福建省泉州市龙泉中学2018年高一数学理测试题含解析

福建省泉州市龙泉中学2018年高一数学理测试题含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知四边形ABCD为正方形，点E是CD的中点，若，，则=
（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
利用向量的加、减法法则将用基本向量，表示即可。

【详解】四边形为正方形，点是的中点
所以，在正方形中，，
又因为，
所以，
所以
故选B
【点睛】本题考查向量的加减法运算，解题的关键是将用基本向量，表示，属于简单题。

2. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于
点，则的最大值是（）
A. 5
B. 10
C.
D.
参考答案：
A
【分析】
由题意知两直线互相垂直，根据直线分别求出定点与定点，再利用基本不等式，即可得出答案。

【详解】直线过定点，
直线过定点,
又因直线与直线互相垂直，
即
即，当且仅当时取等号
故选A
【点睛】本题考查直线位置关系，考查基本不等式，属于中档题。

3. 等比数列{a}中，a=512，公比q=，用表示它的前n项之积：
，则中最大的是（）
A．T B．T C．T
D．T
参考答案：
C
4. 已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω＞1，|φ|＜），y=f（x）的部分图象如图，则f（）=（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出ω，根据函数过（0.1），过
（），确定φ的值，A的值，求出函数的解析式，然后求出即可．
【解答】解：由题意可知T=，所以ω=2，
函数的解析式为：f（x）=Atan（2x+φ），
因为函数过（0，1），所以，1=Atanφ…①，
函数过（），0=Atan（+φ）…②，
解得：φ=，A=1．
∴f（x）=tan（2x+）．
则f（）=tan（）=
故选B．
5. 已知点在直线上，则的最小值为
A．B．C．D．
参考答案：
A
略
6. 已知，则等于（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式及二倍角公式即可计算得解．【详解】解：∵，
∴两边平方可得：，
∴即
故选：D
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式及二倍角在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
7. 是空间两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列命题正确的是
①②
③④
A. ①②
B. ①④
C. ②④
D.
③④
参考答案：
B
8. 设M=，则M的值为（）．B
参考答案：
B
9. 下列函数为偶函数且在上为增函数的是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
10. 若，则的大小关系为
A. B. C. D. 参考答案：
A
【分析】
利用作差比较法判断得解.
【详解】①，
∵，
∴，
故.
②∵，
∴，
所以a＞ab.
综上，
故选：A.
【点睛】本题主要考查作差比较法比较实数的大小，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数，则______________.
参考答案：
11
略
12. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，六个面内与BD成60°角的对角线共有________条．
参考答案：
8
【分析】
是面对角线，在正方体中，各面的对角线相等，面对角线一共有12条，分别在中和在中找到与成角的线，与这些线平行的对角线也是.
【详解】如下图：
在中,与成角的线有,,而,所以有4条；
在中,与成角的线有,而,所以有4条，
一共有8条.
【点睛】本题考查了直线与直线的所成的角.
13. 不等式的解集是 .
参考答案：
(-)()
14. 学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为_______（结果用数值表示）．
参考答案：
【分析】
基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数
m7，由此能求出选出的2人中至少有1名女同学的概率．
【详解】解：学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，
基本事件总数n10．
选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，
则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p．
故答案为：．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15. 已知数列满足葬，仿照课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5S n－4n a n＝
参考答案：
试题分析：由①
得②
①+②得：
所以
考点：数列的求和
16. 已知，若和的夹角是锐角，则的取值范围是___ _.
参考答案：
∪(0，＋∞)．
略
17. 定义运算:，对于函数和，函数在闭区间上的最大值称为与在闭区间上的“绝对差”，记为
，则=________。

参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax2＋x－a，a∈R，解不等式f(x)>1 (a∈R)．
参考答案：
19. 如图，已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），点A，B分别是f（x）的图
象与y轴、x轴的交点，C，D分别是f（x）的图象上横坐标为、的两点，CD∥x 轴，A，B，D共线．
（Ⅰ）求ω，φ的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k+sin2x在区间[，]上恰有唯一实根，求实数k的取值范围．
参考答案：
【分析】（Ⅰ）根据题意，求出B点的横坐标，线段CD中点坐标，再求出f（x）的最小正周期T，从而求出ω的值，再根据f（0）与f（）互为相反数求出φ的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式，把f（x）=k+sin2x化为k=sin（2x+）﹣sin2x=cos（2x+），设g（x）=cos（2x+），x∈[，]，画出函数g（x）在
x∈[，]上的图象，结合图形求出y=k与g（x）恰有唯一交点时实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，点A与点D关于点B对称，
∴B点的横坐标为=；
又点C与点D关于直线x==对称，
∴f（x）的最小正周期T满足=﹣=，
解得T=π，即ω==2；
又f（0）=sinφ，
f（）=sin（2×+φ）=sin（+φ）=﹣sin（+φ）=﹣sinφ，且0＜φ＜π，
∴φ=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）=sin（2x+），
∴f（x）=k+sin2x为sin（2x+）=k+sin2x，
∴k=sin（2x+）﹣sin2x=﹣sin2x+cos2x=cos（2x+），
设g（x）=cos（2x+），x∈[，]，
则2x∈[，π]，2x+∈[，]，
画出函数g（x）在x∈[，]上的图象，如图所示；
根据题意，y=k与g（x）恰有唯一交点，
∴实数k应满足﹣＜k≤或k=﹣1．
20. （本小题满分10分）
已知向量，函数
求函数的最小正周期T及值域
参考答案：
T=π
值域为[-1，1]
21. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．且．
（1）求的值；
（2）若，求△ABC的面积．
参考答案：
（1）（2）
【分析】
（1）根据正弦定理求出，然后代入所求的式子即可；
（2）由余弦定理求出ab=4，然后根据三角形的面积公式求出答案．
【详解】（1）因为，
由正弦定理，
得，
∴；
（2）∵，
由余弦定理得，
即，
所以，
解得或（舍去），
所以
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理等知识．在解三角形问题中常涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同角三角函数基本关系等问题，故应综合把握．
22. （12分）已知函数f（x）定义在区间（﹣1，1）内，对于任意的x，y∈（﹣1，1）有f
（x）+f（y）=f（），且当x＜0时，f（x）＞0．
（1）判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性，并加以证明；
（2）若f（﹣）=1，求方程f（x）+=0的解．
参考答案：
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【分析】（1）分别令x=y=0，求得f（0）=0，令y=﹣x，结合奇偶性定义即可判断；再由单调性的定义，即可得到f（x）在区间（﹣1，1）内是减函数；
（2）运用奇函数的定义，可令y=x，结合单调性，可得方程=，即可得到方程的解．
【解答】解：（1）令x=y=0，则f（0）=0，令y=﹣x，则f（x）+f（﹣x）=0，
即f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数．
任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=f （）．
﹣1＜x1＜x2＜1，可得﹣1＜x1x2＜1，则＜0，则f（）＞0，
即f（x1）＞f（x2）．则f（x）在区间（﹣1，1）内是减函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）f（x）为奇函数，则f（）=﹣1，
又2f（x）=f（x）+f（x）=f（），且f（x）+=0，
即2f（x）+1=0，2f（x）=﹣1．则f（）=f（）．
f（x）在区间（﹣1，1）内是单调函数，
可得=．
即x=2﹣或x=2+（舍）．
故方程的解为2﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用，注意运用定义法，考查推理和运算能力，属于中档题．。