第八讲(DFT2)

3.5 快速傅里叶变换（FFT）
结论：FFT的基本思想是把原始序列依次分解为一系列短 序列，充分利用DFT变换核的特点，求出短序列的DFT，再 进行组合，从而达到删除重复计算，减少乘法运算次数， 提高运算速度的目的。 3 FFT算法的基本形式 FFT算法主要分为时间抽取法（Decimation In Time， DIT-FFT）和频率抽取法（Decimation In Frequency， DIF-FFT），按照抽取长度又分为基2，基4等算法）
2 FFT算法的基本思想 1）长序列分成短序列 如N点DFT分解成2个N/2点DFT之和，则复乘次数近似 为2*（N/2）*（N/2）， 为原来的一半。
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3.5 快速傅里叶变换（FFT）
2）利用傅里叶变换核的特点
kn WN e j 2 kn N 称为离散傅里叶变换核（Fourier
N 1 n 0 2 kn N N 1 n 0
X (k ) x(n)e
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j
kn x(n)WN
可见，每一个谱点须进行N次复数乘和（N-1）次 复数加。N个谱点须进行N*N次复乘和N(N-1)次复加
3.5 快速傅里叶变换（FFT）
而且每一次复乘又包含4次实乘和2次实加，一次复加 包含两次实加，所以N点DFT须进行4N*N次实乘和 2*N*N+2N（N-1）次实加。当N较大时，对计算机资源的 占用时非常大的。
a2 a6 a1 a5 a3 a7
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X12(0) X12 (1)
X 21 (0)
X 21 (1)
W 41
X1 (3)
X(3)
X 2 (0)
W80
1
X (4)
W40
X 2 (1) W 8
X (5)
X (6)
X22 (0)
X 22 (1)
X2 (2) W82
W 41
X2 (3)
W83
X (7)
N ) 2
N X 2 (k ) X 2 (k ) 2
所以：
k X (k ) X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0, N / 2 1 N k X ( k ) X ( k ) W k 0, N / 2 1 1 N X 2 (k ) 2
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3.4 DFT的应用
叠加时， yk (n) 的后N-1个值与 yk 1 (n) 的前N-1个值重叠，
最后一段的后N-1个值舍弃。 例： x(n) n 1,0 n 9 求线性卷积。
x1 (n) {1, 2,3, 4, 0, 0} x2 (n) {5, 6, 7,8, 0, 0} x (n) {9,10, 0, 0, 0, 0} 3
h(n) 1,0, 1
h(n) {1, 0, 1, 0, 0, 0}
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3.4 DFT的应用
2 利用DFT分析连续信号的频谱 连续信号的频谱公式为：
X a ( j) xa (t )e jt dt

X a ( jf ) xa (t )e j 2 ft dt （CTFT） 设连续信号 xa (t ) 持续时间为 t p （其他时间为零） 最高频率为 fc 为便于计算机处理，对信号进行等间隔
fs
采样点数为N（满足
频域采样定理）。各量的关系为：
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3.4 DFT的应用
频域采样间隔：
F fs 1 1 N NT t p
这时有：
X ( jkF ) xa (nT )e
n 0 N 1 j 2 kFnT
T T xa (nT )e
n 0
N 1
j
2 kn N
T DFT [ x(n)]
(TF
1 ) N
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可见，连续信号的频谱的采样值，可用DFT来近似。这 是DFT的最重要的作用。
3.4 DFT的应用
3 存持续时间有限，则频率无限，不能满足 时域采样定理，从而在频域产生混叠，为此，在采样之 前，一般先加一级抗混叠滤波器，以滤出高频部分。 另外，为使DFT更接近连续信号的频谱，频域采样间隔 F（又称频率分辨率）应该越小越好，由于：

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采样，采样周期T，采样长度为N，则有： 1 tp fs 2 fc N T T
3.4 DFT的应用
对频谱用采样点作零阶近似，得：
X ( jf ) xa (nT )e j 2 fnT T
n 0
N 1
显然，此时频谱产生了周期延拓，周期为 f s 同样，为便于计算机处理，对上面的连续频谱进行采样。 采样在一个周期进行，即 0
300
350
400
450
500
60
40
20
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
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作业：
圆周移位和圆周卷积matlab实现
编写M-函数 Cirshift(x,M) Circonv(x1,x2)
M=6; A=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9] B=cirshift(A,M)
Kernel）
其特点是：
k k N 周期性： WN WN
kn ( k lN )( n rN ) WN WN
r 1 可约性： WN =WN/r
对称性： WN
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k
N 2
W
k N
kn * kn ( N n) k ( N k ) n (WN ) WN WN WN
即只需计算一半点值，即可得到全部的谱点。
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3.5 快速傅里叶变换（FFT）
序列抽取过程（N=8）：
x ( n)
[a0 , a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 ]
x1 (n)
x2 (n)
[a0 , a2 , a4 , a6 ]
x11 (n)
[a1 , a3 , a5 , a7 ]
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并完成：
• • • • • • • 1 计算序列x=[1 1 1 1 1]的DFT 2 计算圆周卷积 A=[1 3 5 7 9 ] B=[2 2 0 1 1] 的圆周卷积，并验证其DFT的性质 3 利用圆周卷积计算线性卷积 A b 同上
• 以上结果用stem命令显示
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相关命令
1 计算DFT fft（x),或fft（x，l） 例： T=0:0.001:0.1; X=cos(2*pi*50*t)+cos(2*pi*10*t) Y=fft(x) Y1=fft(x,1024)
Fft1.m
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相关命令
N=101 60
40
20
0
0
50
100
150
200
250 N=1024
3.4 DFT的应用
1 利用DFT计算线性卷积 设序列h（n）x（n）的长度分别为N、M，则其圆周卷积为：
yc (n) h(n) x(n) h(m) x((n m)) L RL (n)
L 1 m0
线性卷积为： y(n) h(n) x(n) h(m) x(n m) 由于 x((n m)) L 所以：
yc (n)
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L 1
N 1
r
x(n m rL)
L 1 L r m 0 L

m0
r m0
h(m) x(n m rL)R (n) h(m) x[(n rL) m]R (n)
3.4 DFT的应用
N 1 2
N 1 2
长度为N/2 的序列， N要保证 能被2整 除
X (k ) X1 (k ) W X 2 (k )
k N
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长序列DFT可有两段短序列 DFT之和来表示！
3.5 快速傅里叶变换（FFT）
又因为：
WN
k
N 2
k WN
X 1 (k ) X 1 (k
3.4 DFT的应用
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3.4 DFT的应用
泄露同时也会造成混叠，因为频谱扩展了，容易超过折叠 频率。 减少泄露的方法之一是增加窗的宽度，增加数据量。 或者不加矩形窗，而采用缓变窗（三角窗等）使窗 普的旁瓣减小。
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3.5 快速傅里叶变换（FFT）
DFT虽然解决了利用计算机进行信号与系统地分析问题， 但直接计算DFT，计算量非常大，不能满足实时性要求， 为此，必须寻找DFT的快速算法，这就是FFT。 1 直接计算DFT的计算量 N点DFT的计算公式为：
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3.5 快速傅里叶变换（FFT）
把N点序列分解为：
N N1 N2
若： N1 N2
Nr
Nr 2 称为以2为基底的FFT，基2FFT。
N1 N2
Nr 4 称为基4FFT。
基2 DIT-FFT简介：
N点x(n)分解为：
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x1 (n) x(2n) x2 (n) x(2n 1)
yc (n)
r m 0
h(m) x(n m rL)R (n) y(n rL)R (n)
L r L

L 1

即圆周卷积是线性卷积以L为周期的周期延拓序列的 主值序列。线性卷积长度为N+M-1，所以L必须大于或 等于N+M-1，才能避免混叠。 当序列较长时，为减少运算量，应进行分段线性卷积。 其方法如下： 设h（n）长度为N，x(n)为3M，则可将x(n)分成3段，每 段长M，分别计算它们的线性卷积，然后进行叠加。
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3.4 DFT的应用
fs 1 F N tp
可见，信号长度越长，频率分辨力越高。 2）泄露现象 实际应用中，原始序列较长，不便于处理，一般要将其 限制在一定的时间间隔之内，这相当于用矩形窗与原始 信号相乘。在频域则是原始信号频谱与窗函数频谱的卷 积，结果造成原始频谱的扩散，产生所谓泄露现象。 2014-10-27
x21 (n)
[a1 , a5 ]
[a0 , a4 ]
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x12 (n) [a2 , a6 ]
[a3 , a7 ]
x22 (n)
3.5 快速傅里叶变换（FFT）
FFT计算过程
a0
X 11 (0)
X 11 (1)
X 1 (0)
X (0)
X (1)
X (2)
a4
W40
X1(1)
X 1 (2)
n 0, N / 2 1 n 0, N / 2 1
3.5 快速傅里叶变换（FFT）
kn X (k ) x(n)WN n 0
N 1 2 N 1 2
N 1
k 2m k (2 m 1) x(2m)WN x(2m 1)WN m 0 m0
km k km x1 (m)WN W x ( m ) W /2 N 2 N /2 m0 m0