微积分定积分在几何中应用

(二)定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用 (1)求平面图形的面积求平面图形的面积
由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a ，x=b 和轴所围成的图形的面积的代数和。

由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。

例如：求曲线2
f x =和直线x=l ，x=2及x 轴所围成的图形的面积。

轴所围成的图形的面积。

分析：由定积分的定义和几何意义可知，由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。

和直线，及轴所围成的图形的面积。

所以该曲边梯形的面积为所以该曲边梯形的面积为
2
233222
112173333
x f x dx ===-=ò (2)求旋转体的体积求旋转体的体积
(I)由连续曲线y=f(x)与直线x=a 、x=b(a<b) 及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()()b a
V f x d x p
=ò。

(Ⅱ)由连续曲线y=g(y)与直线y=c 、y=d(c<d)及y 轴围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()()d
c
V g y d y p =ò。

(III)由连续曲线y=f(x)( ()0f x ³)与直线x=a 、x=b(0a £ <b)及y 轴围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()()b
a
V xf x d x p =ò。

例如：例如：求椭圆求椭圆22
221x y a b +=所围成的图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周而成的旋
转体的体积。

转体的体积。

分析：椭圆绕x 轴旋转时，旋转体可以看作是上半椭圆22()b y a x a x a a
=--££，与x 轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，因此椭圆因此椭圆2
2
221x y a b
+=所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为轴旋转一周而成的旋转体的体积为 2
2
2
2
222
2
2
32
2()()1
4
()33a
a
y a
a
a
a b b v a x dx a x dx
a
a b
a x x ab
a p
p p p --
-=-=-=-=òò
椭圆绕y 轴旋转时，旋转体可以看作是右半椭圆22,()a x b y b y b b
=
--££，与y
轴所围成的图形绕y 轴旋转一周而成的，因此椭圆22
221x y a b
+=所围成的图形绕y 轴旋转
一周而成的旋转体的体积为一周而成的旋转体的体积为
2
222
22
2
2
2322()()
14()33
b
b
y b b
b b a a v b y dy b y dy b b a b y y a b
b p p p p ---=-=-=-=òò
(3)求平面曲线的弧长求平面曲线的弧长
(I)、设曲线弧由参数方程、设曲线弧由参数方程 ()
{()()x t t y t j a b f =££=
给出其中'
'
(),()t t j f 在[,]a b 上连续，则该曲线弧的长度为
'2'2
[()][()]()s t t d x
b
a
j f =
+ò。

(Ⅲ)设曲线弧的极坐标方程为()()r r q a q b =££，其中'
()r q 在[,]a b 上连续，则该曲线弧的长度为2'2
()[()]()s r r d b
a
q q q =+ò。

例如：求曲线2
1
ln 42
x y x =-从x=l 到x=e 之间一段曲线的弧长。

之间一段曲线的弧长。

解：
'
1
2
2x y x =
-
，于是弧长微元为
'2
1ds y
=+，
2
1
111()()222
x
dx dx x dx x x =+-=+。

所以，所求弧长为：221
1
1
1
11
()(ln )(1)2224
e
e x s x dx x e x =+=+=+ò。

一、在几何中的应用一、在几何中的应用
(一)微分学在几何中的应用微分学在几何中的应用 (1)求曲线切线的斜率求曲线切线的斜率
由导数的几何意义可知，曲线y=( y=( x)
x)在点0x 处的切线等于过该点切线的斜率。

即'0()tan f x a =，由此可以求出曲线的切线方程和法线方程。

例如：求曲线2
y x =在点(1，1)处的切线方程和法线方程。

处的切线方程和法线方程。

分析：由导数的几何意义知，所求切线的斜率为： '
1
1
22x x k y x =====，所以，所求切线的方程为y-l=2(x 一1)，化解得切线方程为
2x-y-1=0。

又因为法线的斜率为切线斜率的负倒数，所以，所求法线方程为
1
1(1)2
y x -=--，化解得法线方程为2y+x-3=0。

(2)求函数值增量的近似值求函数值增量的近似值 由微分的定义可知，函数的微分是函数值增量的近似值，所以通过求函数的微分可求出函数值增量的近似值。

函数值增量的近似值。

例如：计算sin 46o
的近似值。

的近似值。

分析：令f(x)=sin(x)，则f(x)=cosx ，取0045x =，0
1,(1)180
x p
D +=
，则由微分的定
义可知000'0
22sin 46sin(451)sin 45(45)
0.7194180
22180
f p
p
=+»+=
+
·
»。