(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测(答案解析)(4)

一、选择题
1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则
A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种
B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种
C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种
D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种
2．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )
从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则
a 的值为( )
A ．100820182⨯
B ．100920182⨯
C ．100820202⨯
D ．100920202⨯
3．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1
c a
+（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2 D ．至少有一个大于2
4．设k 1111
S k 1k 2k 32k
=+++⋯++++,则1k S +=( ) A ．()k 1
S 2k 1++
B ．()k 11
S 2k 12k 1++++ C ．()
k 11
S 2k 12k 1+
-++ D ．()k 11
S 2k 12k 1
+
-++
5．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，
'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．全不正确
6．已知n 为正整数用数学归纳法证明2()135(21)f n n n =+++
+-=时，假设
*(n k k N =∈）
时命题为真，即2()f k k =成立，则当1n k =+时，需要用到的(1)f k +与()f k 之间的关系式是( )
A ．(1)()23f k f k k +=+-
B ．(1)()21f k f k k +=+-
C ．(1)()21f k f k k +=++
D ．(1)()23f k f k k +=++
7．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3
=63
2
n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应
的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3
C ．（k+1）3
D ．63
(1)(1)2
k k +++
8．数列0，75-，135，6317
-，…的一个通项公式是( ) A ．()31
2
111n n n +--+ B ．()321
11
n
n n --+
C ．()
31
2
1
11
n n n ---- D ．()321
11
n
n n ---
9．我们把顶角为
的等腰三角形称为黄金三角形．．．．．．其作法如下：①作一个正方形；②以的中点为圆心，以长为半径作圆，交延长线于；③以为圆心，以长为半径作
D ；④以
为圆心，以长为半径作
A 交D 于
，则
为黄金三角形．根据上述作法，可以求出
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩
11．用数学归纳法证明“111
123
21
n
+
+++
- ”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（ ）
A ．12k -
B ．21k -
C ．2k
D ．21k +
12．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”，四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是（ ） A ．丁
B ．乙
C ．丙
D ．甲
二、填空题
13．已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2，第二行为4，6，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20，…，如图所示，在该数表中位于第i 行、第
j 行的数记为ij a ，如3,210=a ，5,424=a .若2018ij a =，则i j +=__________．
14．类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a 的正四面体的内切球半径为__________． 15．观察下列等式：
请你归纳出一般性结论______.
16．甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话.甲说：是乙做的.乙说：不是我做的.丙说：不是我做的.则做好事的是__________．（填甲、乙、丙中的一个）
17．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，……循环分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第100个括号内的数为_________．
18．在平面几何中，正三角形ABC 的内切圆半径为1r ，外接圆半径为2r ，则
121
2
r r =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球半径为1R ，外接球半径为
2R ，则
1
2
R R =__________． 19．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则
121
4
S S =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则
1
2
V V =____. 20．观察下列等式：
……
据此规律，第个等式可为____________________________________．
三、解答题
21．已知函数2
()1
f x x =
-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24
25()
n n S n n f a +
=+． （1）求1234,,,a a a a 的值；
（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 22．给出下列等式: 1=1, 1-4=-(1+2), 1-4+9=1+2+3, 1-4+9-16=-(1+2+3+4), ……
(1)写出第5个和第6个等式,并猜想第n(n ∈N *)个等式; (2)用数学归纳法证明你猜想的等式. 23．在数列{}n a 中，11
2a =
，133n n n
a a a +=+，求2a 、3a 、4a 的值，由此猜想数列{}n a 的
通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
24．已知数列{}n a 满足()
*12n n n a a n n +⋅=∈+N ，11
a =2
. （I ）求2a ，3a ，4a 的值；
（Ⅱ）归纳猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 25．已知数列{}n a 中，11a =，()122n
n n
a a n N a ++=
∈+ (1)求2a ，3a ，4a 的值，猜想数列{}n a 的通项公式；
(2)运用(1)中的猜想，写出用三段论证明数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列时的大前提、小前提和结
论．
26．设数列{}n a 满足关系式：12a p ，2
1
2n
n p a p a （p 是常数）．
(1)求234,,a a a ；
(2)猜想{}n a 的通项公式，并证明．
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解． 【详解】
（1）A→D 调5辆，D→C 调1辆，B→C 调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次， （2）A→D 调4辆，A→B 调1辆，B→C 调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次， 故选D
【点睛】
本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】
解：第一行第一个数为：0112=⨯； 第二行第一个数为：1422=⨯； 第三行第一个数为：21232=⨯； 第四行第一个数为：33242=⨯；
，
第n 行第一个数为：1
n 2n n a -=⨯；
一共有1010行，
∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯； 故选C ． 【点睛】
本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
3．D
解析：D 【解析】
分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案. 详解:因为111
6a b c b c a
+++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315
,,2,343
a b a b ==+=<所以B 错误. 若111
,,,222
a b c <
<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.
4．C
解析：C 【解析】
分析：由题意将k 替换为1k +，然后和k S 比较即可. 详解：由题意将k 替换为1k +，据此可得：
()()()()
1111
1
111213
21k S k k k k +=
+++
+
+++++++
()
1111
23421k k k k =++++++++
()111111234
22121k k k k k k =++++
+++++++ ()111111111234221211k k k k k k k k =+++++++-+++++++ ()
11111111234
22121k k k k k k k =
+++++
+-++++++ ()
11
2121k S k k =+
-++. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查数学归纳法中由k 到k +1的计算方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．A
解析：A 【解析】
分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．根据三段论进行判断即可得到结论.
详解：演绎推理““因为()0'0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数()3
f x x =，
()'00f =，所以0是函数()3f x x =的极值点.”中，
大前提：()0'0f x =时，f x '（）在0x 两侧的符号如果不相反，则0x 不是()
f x 的极值点，故错误，
故导致错误的原因是：大前提错误， 故选：A ．
点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题
6．C
解析：C 【解析】
分析：先根据条件确定()1f k +式子，再与()f k 相减得结果. 详解：因为()()13521f n n =+++
+-，所以()()13521f k k =++++-
()()()11352121f k k k +=+++
+-++，所以()()121f k f k k +-=+,
选C.
点睛：本题考查数学归纳法，考查数列递推关系.
7．B
解析：B 【解析】
分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

详解：当n k = 时，等式左边3123....k =+++
当1n k =+时，等式左边33333123....(1)(2)(3)...(1)k k k k k =+++++++++ 所以增加的项为3333(1)(2)(3)...(1)k k k k +++++ 所以选B
点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当项数变化时分析出增加的项，属于简单题。

8．A
解析：A 【解析】
在四个选项中代n=2,选项B,D 是正数，不符，A 选项值为75
-，符合,C 选项值为7
3-，不
符．所以选A. 【点睛】
对于选择题的选项是关于n 的关系式，可以考虑通过赋特殊值检验法，来减少运算，或排除选项．
9．B
解析：B 【分析】
不妨假设2AD =，则1DG =，故1
cos364
︒=. 故选B.
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案 【详解】
解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）
→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩
→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，
给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲
不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了
故选：D．
【点睛】
本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．
11．C
解析：C
【解析】
左边的特点：分母逐渐增加1，末项为
1
21
n-
；
由n=k，末项为
1
21
k-到n=k+1，末项为1
11
21212
k k k
+
=
--+
，
∴应增加的项数为2k．
故选C．
12．D
解析：D
【分析】
利用反证法，可推导出丁说的是真话，甲乙丙三人说的均为假话，进而得到答案.
【详解】
假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故甲说的是谎话；
假定乙说的是真话，则丁说：“反正我没有责任”也为真话，
这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，
故假设不成立，故乙说的是谎话；
假定丙说的是真话，由①知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故丙说的是谎话；
综上可得：丁说是真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，故甲负主要责任，故答案为甲
【点睛】
本题主要考查了命题真假的判断，以实际问题为背景考查了逻辑推理，属于中档题.解题时正确使用反证法是解决问题的关键.
二、填空题
13．72【解析】分析：先求出2018排在第几行再找出它在这一行的第几列即得的值详解：第1行有1个偶数第2行有2个偶数第n行有n个偶数则前n行共有个偶数2018在从2开始的偶数中排在第1009位所以当n=
解析：72
【解析】
分析：先求出2018排在第几行，再找出它在这一行的第几列，即得i j +的值. 详解：第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，
，第n 行有n 个偶数，则前n 行共有
(1)
1+2+3+
+2
n n n +=
个偶数，2018在从2开始的偶数中排在第1009位， 所以
(1)
1009,45.2
n n n +≥∴≥ 当n=44时，第44个偶数为44(441)
219802
+⨯=，所以第44行结束时最右边的偶数为1980,
由题得2018排在第45行的第27位，所以i j +=45+27=72. 故答案为72.
点睛：(1)本题主要考查归纳推理和等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是通过解不等式
(1)
10092
n n +≥找到2018所在的行. 14．【解析】分析：先根据类比将正四面体分割成四个小三棱锥再根据体积关系求内切球半径详解：设正四面体的内切球半径为各面面积为所以点睛：等积法的前提是几何图形(或几何体)
的面积(或体积)通过已知条件可以得到 解析：
12
a 【解析】
分析：先根据类比将正四面体分割成四个小三棱锥，再根据体积关系求内切球半径. 详解：设正四面体的内切球半径为r ，各面面积为S ,
所以1
14334
h
h S r S r ⨯⨯=⨯⨯⨯∴===. 点睛：等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高或内切球的半径，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
15．【解析】分析：根据题意观察各式可得其规律用将规律表示出来即可（且为正整数）详解：根据题意观察各式可得：第①式中；②式中第③式中；…规律可表示为：即答案为点睛：本题要求学生通过观察分析归纳并发现其中的 解析：222222(7)(74)(75)(71)(72)(76)k k k k k k ++++=+++++k z ∈
【解析】
分析：根据题意，观察各式可得其规律，用k 将规律表示出来即可．（2k ≥，且k 为正整数）
详解：根据题意，观察各式可得：
第①式中，1k =-； ②式中，0k = 第③式中，1k =；…
规律可表示为：()()()()()()222222
77475717276k k k k k k ++++=+++++ k z ∈ 即答案为()()()()()()2
2
2
2
2
2
77475717276k k k k k k ++++=+++++ k z ∈. 点睛：本题要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
16．丙【解析】假如甲说的是对的则乙说了假话丙说的是真话与条件不符；假如乙说的是真话则甲说的是假话丙说的也是假话符合条件；假如丙说的是真话则甲乙二人中必有一人说的是真话与条件不符所以乙说的是真话是丙做的好
解析：丙. 【解析】
假如甲说的是对的，则乙说了假话，丙说的是真话，与条件不符；假如乙说的是真话，则甲说的是假话，丙说的也是假话，符合条件；假如丙说的是真话，则甲乙二人中必有一人说的是真话，与条件不符，所以乙说的是真话，是丙做的好事. 故答案为丙.
17．392【解析】由题意可得将三个括号作为一组则由第50个括号应为第17组的第二个括号即50个括号中应有两个数因为每组中有6个数所以第48个括号的最后一个数为数列的第项第50个括号的第一个数为数列的第项
解析：392 【解析】
由题意可得，将三个括号作为一组，则由501632=⨯+，第50个括号应为第17组的第二个括号，即50个括号中应有两个数，因为每组中有6个数，所以第48个括号的最后一个数为数列{}21n -的第16696⨯=项，第50个括号的第一个数为数列{}21n -的第
166298⨯+=项，即2981195⨯-=，第二个数是2991197⨯-=，所以第50个括号内
各数之和为195197392+=
18．【解析】从平面图形类比空间图形从二维类比三维可得出如下结论：正四面体的外接球和内切球半径之经是3：1所以填
解析：
13
【解析】
从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得出如下结论：正四面体的外接球和内切球半径之经是3：1.所以填
13。

19．【解析】设正四面体的棱长为高为四个面的面积为内切球半径为外接球半径为则由得；由相似三角形的性质可求得所以考点：类比推理几何体的体积
解析：
127
【解析】
设正四面体ABCD 的棱长为a ，高为h ，四个面的面积为S ，内切球半径为r ，外接球半径为R ，则由11
43
3Sr Sh ⨯=
，得116644312
r h a a ==⨯=； 由相似三角形的性质，可求得64R a
=，所以12
V V =3311()().327r R == 考点：类比推理，几何体的体积.
20．【解析】试题分析：根据归纳推理观察所得等号左边第行有个数字加减等号有边第行有个数字相加并且是后个所以猜想第个等式是考点：归纳推理 解析：
【解析】
试题分析：根据归纳推理，观察所得，等号左边，第行有
个数字加减，等号有边，第
行有个数字相加，并且是后个，所以，猜想第个等式是
．
考点：归纳推理
三、解答题
21．（1）1234,,2345,a a a a ====（2）猜想1n a n =+．见解析 【分析】
（1）先求得1a 的值，然后根据已知条件求得122(2)n n a a n n -=++，由此求得234,,a a a 的值.
（2）由（1）猜想数列{}n a 的通项公式为1n a n =+，然后利用数学归纳法进行证明. 【详解】 （1）由24
25()
n n S n n f a +
=+，即22252n n S a n n +=++，① 所以12a =，由①得2
1122(1)5(1)2(2)n n S a n n n --+=-+-+，② -①②，得122(2)n n a a n n -=++．
当2n =时，212212,3a a a =++=； 当3n =时，323232,4a a a =++=； 当4n =时，434242,5a a a =++=． （2）由（1）猜想1n a n =+． 下面用数学归纳法证明：
①当1n =时，由（1）可知猜想成立； ②假设n k =时猜想成立，即1k a k =+，此时
22
213
2252,(52)222
k k k k k S a k k S k k a k +=++=++-=+，当1n k =+时，
221113(1)3
(1)2222
k k k k k k S S a k a k ++++=+=++=++，
整理得1(1)1k a k +=++， 所以当1n k =+时猜想成立．
综上所述，对任意*
,1n n N a n ∈=+成立． 【点睛】
本小题主要考查根据递推关系式求数列某些项的值，考查数学归纳法求数列的通项公式，属于中档题.
22．（1）见解析；（2）见解析 【解析】
试题分析：（1）根据已知的式子的规律易求得第五、六两行的等式，再由归纳推理即可求得第行的式子；
（2）根据数学归纳法证明步骤即可证明. 试题 （1）第五行
第六行
第行等式为：
（2）证明：①当时，左边
，
右边，左边
右边，等式成立.
②假设
时，等式成立，即
.
则当
时，
时，等式也成立
根据①②可知，对
等式均成立.
考点：推理与证明；数学归纳法的应用.
23．3
5
n a n =+，证明见解析． 【解析】
试题分析：利用递推式直接求2a 、3a 、4a ，猜想数列a n }的通项公式为35
n a n =+（*n N ∈）用数学归纳法证明即可. 试题
a 1＝＝，a 2＝，a 3＝，a 4＝， 猜想a n ＝
，下面用数学归纳法证明：
①当n ＝1时，a 1＝
＝，猜想成立．
②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即a k ＝.
则当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝
＝
＝
，
所以当n ＝k ＋1时猜想也成立， 由①②知，对n ∈N *，a n ＝
都成立．
点睛：本题考查了数列中的归纳法思想，及证明基本步骤，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值0n 并验证真假；②“假设n k =时命题正确”并写出命题形式；③分析“1n k =+时”命题是什么，并找出与“n k =”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设. 24．（1）234234
,,345a a a ===（2）1
n n a n =+ 【解析】 试题分析：
(1)利用递推关系可求得234234
,,345
a a a ===； (2) 猜想1
n n
a n =+ ，按照数学归纳法的过程证明猜想即可. 试题
解:(1)计算得234234,,345
a a a === 猜想1
n n a n =
+ 证明如下：①当n=1时，猜想显然成立；
②假设当n=k （k ∈N +）时猜想成立，即1
k k
a k =+成立， 则当1n k =+时，()11112211k k k k k k a k a k k k +++=⋅=⋅=++++，
即1n k =+时猜想成立
由①②得对任意*n N ∈，有1
n n
a n =+ 25．（1）234212,,325a a a ===，猜想：22
n a n =+；（2）见解析. 【解析】
试题分析：（1）由首项和递推公式写出数列的第2、3、4项，猜想数列的通项公式；（2）应用等差数列的定义写出三段论. 试题
（1）∵数列{}n a 中，1121,2n n n a a a a +==+，234212
,,325
a a a ===， 猜想：2
2
n a n =
+； （2）∵通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n n a a d +-=，d 是常数， 则{}n a 是等差数列，…大前提 又∵
1111
2
n n a a +-=为常数；…小前提 ∴数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列.…结论. 26．(1)23
2a p ，34
3a p ，45
4
a p (2)详见解析 【分析】
(1)本题可根据12a p 以及2
1
2n
n p a p a 依次计算出234a a a 、、的值；
(2)首先可根据(1)猜想出1
n
n a p n
，然后先证明1n =时成立，再假设当n k =时成立并证明出当1n k =+时成立，即可得出结果． 【详解】 (1)因为12a p ，所以2213
22p a p
p a ， 所以23
2
4
23
p a p
p a ，243
5
24
p a p
p a ．
(2)猜想：1
n
n a p n
，下面用数学归纳法证明， ①当1n =时，11
21
n
a p p ，与题意相符；
②假设n k =时，命题成立，即1
k k a P k
， 则2
21
21211
2211
1
1
k
k
k P Pk
k P k P P k a P
P
P a k p
k k k
故当1n k =+时，命题仍然成立， 综上所述，对任何N n *∈，均有1
n n a P n
，故猜想成立． 【点睛】
本题考查如何利用数列项与项之间的关系求值以及数学归纳法，在使用数学归纳法的过程中，一定要注意在证明当1n k =+时成立的过程中一定要用到当n k =时成立的假设，考查化归与转化思想，是中档题．。