(江苏专用)2022届高三数学二轮总复习 训练20 矩阵与变换 理

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常考问题20 矩阵与变换
1.求使等式⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2 43 5=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 00 -1成立的矩阵M . 解 设M =⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
m
n p q ,则⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2 43
5=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2
00 1M ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00 -1 =⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2m -2n p -q ,则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m =2,-2n =4,p =3,-q =5⇒⎩⎪⎨⎪⎧
m =1,
n =-2,p =3,q =-5,
即M =⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1 -23 -5.
2.(2011·江苏卷)已知矩阵A =⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
1 12
1,向量β=⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12.求向量α,使得A 2
α=β. 解 A 2
=⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1
12
1⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1 1
2 1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3
24 3,设α=⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ,由A 2
α=β得,⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24
3⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y =⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12,从而⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x +2y =14x +3y =2,解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x =-1,
y =2.所以α=⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
-1 2.
3.(2013·南京,盐城模拟)已知矩阵M =⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2
13
4.
(1)求矩阵M 的逆矩阵;
(2)求矩阵M 的特征值及特征向量. 解 (1)设M -1
=⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
a b c
d . 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 4=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a +3b a +4b 2c +3d c +4d =⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00
1,
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2a +3b =1,2c +3d =0,a +4b =0,c +4d =1,
解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧
a =4
5

b =-1
5
,c =-3
5
,d =25,
∴M
-1
=⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤45 -15-35 25.
(2)矩阵A 的特征多项式为f (x )=⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
λ-2 -1 -3 λ-4=(λ-2)·(λ-4)-3=
λ2-6λ+5,令f (λ)=0,
得矩阵M
的特征值为1或5,当λ=1时,由二元一次方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
-x -y =0,
-3x -3y =0,得x +y
=0,令x =1,则y =-1,所以特征值λ=1对应的特征向量为α1=⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1-1;当λ=5
时,由二元一次方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x -y =0,
-3x +y =0,得3x -y =0,令x =1,则y =3,所以特征值λ
=5对应的特征向量为α2=⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
13.
4.已知矩阵A =⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ 1 a -1 b ,A 的一个特征值λ=2,其对应的特征向量是α1=⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
21.设向量
β=⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
74,试计算A 5β的值.
解 由题设条件可得,⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a -1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21=2⎣⎢⎡⎦⎥⎤
21,即⎩
⎪⎨
⎪⎧
2+a =4,-2+b =2,解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a =2,
b =4,得矩阵
A =⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 2-1 4. 矩阵A 的特征多项式为f (λ)=⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ-1 -2 1 λ-4=λ2
-5λ+6,令f (λ)=0,解得
λ1=2,λ2=3.
当λ1=2时,得α1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤21;当λ2=3时,得α2=⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11,
由β=m α1+n α2,得⎩
⎪⎨
⎪⎧
2m +n =7,
m +n =4,得m =3,n =1,
∴A 5
β=A 5
(3α1+α2)=3(A 5
α1)+A 5
α2=3(λ5
1α1)+λ5
2α2
=3×25
⎣⎢⎡⎦⎥⎤21+35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11=⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
435339
5.(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (0,0),B (-2,0),C (-2,1).设k
为非零实数,矩阵M =⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
k
00 1,N =⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0 11
0,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分
别为A 1、B 1、C 1,△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍,求k 的值.
解 由题设得,MN =⎣⎢
⎡⎦⎥⎤k
00
1⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0 11 0=⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0 k 1
0,
由⎣⎢
⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 -2 -20 0 1=⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0 0 k 0 -2 -2,可知A 1(0,0)、B 1(0,-2)、C 1(k ,-2).计算得△ABC 的面积是1,△A 1B 1C 1的面积是|k |,则由题设知: |k |=2×1=2. 所以k 的值为2或-2.
6.设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸压变换.
(1)求矩阵M 的特征值及相应的特征向量;
(2)求逆矩阵M -1
以及椭圆x 24+y 2
9
=1在M -1
的作用下的新曲线的方程.
解 由题意M =⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2
00
3,
(1)由|M -λE |=0得,λ1=2,λ2=3,
当λ1=2,⎩⎪⎨
⎪⎧ 2-2
x =0,
3y =0,
∴y =0,取x =1;
当λ2=3,⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x =0,
3-3y =0,
∴x =0,取y =1.
所以,特征值为2和3,特征值2对应的特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤10,特征值3对应的特征向量⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
01.
(2)由逆矩阵公式得:M
-1

⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1
2 00 13, 设P (x 0,y 0)是椭圆x 24+y 2
9
=1上任意一点P 在M
-1
下对应P ′(x ,y ),则⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12 00 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0
=⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y , ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0=2x ,y 0=3y ,
所以,椭圆x 24+y 2
9
=1在M -1
的作用下的新曲线的方程为
x 2+y 2=1.。

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