（江苏专用）2022届高三数学二轮总复习 训练20 矩阵与变换 理

常考问题20 矩阵与变换
1．求使等式⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2 43 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 00 －1成立的矩阵M . 解 设M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
m
n p q ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2 43
5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2
00 1M ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00 －1 ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2m －2n p －q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝2，－2n ＝4，p ＝3，－q ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝1，
n ＝－2，p ＝3，q ＝－5，
即M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1 －23 －5.
2．(2011·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
1 12
1，向量β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12.求向量α，使得A 2
α＝β. 解 A 2
＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1
12
1⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1 1
2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3
24 3，设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，由A 2
α＝β得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24
3⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，从而⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x ＋2y ＝14x ＋3y ＝2，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，
y ＝2.所以α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－1 2.
3．(2013·南京，盐城模拟)已知矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2
13
4.
(1)求矩阵M 的逆矩阵；
(2)求矩阵M 的特征值及特征向量． 解 (1)设M －1
＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
a b c
d . 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋3b a ＋4b 2c ＋3d c ＋4d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00
1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＋3b ＝1，2c ＋3d ＝0，a ＋4b ＝0，c ＋4d ＝1，
解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧
a ＝4
5
，
b ＝－1
5
，c ＝－3
5
，d ＝25，
∴M
－1
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤45 －15－35 25.
(2)矩阵A 的特征多项式为f (x )＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
λ－2 －1 －3 λ－4＝(λ－2)·(λ－4)－3＝
λ2－6λ＋5，令f (λ)＝0，
得矩阵M
的特征值为1或5，当λ＝1时，由二元一次方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x －y ＝0，
－3x －3y ＝0，得x ＋y
＝0，令x ＝1，则y ＝－1，所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－1；当λ＝5
时，由二元一次方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x －y ＝0，
－3x ＋y ＝0，得3x －y ＝0，令x ＝1，则y ＝3，所以特征值λ
＝5对应的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
13.
4．已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
21.设向量
β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
74，试计算A 5β的值．
解 由题设条件可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤
21，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝4，得矩阵
A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 2－1 4. 矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2
－5λ＋6，令f (λ)＝0，解得
λ1＝2，λ2＝3.
当λ1＝2时，得α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11，
由β＝m α1＋n α2，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
2m ＋n ＝7，
m ＋n ＝4，得m ＝3，n ＝1，
∴A 5
β＝A 5
(3α1＋α2)＝3(A 5
α1)＋A 5
α2＝3(λ5
1α1)＋λ5
2α2
＝3×25
⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
435339
5．(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)．设k
为非零实数，矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
k
00 1，N ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0 11
0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分
别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．
解 由题设得，MN ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤k
00
1⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0 11 0＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0 k 1
0，
由⎣⎢
⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －2 －20 0 1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0 0 k 0 －2 －2，可知A 1(0,0)、B 1(0，－2)、C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知： |k |＝2×1＝2. 所以k 的值为2或－2.
6．设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
(1)求矩阵M 的特征值及相应的特征向量；
(2)求逆矩阵M －1
以及椭圆x 24＋y 2
9
＝1在M －1
的作用下的新曲线的方程．
解 由题意M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2
00
3，
(1)由|M －λE |＝0得，λ1＝2，λ2＝3，
当λ1＝2，⎩⎪⎨
⎪⎧ 2－2
x ＝0，
3y ＝0，
∴y ＝0，取x ＝1；
当λ2＝3，⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＝0，
3－3y ＝0，
∴x ＝0，取y ＝1.
所以，特征值为2和3，特征值2对应的特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，特征值3对应的特征向量⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
01.
(2)由逆矩阵公式得：M
－1
＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1
2 00 13， 设P (x 0，y 0)是椭圆x 24＋y 2
9
＝1上任意一点P 在M
－1
下对应P ′(x ，y )，则⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12 00 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x ，y 0＝3y ，
所以，椭圆x 24＋y 2
9
＝1在M －1
的作用下的新曲线的方程为
x 2＋y 2＝1.。