【备战2019】(新课标Ⅱ版)高考数学分项汇编 专题15 选修部分(含解析)文科

专题15 选修部分
一．基础题组
1. 【2013课标全国Ⅱ，文22】(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE ＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．
(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；
(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，
由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.
而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为1 2 .
2. 【2013课标全国Ⅱ，文23】(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C：
2cos,
2sin
x t
y t
=
⎧
⎨
=
⎩
(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M
为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
3. 【2012全国新课标，文24】选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|．
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2］，求a的取值范围．
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．
4. 【2010全国新课标，文22】选修4－1：几何证明选讲
如图，已知圆上的弧，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：
(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC 2
＝BE×CD.
5. 【2010全国新课标，文23】选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线C 1：1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩ (t 为参数)，圆C 2：cos sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩ (θ为参数)．
(1)当α＝
3
π
时，求C 1与C 2的交点坐标； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线． 【解析】：(1)当α＝
3
π时，C 1的普通方程为y
x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2
＝1.
联立方程组221),
1,
y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩－解得C 1与C 2的交点为(1,0)，(12
，－2)．
(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.
A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，
故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为21sin 2
1sin cos 2
x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩－ (α为参数)．
P 点轨迹的普通方程为(x －
14)2＋y 2＝1
16. 故P 点轨迹是圆心为(14，0)，半径为1
4
的圆．
6. 【2010全国新课标，文24】选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)＝|2x －4|＋1. (1) 画出函数y ＝f(x)的图像；
(2)若不等式f(x)≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．
二．能力题组
（22）1. 【2014全国2，文22】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，P 是
O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC
的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：
（Ⅰ）BE
EC =；
（Ⅱ）22AD DE
PB ⋅=
P
P
2. 【2014全国2，文23】(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为
2cos ,[0,]2
π
ρθθ=∈.
（Ⅰ）求
C 得参数方程；
（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
3. 【2014全国2，文24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数
1
()||||(0) f x x x a a
a
=++->
（Ⅰ）证明：()2
f x≥；
（Ⅱ）若(3)5
f<，求a的取值范围.
三．拔高题组
1. 【2013课标全国Ⅱ，文24】(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
(1)ab＋bc＋ca≤1
3
；
(2)
222
a b c
b c a
++≥1.
【解析】：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤1
3
.
(2)因为
2
2
a
b a
b
+≥，
2
2
b
c b
c
+≥，
2
2
c
a c
a
+≥，
故
222
()
a b c
a b c
b c a
+++++≥2(a＋b＋c)，
即
222
a b c
b c a
++≥a＋b＋c.
所以
222
a b c
b c a
++≥1.
2. 【2012全国新课标，文22】选修4—1：几何证明选讲
如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：
(1)CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD．
(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.
由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD．
而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD．
3. 【2012全国新课标，文23】选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是
2cos
3sin
x
y
ϕ
ϕ
⎧
⎨
⎩
＝，
＝，
(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线C2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的
极坐标为(2，π
3 )．
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．。