得雀重，燕轻．若将一只雀、一只燕交换位置，则重量相等；将5只雀、6只燕放在一起称量，则总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？若设雀每只重x斤，燕每只重y斤，则可列方程组为________________
17．小纪念册每本5元，大纪念册每本7元．小明买这两种纪念册共花142元，则两种纪念册共买______本．
18．在某次数学竞赛中每解出一道难题得3分，每解出一道普通题得2分，此外，对于每道未解出的普通题要扣去1分．某人解出了10道题，共得了14分，则该次数学竞赛中一共有____道普通题.
19．若关于x，y的方程组
3
22
x y
x y a
+=
⎧
⎨
-=-
⎩
的解是正整数，则整数a的值是_____．
20．从﹣2，﹣1，0，1，2，3这六个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x、y
的二元一次方程组2
x y a
x y -=⎧⎨+=⎩有整数解，且方程ax 2+ax+1=0有实数根的概率是_____．
21．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出
，乙同学因把c 写
错而解得
，则a=_____，b=_____，c=_____．
22．关于x ，y 的二元一次方程组5323
x y x y a +=⎧⎨+=⎩
的解是正整数，试确定整数a 的值为
_________________.
23．王虎用100元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共100包.油菜籽每包3元，西红柿种子每包4元，萝卜籽1元钱7包，问王虎油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了_______包.
24．若方程组2313{3530.9a b a b -=+=的解是8.3{ 1.2,
a b ==则方程组
的解
为________
三、解答题
25．对于数轴上的点A ，给出如下定义：点A 在数轴上移动，沿负方向移动a 个单位长度（a 是正数）后所在位置点表示的数是x ，沿正方向移动2a 个单位长度（a 是正数）后所在位置点表示的数是y ，x 与y 这两个数叫做“点A 的a 关联数”，记作G （A ，a ）＝{x ，y}，其中x <y ．
例如：原点O 表示0，原点O 的1关联数是G （0，1）＝{－1，+2} （1）若点A 表示－3，a ＝3，直接写出点A 的3关联数． （2）①若点A 表示－1，G （A ，a ）＝{－5，y}，求y 的值． ②若G （A ，a ）＝{－2，7}，求a 的值和点A 表示的数．
（3）已知G （A ，3）＝{x ，y}，G （B ，2）＝{m ，n}，若点A 、点B 从原点同时同向出发，且点A 的速度是点B 速度的3倍．当|y －m|＝6时，直接写出点A 表示的数． 26．阅读材料并回答下列问题：
当m ，n 都是实数，且满足2m =8+n ，就称点P （m ﹣1，
2
2
n +）为“爱心点”． （1）判断点A （5，3），B （4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由； （2）若点A （a ，﹣4）是“爱心点”，请求出a 的值；
（3）已知p ，q 为有理数，且关于x ，y 的方程组333x y q
x y q
⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩解为坐标的点B （x ，
y ）是“爱心点”，求p ，q 的值．
27．泉州市某校准备组织教师、学生、家长到福州进行参观学习活动，旅行社代办购买动车票，动车票价格如下表所示： 运行区间 大人票价 学生票 出发站
终点站
一等座
二等座
二等座
泉州 福州 65（元） 54（元） 40（元）
根据报名总人数，若所有人员都买一等座的动车票，则共需13650元，若都买二等座动车票（学生全部按表中的“学生票二等座”购买），则共需8820元；已知家长的人数是教师的人数的2倍．
（1）设参加活动的老师有m 人，请直接用含m 的代数式表示教师和家长购买动车票所需的总费用；
（2）求参加活动的总人数；
（3）如果二等座动车票共买到x 张，且学生全部按表中的“学生票二等座”购买 ，其余的买一等座动车票，且买票的总费用不低于9000元，求x 的最大值．
28．为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动正式开始．重庆长安汽车经销商在出台前一个月共售出长安SUV 汽车SC35的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%．
（1）在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台；
（2）若手动型汽车每台价格为9万元，自动型汽车每台价格为10万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元．
29．数轴上有两个动点M ，N ，如果点M 始终在点N 的左侧，我们称作点M 是点N 的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A ，B ，它们表示的数分别为-3，1，已知点M 是点N 的“追赶点”，且M ，N 表示的数分别为m ，n ．
（1）由题意得：点A 是点B 的“追赶点”，AB =1-(-3)=4(AB 表示线段AB 的长，以下相同)；类似的，MN =____________．
（2）在A ，M ，N 三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m 的代数式来表示n ． （3）若AM =BN ，MN =
4
3
BM ，求m 和n 值．
30．规定:二元一次方程ax by c +=有无数组解，每组解记为(),P x y ,称(),P x y 为亮点，将这些亮点连接得到一条直线，称这条直线是亮点的隐线，答下列问题： (1) 已知()()()1,2,4,3,3,1A B C ---，则是隐线326x y +=的亮点的是 ; (2) 设()10,2,1,3P Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
是隐线26t x hy +=的两个亮点，求方程
()
22
144265t x t h y ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭
中,x y 的最小的正整数解; (3)已知,m n 是实数， 27m n =,若)
,P
m n 是隐线23x y s -=的一个亮点，求
隐线s 中的最大值和最小值的和. 31．某公园的门票价格如下表所示：
某中学七年级(1)、(2)两个班计划去游览该公园，其中(I)班的人数较少，不足 50 人；(2) 班人数略多，有 50 多人．如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付 1172 元，如 果两个班联合起来，作为一个团体购票，则需付 1078 元． (1)列方程求出两个班各有多少学生；
(2)如果两个班联合起来买票，是否可以买单价为 9 元的票？你有什么省钱的方法来帮 他们买票呢？请给出最省钱的方案． 32．如图，已知()0,A a ，(),0B
b ，且满足|4|60a b -+
+=.
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）点(),C m n 在线段AB 上，m 、n 满足5n m -=，点D 在y 轴负半轴上，连CD 交
x 轴的负半轴于点M ，且MBC MOD S S ∆∆=，求点D 的坐标；
（3）平移直线AB ，交x 轴正半轴于E ，交y 轴于F ，P 为直线EF 上第三象限内的点，过P 作PG x ⊥轴于G ，若20PAB A ∆=，且12GE =，求点P 的坐标.
33．某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？
34． 学校“百变魔方”社团准备购买A ，B 两种魔方，已知购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元，购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同.
(1)求这两种魔方的单价；
(2)结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个.某商店有两种优惠活动，如图所示.请根据以上信息，购进A种魔方多少个时，两种活动费用相同？
35．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B 型电脑的利润为3500元．
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共50台，其中A型电脑的进货量不少于14台，B 型电的进货量不少于A型电脑的2倍，那么该商店有几种进货方案?该商场购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大?
(3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m (0<m<100)元，若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及(2)中条件，设计出使这50台电脑销售总利润最大的进货方案．
36．小明到某服装商场进行社会调查,了解到该商场为了激励营业员的工作积极性,实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法,并获得如下信息:
假设营业员的月基本工资为x元,销售每件服装奖励y元:
、的值；
(1)求x y
(2)若营业员小丽某月的总收入不低于1800元,那么小丽当月至少要卖服装多少件?
(3)商场为了多销售服装,对顾客推荐一种购买方式:如果购买甲3件、乙2件、丙1件，共需315元；如果购买甲1件,乙2件,丙3件，共需285元，某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
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一、选择题
1．B 解析：B 【分析】
方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨++=⎩可化为213231216a x by c a x by c +-=⎧⎨++=⎩（）（），由方程组2323216ax by c
ax by c -=⎧⎨
+=⎩的解是42x y =⎧⎨=⎩即可求得方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨++=⎩的解为3
2x y =⎧⎨
=⎩
. 【详解】
方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨
++=⎩可化为213231216a x by c a x by c +-=⎧⎨++=⎩（
）（），
∵方程组2323216ax by c ax by c -=⎧⎨
+=⎩的解是4
2
x y =⎧⎨=⎩，
∴142
x y +=⎧⎨
=⎩，
即方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨++=⎩的解为3
2
x y =⎧⎨
=⎩. 故选B. 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，把方程组232232316ax by a c
ax by a c -+=⎧⎨++=⎩化为
213231216a x by c a x by c +-=⎧⎨
++=⎩（
）（）是解决问题的关键. 2．D
解析：D 【分析】
根据题设老师今年x 岁，小红今年y 岁，根据题意列出方程组解答即可． 【详解】
解：老师今年x 岁，小红今年y 岁，可得：449
x y y x
y
x
，
故选：D ． 【点睛】
此题考查了二元一次方程组的应用和理解题意能力，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．
3．A
解析：A 【分析】
将方程①-方程②得到x-y=-1，代入5x-5y+10计算即可.
解：
27
28 x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
①-②，得：x-y=-1，
∴5x-5y+10=5(x-y)+10=5×(-1)+10=5.
故选A.
【点睛】
本题考查了用加减法解二元一次方程组.
4．B
解析：B
【解析】
分析：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图形可得：大长方形的宽=小长方形的长+小长方形的宽，小长方形的长=小长方形的宽×4，列出方程中即可．
详解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
则可列方程组：
50
4
x y
x y
+=
⎧
⎨
=
⎩
.
故选B.
点睛：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，解答本题关进是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组，注意弄清小正方形的长与宽的关系.
5．B
解析：B
【详解】
解：2x+3y=15，
解得：x=
315
2
y
-+
，
当y=1时，x=6；当y=3时，x=3，
则方程的正整数解有2对．
故选：B
6．C
解析：C
【解析】
分析：上面方程减去下面方程得到2x+3y=a﹣1，由2x+3y=2得出a﹣1=2，即a=3．
详解：
3
{
21
x y a
x y
+=
-=
①
②
，①﹣②，得：2x+3y=a﹣1．
∵2x+3y=2，∴a﹣1=2，解得：a=3．
故选C．
点睛：本题主要考查解二元一次方程组，观察到两方程的系数特点和等式的基本性质是解题的关键．
解析：D 【分析】
分别根据行列式的定义计算可得结论． 【详解】 A 、3113
D -=
=3×3-（-1）×1=10，计算正确，不符合题意；
B 、D x =1×3-（-1）×7=10，计算正确，不符合题意；
C 、方程组的解：x=
102011010
y ==，=2，计算正确，不符合题意． D 、D y =3×7-1×1=20，计算错误，符合题意； 故选：D ． 【点睛】
此题考查二元一次方程组的解，理解题意，直接运用公式计算是解题的关键．
8．A
解析：A 【分析】
设安排x 个工人加工桌子，y 个工人加工椅子，根据共有22人，一张桌子与4只椅子配套，列方程组即可． 【详解】
解：设安排x 个工人加工桌子，y 个工人加工椅子， 由题意得：22
12100x y x y +=⎧⎨-=⎩
故选A ． 【点睛】
本题考查了根据实际问题抽象二元一次方程组的知识，解答本题的关键是挖掘隐含条件：一张课桌需要配四把椅子．
9．A
解析：A 【分析】
设长方形地砖的长为xcm ，宽为ycm ，依据图形中所示的小长方形的长与宽之间的关系，长＝3×宽，以及长方形的面积＝2400
8
cm 2，可以列出方程组，解方程组即可求得x ，y 的值，再求矩形ABCD 的周长． 【详解】
解：设长方形地砖的长为xcm ，宽为ycm ，根据题意得
x 324008
y
xy =⎧⎨
=÷⎩ ，
解之得x 3010y =⎧⎨=⎩
， 则矩形ABCD 的周长为2×（60+40）＝200cm ．
故选A ．
【点睛】
本题考查了图形与二元一次方程组，正确找到数量关系列出方程组是解题的关键.
10．C
解析：C
【分析】
根据矩形的两组对边分别相等，可知题中有两个等量关系：小长方形的长+小长方形的宽=25，小长方形的长×2=小长方形的长+小长方形的宽×4，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．
【详解】
设一个小长方形的长为xcm ，宽为ycm ，
由图形可知，2524x y x x y +=⎧⎨=+⎩
， 解得：205x y =⎧⎨=⎩
， 所以一个小长方形的面积为205100⨯=(cm 2) ．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，解答本题关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组．并弄清小正方形的长与宽的关系．
11．D
解析：D
【分析】
由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数算10，每一横行是一个方程，第一个数是x 的系数，第二个数是y 的系数，第三个数是相加的结果：前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式.
【详解】
第一个方程x 的系数为2，y 的系数为1，相加的结果为11；第二个方程x 的系数为4，y 的系数为3，相加的结果为27，所以可列方程组为：2114327
x y x y +=⎧⎨
+=⎩. 故选D .
【点睛】 此题主要考查了由实际问题列二元一次方程组，关键是读懂图意，得到所给未知数的系数及相加结果.
12．C
【分析】
利用加减消元法解方程组即可．
【详解】
229229232x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
①②③，
①+②+③得：
3x+3y+3z=90．
∴x+y+z=30 ④
②-①得：
y+z-2x=0 ⑤
④-⑤得：
3x=30
∴x=10
故答案选：C ．
【点睛】
本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解题的关键．
二、填空题
13．95
【详解】
设十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意所述的等量关系可得出方程组，求解即可得，即这个两位数为95．
故答案为95.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知
解析：95
【详解】
设十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意所述的等量关系可得出方程组
14101036x y x y y x +=⎧⎨+--=⎩，求解即可得95x y =⎧⎨=⎩
，即这个两位数为95． 故答案为95.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，注意掌握二位数的表示方法．
14．100或85．
设所购商品的标价是x元，然后根据两人共付款150元的等量关系，分所购商品的标价小于90元和大于90元两种情况，分别列出方程求解即可．
【详解】
解：设所购商品的标价是x元，
解析：100或85．
【分析】
设所购商品的标价是x元，然后根据两人共付款150元的等量关系，分所购商品的标价小于90元和大于90元两种情况，分别列出方程求解即可．
【详解】
解：设所购商品的标价是x元，则
①所购商品的标价小于90元，
x﹣20+x＝150，
解得x＝85；
②所购商品的标价大于90元，
x﹣20+x﹣30＝150，
解得x＝100．
故所购商品的标价是100或85元．
故答案为100或85．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键．15．五
【分析】
设甲种型号的电视机卖出x台，乙种型号的电视机卖出y台，丙种型号的电视机卖出z台，根据“三种型号电视机总销售额为20600元”列方程，整理后，分类讨论即可得出结论．
【详解】
设甲种型号
解析：五
【分析】
设甲种型号的电视机卖出x台，乙种型号的电视机卖出y台，丙种型号的电视机卖出z 台，根据“三种型号电视机总销售额为20600元”列方程，整理后，分类讨论即可得出结论．
【详解】
设甲种型号的电视机卖出x台，乙种型号的电视机卖出y台，丙种型号的电视机卖出z 台，根据题意得：
1280×(1+25%)x+(2199-199)×0.85y+(2399-499)z=20600
整理得：16x+17y+19z=206
∴16(x+y+z)+y+3z=16×12+14
∵x、y、z为非负整数，且x、y、z最多一个为0，
∴0≤x≤12，0≤y≤12，0≤z≤10，
∴14≤y+3z≤42．
设x+y+z=12-k，y+3z=14+16k，其中k为非负整数．
∴14≤14+16k≤42，
∴0≤k＜2．
∵k为整数，
∴k=0或1．
（1）当k=0时，x+y+z=12，y+3z=14，
∴0≤z≤4．
①当z=0时，y=14＞12，舍去；
②当z=1时，y=14-3z=11，x=12-y-z=12-11-1=0，符合题意；
③当z=2时，y=14-3z=8，x=12-y-z=12-8-2=2，符合题意；
④当z=3时，y=14-3z=5，x=12-y-z=12-5-3=4，符合题意；
⑤当z=4时，y=14-3z=2，x=12-y-z=12-2-4=6，符合题意．（2）当k=1时，x+y+z=11，y+3z=30
∵y=30-3z，
∴0≤30-3z≤12，
解得：6≤z≤10，
当z=6时，y=30-3z=12，x=11-y-z=11-12-6=-7＜0，舍去；
当z=7时，y=30-3z=9，x=11-y-z=11-9-7=-5＜0，舍去；
当z=8时，y=30-3z=6，x=11-y-z=11-6-8=-3＜0，舍去；
当z=9时，y=30-3z=3，x=11-y-z=11-3-9=-1＜0，舍去；
当z=10时，y=30-3z=0，x=11-y-z=11-10-0=1，符合题意．
综上所述：共有
11
1
x
y
z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
2
8
2
x
y
z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
4
5
3
x
y
z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
6
2
4
x
y
z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
1
10
x
y
z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
五种方案．
故答案为：五．
【点睛】
本题考查了三元一次方程的应用．分类讨论是解答本题的关键．
16．【分析】
设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可．
【详解】
解：设每只雀有x两，每只燕有y两，
由题意得，
【
解析：
45
561 x y y x
x y
+=+⎧
⎨
+=
⎩
【分析】
设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可．
【详解】
解：设每只雀有x两，每只燕有y两，
由题意得，
45
561 x y y x
x y
+=+⎧
⎨
+=
⎩
【点睛】
本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
17．26、24或22
【解析】
【分析】
通过理解题意可以知道，本题有一组等量关系，即：小纪念册本数×5+大纪念册本数×7=142，可以根据此等量关系，列出方程求解作答．
【详解】
解：假设购买小纪念册
解析：26、24或22
【解析】
【分析】
通过理解题意可以知道，本题有一组等量关系，即：小纪念册本数×5+大纪念册本数
×7=142，可以根据此等量关系，列出方程求解作答．
【详解】
解：假设购买小纪念册x本，购买大纪念册y本，则x，y为整数．
则有题目可得二元一次方程：5x+7y=142，
解得：x，y有4组整数解即：
27
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
,
20
6
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
,
13
11
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
,
6
16
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
即有四种情况即：两种纪念册共买28、26、24或22本．
故答案为28、26、24或22本．
【点睛】
本题考查了一次方程的实际应用,中等难度,解决此类问题的关键在于，找出题目中所给的等量关系，列出方程，求解方程．
18．16
【解析】
【分析】
根据题意进行解设,列出三元一次方程组,再用加减消元的方法即可求解.
【详解】
解：设普通题一共有x 道,其中解出a 道,难题一共解出b 道,依题意得： 3b+2a-(x-a)=1
解析：16
【解析】
【分析】
根据题意进行解设,列出三元一次方程组,再用加减消元的方法即可求解.
【详解】
解：设普通题一共有x 道,其中解出a 道,难题一共解出b 道,依题意得：
（2）×
3-（1）得x=16, ∴该次数学竞赛中一共有16道普通题.
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的实际应用,中等难度,正确对方程组进行化简是解题关键. 19．2或-1
【解析】
【分析】
利用加减消元法解二元一次方程组，得到x 和y 关于a 的解，根据方程组的解是正整数，得到5-a 与a+4都要能被3整除，即可得到答案．
【详解】
，
①-②得：3y=5-a ，
解析：2或-1
【解析】
【分析】
利用加减消元法解二元一次方程组，得到x 和y 关于a 的解，根据方程组的解是正整数，得到5-a 与a+4都要能被3整除，即可得到答案．
【详解】
322x y x y a +⎧⎨--⎩
＝①＝②， ①-②得：3y=5-a ，
解得：y=
53a -， 把y=53
a -代入①得：
x+
53
a -=3， 解得：x=+43a ， ∵方程组的解为正整数，
∴5-a 与a+4都要能被3整除，
∴a=2或-1，
故答案为2或-1．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
20．【分析】
从6个数中找到使得关于x 、y 的二元一次方程组有整数解，且方程ax2+ax+1=0有实数根的a 的个数后利用概率公式求解即可．
【详解】
解：能使得使得关于x 、y 的二元一次方程组有整数解的 解析：
16
【分析】 从6个数中找到使得关于x 、y 的二元一次方程组2x y a x y -=⎧⎨
+=⎩有整数解，且方程ax 2+ax +1=0有实数根的a 的个数后利用概率公式求解即可．
【详解】
解：能使得使得关于x 、y 的二元一次方程组2x y a x y -=⎧⎨
+=⎩有整数解的a 的值有﹣2，0，2共3个数．
当a =0时，方程ax 2+ax +1=0无实数根，∴a ≠0．
∵方程ax 2+ax +1=0有实数根，∴b 2﹣4ac =a 2﹣4a ≥0且a ≠0，解得：a ＜0或a ≥4，∴使得关于x 、y 的二元一次方程组2
x y a x y -=⎧⎨+=⎩有整数解，且方程ax 2+ax +1=0有实数根的a 的值只有﹣2，共1个，∴P （使得关于x 、y 的二元一次方程组2x y a x y -=⎧⎨
+=⎩有整数解，且方程ax 2+ax +1=0有实数根）=16
． 故答案为
16
． 【点睛】 本题考查了概率公式的应用，二元一次方程组的解以及根的判别式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．﹣2 ﹣2 ﹣2
【解析】
分析：先把x=3y=-2代入ax+by=-2cx-7y=8得3a-2b=-
23c+14=8 ，由方程组中第二个式子可得：c=-2，然后把解x=-2y=
解析：﹣2 ﹣2 ﹣2
【解析】
分析：先把代入得，由方程组中第二个式子可得：c=-2，然后把解代入ax+by=-2即可得出答案．
解答：解：把代入，
得，解得，c=-2．
再把代入ax+by=-2，
得，
解得：，
所以a=-2，b=-2，c=-2．
故答案为-2，-2，-2．
点评：本题考查了二元一次方程组的解，难度适中，关键是对题中已知条件的正确理解与把握．
22．7或5
【解析】
分析：首先用含a的代数式分别表示x，y，再根据条件二元一次方程组的解为正整数，得到关于a的不等式组，求出a的取值范围，再根据a为整数确定a 的值．
详解：
①-②×3，得
2x=2
解析：7或5
【解析】
分析：首先用含a的代数式分别表示x，y，再根据条件二元一次方程组的解为正整数，得到关于a的不等式组，求出a的取值范围，再根据a为整数确定a的值．
详解：
5323
x y
x y a
+=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
①-②×3，得2x=23-3a
解得x=
2332a - 把x=2332a -代入②得y=5232
a - ∵关于x ，y 的二元一次方程组5323x y x y a +=⎧⎨+=⎩
的解是正整数 ∴2332a -＞0，5232
a -＞0 解得232353
a ＜＜ 即a=5、6、7
∵x 、y 为正整数
∴a 为5或7.
故答案为：5或7.
点睛：本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出关于a 的方程．
23．3,20,77.
【解析】
先设油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了x 、y 、z 包，再根据题中的相等关系列出方程组，并根据实际意义找出满足题意的解即可.
解：设油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了x 、y 、z 包
根据题
解析：3,20,77.
【解析】
先设油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了x 、y 、z 包，再根据题中的相等关系列出方程组，并根据实际意义找出满足题意的解即可.
解：设油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了x 、y 、z 包
根据题意可列方程组，
100341007x y x z x y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩
①② ②－3×①，得
77020
z y =+ 要使x 、y 、z 均为正整数，
则3,20,77x y z ===
故答案为3、20、77
点睛：本题主要考查学生利用方程思想建模解决实际问题的能力.解题的技巧在于要利用题
中的相等关系建立方程组，并用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再根据实际情况得出满足题意的解.
24．【解析】试题分析：根据整体思想，可设a=x+2，b=y-
1，可发现两个方程组相同，因此可知x+2=8.3，y-
1=1.2，解得x=6.3，y=2.2，即方程组的解为： .
三、解答题
25．（1）{－6，+3}；（2）①y=7，②a=3，点A 表示的数1；（3）-3或-21
【分析】
（1）直接根据关联数的定义解题即可；
（2）①首先根据关联数的定义求出a 的值，然后即可求解；
②通过关联数的定义建立方程组求解即可；
（3）通过关联数的定义建立关于A ，B 的方程组，然后通过A ，B 的速度的关系找到A ，B 之间的关系，最后通过解方程即可得出答案．
【详解】
（1）∵点A 表示－3，a ＝3，
336,3233x y ∴=--=-=-+⨯=+，
∴点A 的3关联数G （-3，3）＝{－6，+3}；
（2）①点A 表示－1，G （A ，a ）＝{－5，y}，
51a ∴-=--
解得4a =，
1247y ∴=-+⨯=；
②∵G （A ，a ）＝{－2，7}，
272A a A a -=-⎧∴⎨=+⎩解得13A a =⎧⎨=⎩
； （3）∵G （A ，3）＝{x ，y}，G （B ，2）＝{m ，n}，
323x A y A =-⎧∴⎨=+⨯⎩，222m B n B =-⎧⎨=+⨯⎩
． ∵点A 的速度是点B 速度的3倍，
3A B ∴=，
13
B A ∴=． 6y m -=，
()626A B ∴+--=，
即16263A A ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭
， 解得3A =-或21A =-．
【点睛】
本题主要考查定义新运算，掌握关联数的定义是解题的关键．
26．（1）A 是爱心点，B 不是，理由见解析；（2）-2；（3）20,3
p q ==-
【分析】
（1）根据“爱心点”的定义，列出方程组计算即可求解； （2）根据“爱心点”的定义，可得方程组1242
m a n -=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，先求得n ，再求得m ，进一步得到a 的值；
（3）解方程组用q 和p 表示x 和y ，代入2m =8+n ，得到关于p 和q 的等式，再根据p ，q 为有理数，求出p ，q 的值．
【详解】
（1）∵15232
m n -=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ∴64m n =⎧⎨=⎩
， ∵2×6=8+4，
∴点A 是爱心点； ∵14282
m n -=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ∴514m n =⎧⎨=⎩
， ∵2×5≠8+14，
∴点B 不是爱心点；
（2）∵1242
m a n -=⎧⎪⎨+=-⎪⎩， ∴n =﹣10，
又∵2m =8+n ，
∴2m =8+（﹣10），
解得m =﹣1，
∴﹣1﹣1=a ，即a =﹣2；
（3
）解方程组3x y q x y q ⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩
得2x q y q ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
，
又∵点B 是“爱心点”
满足：1222m q n q ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩
，
∴142
m q n q ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩， ∵2m =8+n ，
∴22842q q -+=+-，
整理得：64q -=，
∵p ，q 是有理数，p =0，﹣6q =4，
∴ p =0， q =23-
． 【点睛】
本题主要考查了解二元一次方程组的应用、点的坐标，同时考查了阅读理解能力及迁移运用能力．
27．（1）购买一等票为 195m ； 购买二等票为162m ；（2）210；（3）180，193．
【分析】
（1）求出教师和家长的总人数，根据一等票和二等票两种情况求出代数式．
（2）设参加社会实践的老师有m 人，学生有n 人，则学生家长有2m 人，根据若所有人员都买一等座的动车票，则共需13650元，若都买二等座动车票（学生全部按表中的“学生票二等座”购买），则共需8820元，可求出解．
（3）由（2）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，所以买学生票共180张，有（x ﹣180）名大人买二等座动车票，（210﹣x ）名大人买一等座动车票，根据票的总费用不低于9000元，可列不等式求解．
【详解】
解：（1）购买一等票为：65•3m ＝195m ；
购买二等票为：54•3m ＝162m ，
（2）设参加社会实践的老师有m 人，学生有n 人，则学生家长有2m 人，依题意得： 1956513650{543408820m n m n +=⨯+=，解得：10{180
m n ==， 则2m ＝20，总人数为：10+20+180＝210（人）
经检验，符合题意；
答：参加活动的总人数为210人．
（3）由（2）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，所以买学生票共180张，有（x ﹣180）名大人买二等座动车票，（210﹣x ）名大人买一等座动车票． ∴购买动车票的总费用＝40×180+54（x ﹣180）+65（210﹣x ）＝﹣11x +11130． 依题意，得：﹣11x +11130≥9000… 解得：719311
x ≤，。