4 DC-DC变换器的交流模型

一阶交流分量
直流项
一阶交流分量 （线性分量）
二阶交流分量 （非线性分量）
同样，忽略二阶分量，由等式两端的直流分量均为0，可得：
即得到描述变换器输入端口的小信号线性化方程。
22
4.2 基本的交流建模方法
5、小信号等效电路模型： 综合以上分析，可得Buck-Boost小信号交流模型：
下面依照平均电路模型的构造方法，构造小信号等效电路模型。
34
4.3 反激变换器的小信号建模
由电容电流、电压波形：
电容电流平均值：
因此，可得：
35
4.3 反激变换器的小信号建模
由输入端口电流波形：
输入电流平均值：
36
4.3 反激变换器的小信号建模
因此，反激变换器的平均模型：
可以看出，该模型为非线性方程。下面进行小信号扰动与线性化，由：
37
4.3 反激变换器的小信号建模
31
4.3 反激变换器的小信号建模
阶段I：
电路方程：
纹波近似： 此时，MOSFET导通、二 极管反向阻断。
32
4.3 反激变换器的小信号建模
阶段II：
电路方程：
纹波近似：
此时，MOSFET关断、二 极管正向导通。
33
4.3 反激变换器的小信号建模
由电感电压、电流波形：
电感电压平均值：
因此，可得：
同样，系统中所有低频变量都可以进行平均，方式如上式。 阶段I：
55
4.4 状态空间平均法
经过阶段I后，状态变量的净增长为：
终值
初值
时长
斜率
56
4.4 状态空间平均法
阶段II：
终值
初值
时长
斜率
结合以上2个阶段，消去x(dTs)：
整理后：
57
4.4 状态空间平均法
根据欧拉公式：
可得：
58
4.4 状态空间平均法
整理得：
直流项
一阶交流分量 （线性分量）
直流项
一阶交流分量 （线性分量）
二阶交流分量 （非线性分量）
42
4.3 反激变换器的小信号建模
直流分量：
同样，当满足小信号扰动时，二阶分量远小于一阶分量，于是有：
上式为线性化后的输入端口电流线性化方程。
43
4.3 反激变换器的小信号建模
反激变换器平均模型与小信号模型：
那么这些非线性变换器关系式就可以被线性化。
17
4.2 基本的交流建模方法
2、电感方程的线性化：
将扰动量表达式带入电感微分方程：
注意，d'(t)可以表示为：
经整理，可得： dI
直流项
一阶交流分量 （线性分量）
二阶交流分量 （非线性分量）
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4.2 基本的交流建模方法
等式左边： I为常数，因此其微分为0； 等式右边： 直流项中仅包括直流分量； 一阶交流分量中包含一个交流分量，其系数为常数，类似直 流分量，因此可以看做是交流变量的线性函数； 二阶交流分量由2个交流分量乘积而成，因此为交流变量的 非线性函数。
通过前面分析，得到Buck-Boost变换器的平均模型：
可以看出，该模型是一个非线性系统，其中的d(t)及i(t)、v(t)都是时变变量。
14
4.2 基本的交流建模方法
在静态工作点处进行线性化，构造其小信号模型：
当变换器工作与静态工作点处时：
此时，电路中的电感电流、电容电压及输入电流也处 于稳态，其平均值表示为：
3
4.1 简介
本章交流建模的特点： 使用数学描述手段来理解变换器的物理属性； 强调系统的主要特征，忽略其中次要的现象。 •忽略开关纹波：
假设占空比调制信 号为正弦波： d(t)=D+Dmcoswmt 其中D和Dm均为常 数，|Dm|<<D，调制 频率wm<<开关频率
栅极驱动
实际输出电压v(t) 忽略纹波后的 输出电压平均值<v(t)>Ts
状态变量与状态方程的一些特征： •状态空间平均法是用状态矩阵来描述线性电路并获得小信号 交流模型的规范方法，且与前述方法类似； •如果变换器的每个工作阶段都可以用状态方程来描述，那么 其小信号平均模型可以由这些方程获得； •对于一个线性系统，可以由其状态变量和独立输入组成的线 性方程来描述； •系统中的状态变量通常与能量的存储有关，因此对于变换器， 状态变量通常为电感电流和电容电压；对于其他系统，电机 转子的位置和转速也是状态变量； •时域工作点上的状态变量数值与系统的先前状态有关，和系 统当前的输入无关；因此，求解系统的状态方程时，必须已 知状态变量的初始值。
于是，可解得稳态直流值X、Y：
60
4.4 状态空间平均法
状态空间小信号模型：
下面同样采用扰动法，进行状态方程的线性化：
对于一个独立动态系统： 如果 可微，则其可以表示成Taylor级数：
保留其中前三项：
很明显，该系统是一个非线性系统：
6
4.1 简介
仅保留0次项以及1次项：
若
是一个平衡工作点
且
是在该点上发生的扰动：
小信号等效
7
4.1 简介
实例：Buck-Boost交流小信号模型：
静态 工作点
D=0.5
线性化
实际的非线性 工作特性
整理得： dV
直流项
一阶交流分量 （线性分量）
二阶交流分量 （非线性分量）
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4.3 反激变换器的小信号建模
直流分量：
同样，当满足小信号扰动时，二阶分量远小于一阶分量，于是有：
上式为线性化后的电容线性化方程。
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4.3 反激变换器的小信号建模
输入端口电流方程线性化：
由输入端口平均方程：
在静态工作点上进行扰动：
将扰动量表达式带入电容微分方程：
经整理，可得： dV 二阶交流分量 （非线性分量）
直流项
一阶交流分量 （线性分量）
同样，忽略二阶分量，由等式两端的直流分量均为0，可得：
即得到小信号线性化电容方程。
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4.2 基本的交流建模方法
4、输入电流方程的线性化：
将扰动量带入输入电流方程：
经整理，可得：
直流项
分别用I、V、Vg代替，则有：
15
4.2 基本的交流建模方法
在此工作点上，我们假定输入电压和占空比受到扰动，其值变为稳态值 与扰动量之和：
扰动量造成变换器内部电压、电流暂态过后引起相应的增量，也可表示 为稳态值与小交流变化量之和：
16
4.2 基本的交流建模方法
如果我们假设扰动量及响应都远小于其相应的静态值：
6、其他典型拓扑的小信号等效电路模型：
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4.2 基本的交流建模方法
29
4.3 反激变换器的小信号建模
对于下面的反激变换器：
假定： MOSFET中的导通电阻为Ron； 反激变压器中的激磁电感为L。
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4.3 反激变换器的小信号建模
考虑变压器等效的反激变 换器电路： 阶段I：MOSFET闭合
阶段II：MOSFET断开
下面我们给出反激变换器的等效电路模型。
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4.3 反激变换器的小信号建模
电感公式等效电路：
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4.3 反激变换器的小信号建模
电容公式等效电路：
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4.3 反激变换器的小信号建模
输入端口电流公式等效电路：
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4.3 反激变换器的小信号建模
组合以上子电路模型：
利用理想变压器等效受控电源：
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4.4 状态空间平均法
电感方程线性化：
dI
直流项
一阶交流分量（线性分量）
二阶交流分量（非线性分量）
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4.3 反激变换器的小信号建模
直流分量：
同样，当满足小信号扰动时，二阶分量远小于一阶分量，于是有：
上式为线性化后的电感线性化方程。
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4.3 反激变换器的小信号建模
电容方程线性化： 由电容平均方程：
在静态工作点上进行扰动：
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4.4 状态空间平均法
状态空间表达 实例： 对于右侧电路， 可列写： 状态向量： 系数矩阵： 输入向量： 输出向量(根据要求选择)：
列写电容相关的 节点电流方程： 列写电感相关的 回路电压方程：
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4.4 状态空间平均法
经整理，可得到其矩阵形式：
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4.4 状态空间平均法
获得输出方程：
用已知的状态变量x和输入变 量u的线性表示输出变量： 整理得到其矩阵形式：
ws
4
4.1 简介
•忽略复杂的开关频率及其谐波
正弦占空比调制后的输出电压频谱：
v(t)的 频谱 调制频率 及其谐波 开关频率 及其边频带 开关谐波
以上3个频带中，由于忽略纹波的影响，因此在本章的讨论中，仅考虑 低频信号对系统的影响，其中包括调制信号wm及其谐波。
5
4.1 简介
• 非线性小信号的线性化处理
对于输出方程：
采用同样的平均方法：
整理得：
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4.4 状态空间平均法
对于自然频率以及扰动频率、调制频率都远低于开关频率的PWM变换器， 当其处于稳态时，所有状态变量的平均值<x(t)>Ts的周期变化量均为0，因 此其在其静态工作点处：
其中，平均状态矩阵为：
稳态变量为：
稳态状态向量（直流） 稳态输入向量（直流） 稳态输出向量（直流） 稳态占空比（直流）
第4章 DC-DC变换器的交流模型
4.1 简介
4.2 基本的交流建模方法
4.3 反激变换器的小信号建模
4.4 状态空间平均法
4.5 电路的平均开关模型
4.6 统一平均模型
4.7 PWM调制器的建模 小结
1
4.1 简介
目标： 使输出v(t)恒定不 变，等于常数V。 扰动： 输入vg(t) 负载R 其他元器件参数 研究内容： 获得开关变换器 的交流模型； 获得变换器的传 递函数； 研究vg(t)、R、d(t) 等扰动对输出电 压v(t)的影响
Buck电路的DC-DC电压变换器
2
4.1 简介
电力电子系统中的主要控制目的： DC-DC变换器 稳定输出电压V； 控制占空比d(t)，使输出电压V精确的跟踪参考电压Vref的变化。 DC-AC变换器 调节交流输出电压，包括幅值、频率； 控制占空比d(t)，使输出电压v(t)精确的跟踪参考电压vref(t)的变化。 AC-DC整流器 稳定输出电压V； 调节交流输入电流波形； 控制占空比d(t)，使电流ig(t)精确的跟踪参考电流iref(t)的变化、输出电 压V精确的跟踪参考电压Vref的变化。
49
4.4 状态空间平均法
状态方程的标准形式：
其中，状态量x(t)包括电感电流和 电容电压等； 输入向量u(t)为独立电源，如vg(t)； 输出向量y(t)包括其他需要的数值， 如ig(t)等；
矩阵K主要由电感、电容的量值和互感值决定，可以看出Kdx(t)/dt实际应该 是电感电压和电容电流值，这些值与系统的输入及状态变量值呈线性关系， A、B、C、E是其比例常数。
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4.2 基本的交流建模方法
由电感回路方程：
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4.2 基本的交流建模方法
由电容节点方程：
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4.2 基本的交流建模方法
由输入端口方程：
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4.2 基本的交流建模方法
整理以上3个方程及电路：
用理想直流变压器代替其中的独立电源：
Buck-Boost电路的交流小信号等效电路模型
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4.2 基本的交流建模方法
Buck-Boost 控制－输出特性
Buck-Boost交流等效电路模型
8
4.2 基本的交流建模方法
1、以Buck-Boost变换器为例，首先求得其平均模型：
开关分别位于位置1和2
电感电压电容电 流表达式：
纹波近似，仅考虑 变量的低频部分
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4.2 基本的交流建模方法
由电感电压波形：
可知：
变换器稳态工作时， 由伏秒平衡可知其平 均电感电压为0；但 在暂态或系统交变状 态下，电感电压的平 均值通常不为0，这 将引起电感电流存在 周期净增长，其增长 斜率为<vL(t)>Ts/L。
实际电流波形 平均电流波形
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4.2 基本的交流建模方法
下面将分析电感电流的周期内净增长：
（终值）=（初始值）＋（增长时长）× （平均斜率）
（终值）=（初始值）＋（增长时长）× （平均斜率） 约去i(dTs) 可得：
结果与上页图形分析相同。
11
4.2 基本的交流建模方法
同理，由电容电流波形：
可得电容电 流平均值ຫໍສະໝຸດ 合并后：194.2 基本的交流建模方法
假定：
二阶交流分量幅值将远远小于一阶交流分 量，例如： 当 因此忽略二次交流分量。同时，等式两边的 直流分量均为0（伏秒平衡）。
于是可得： 由于其中交流小信号的系数D、D‘、Vg、V均为常数，因此该式实际是 一个线性方程。
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4.2 基本的交流建模方法
3、电容方程的线性化：
右图为电容 电压变化曲 线：
12
4.2 基本的交流建模方法
对于Buck-Boost电路，输入端口为脉冲电流，对于第3章平均模型需要 需要增加一个输入端口描述，对于本章的交流模型同样需要：
Buck-Boost变换器输入电流可表示为： (0~dTs) (dTs~Ts)
因此有：
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4.2 基本的交流建模方法
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4.4 状态空间平均法
基本的状态空间平均模型：
对于给定的一个PWM变换器，如果其工作于CCM模式，且可以将其分 为2个阶段来分析，那么每个阶段都可以看做是一个线性电路，可以分 别以线性定常状态方程来描述： 阶段I：
阶段II：
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4.4 状态空间平均法
与上一章类似，我们定义状态变量的平均值为：