怀仁县第一中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学(理)试题 含答案

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1。

已知全集}4,3,2,1,0,1{-=M ，且}4,3,2,1{=B A ,}3,2{=A ,则=)(A C
B M
( ）
A ．}4,1{
B ．}1{
C ．}4{
D ．φ
2。

设向量)sin ,(cos αα=a ，)sin ,(cos ββ=b ，πβα<<<0.若|2||2|b a b a -=+，则αβ-等于（ ）
A ．2
π- B ．2
π C ．4
π D ．4
π-
3。

已知5
34
sin )3
sin(-=++απα，02
<<-απ，)3
2cos(πα+等于（ ）
A ．5
4- B ．5
3- C ．5
3 D ．5
4
4. 若),2
(ππα∈，且)4
sin(2cos 3απα-=，则αsin 的值为（ )
A ．18
1 B ．18
1- C ．18
17 D ．18
17-
5. 函数)6
sin()3
sin()(ππ-++=x a x x f 的一条对称轴方程为2
π=x ，则=a ( ）
A ．1
B ．3
C ．2
D ．3
6。

已知向量e a ≠，1||=e ,对任意R t ∈，恒有||||e a e t a -≥-,则( ) A ．e a ⊥ B ．)(e a a -⊥ C ．)(e a e -⊥ D ．)()(e a e a -⊥+
7.函数x
e x y cos =的图象大致是（ ）
8。

已知函数)2
||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，下列
说法正确的是( ）
A ．)(x f 的最小正周期为π2
B ．)(x f 的图象关于直线3
2π-=x 对称
C ．)(x f 的图象关于点)0,12
5(π-对称
D ．当]3,2(-
-∈m 时，方程m x f =)(在]0,2
[π
-上有两个不相等的实数根
9.设函数x x x f -+=)12sin(4)(，则在下面区间中函数)(x f 不．存在零点的是（ ）
A ．]2,4[--
B ．]0,2[-
C ．]2,0[
D ．]4,2[ 10。

如图所示程序框图中，输出=S （ ）
A ．45
B ．55-
C ．66-
D ．66
11.已知P 是ABC ∆所在平面内一点，0354=++PA PC PB ，现将一粒红豆随机撒在ABC ∆内，则红豆落在PBC ∆内的概率是（ ） A ．4
1 B ．3
1 C ．12
5 D ．2
1
A ．)4
1,41(- B ．)4
1,0( C ．)2
1,0( D ．)1,2
1(
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题(每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上） 13.设定义域为),0(+∞上的单调函数)(x f ，对于任意的),0(+∞∈x ，都有
6))((2=-x x f f ，则=)2(f
.
14。

已知0>ω，函数)4
sin()(πω+=x x f 在),2
(ππ单调递减，则ω的取值范围是 。

15。

12sin 212sin 12cos 43
12tan 32--等于 .
16.设x b x a x f 2cos 2sin )(+=，其中R b a ∈,,0≠ab 。

若|)6
(|)(πf x f ≤对一切R x ∈恒成立，则①0)12
11(=πf ；②|)5
(||)12
7(|ππf f =；③)(x f 既不是奇函数也不是偶函数；
④)(x f 的单调递增区间是)](3
2,6
[Z k k k ∈++ππππ；⑤存在经过点),(b a 的直线
与函数)(x f 的图象不相交.
以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）. 三、解答题
17。

已知函数)0,0(12
sin 2)sin(3)(2
πϕωϕ
ωϕω<<>-+++=
x x x f 为奇函数，且相
邻两对称轴间的距离为2
π。

（1）当)4
,2(ππ-∈x 时，求)(x f 的单调递减区间；
（2）将函数)(x f y =的图象沿x 轴方向向右平移6
π个单位长度，再把横
坐标缩短到原来的2
1（纵坐标不变）,得到函数)(x g y =的图象。

当
]6
,12[π
π-
∈x 时，求函数)(x g 的值域。

18.已知函数kx x f x ++=)14(log )(4
（R k ∈）是偶函数。

（1)求k 的值； （2）设)3
42(log
)(4
a a x g x
-⋅=,若函数)(x f 与)(x g 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围。

19。

某电视台举办了“中华好声音”大型歌手选修活动,过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班，由组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训.下面是根据40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：
赛制规定:参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”.
求：从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权"的概率.
20.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健产品的收益与投资成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。

已知投资1万元时两类产品的收益分别为
125.0万元和5.0万元.
(1）分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；
(2）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问，怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元? 21.已知函数1)6
2sin(2)(+++=a x x f π。

(1)若]2
,0[π∈x 且1=a 时，求)(x f 的最大值和最小值；
（2）当],0[π∈x 且1-=a 时，方程b x f =)(有两个不相等的实数根2
1
,x x ，求b
的取值范围及2
1
x x +的值.
22。

已知函数a x x x x f ++++=2sin )4
cos()4sin(32
)(π
π的最大值为
1.
(1）求函数)(x f 的单调递增区间；
（2)将)(x f 的图象向左平移6
π个单位，得到函数)(x g 的图象，若方程
m x g =)(在]2
,0[π
∈x 上有解,求实数m 的取值范围.
高一理科数学参考答案
选择题：1—6. ABDDBC 7—12. ADABAB
填空题：13.6 14.]4
5,21[ 15。

34- 16.①②③
17。

（1）解：由题意可得：)6
sin(2)cos()sin(3)(π
ϕωϕωϕω-+=+-+=
x x x x f ，因
为相邻两对称轴间的距离为2
π，所以π=T ，2=ω，因为函数为奇函数,所以6
,6
ππϕππϕ+==-k k ，因为πϕ<<0，所以6
πϕ=，函数为x x f 2sin 2)(=。

18、解：(1）由于函数是R 上是偶函数，∴)()(x f x f =-，∴
kx kx x
x
-+=++-)14(log )14(log 44，
即kx kx x x x 24log ,21
41
4log 44-=-=++-，∴kx x 2-=对一切R x ∈恒成立，∴2
1-=k .
（2）)(x f 与)(x g 的图象有且只有一个公共点，只需方程
x x 21)14(log 4-
+)3
4
2(log 4a a x -⋅=有且只有一个实根，化简方程：)3
4
2(log 214log ),342(log 4log )14(log 4442
44a a a a x x x x
x
x
-⋅=+-⋅=-+，即方程a a x x x 342212-⋅=+有
且只有一个实根，令02
>=x
t ，则方程013
4)1(2=---at t a 有且只有一个正根，
①4
31-=⇒=t a ,不合题意；
②若4
30=⇒=∆a 或3-;若4
3=a ，则2-=t ，不合题意；若2
13=⇒-=t a ，符合
题意
③若方程一个正根与一个负根，即
101
1
>⇒<--a a , 综上所述：实数a 的取值范围是),1(}3{+∞- .
19、进入决赛的选手共有6名，其中拥有“优先挑战权”的选手共有3名。

设拥有“优先挑战权”的选手编号为1，2，3,其余3人编号为A,B,C 。

被选中3人的编号所有可能的情况共20种,列举如下： 123,12A,12B,12C ，13A ，13B ，13C ，1AB ，1AC ，1BC ， 23A,23B ，23C ，2AB ，2AC,2BC ，
3AB ，3AC,3BC ， ABC
其中拥有“优先挑战权”的选手恰有1名的情况共9种，如下: 1AB ，1AC ，1BC ，2AB ，2AC ，2BC ，3AB ，3AC ，3BC,∴所求概率为20
9
=
P 。

20、解：（1）设两类产品收益与投资的函数分别为x k x f 1
)(=，x k x g 2
)(=，
由已知得1
8
1)1(k f ==,2
2
1)1(k g ==,所以)0(81)(≥=x x x f ，)0(2
1
)(≥=x x x g .
（2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为（x -20)万元. 依题意得：)200(202
1
8
)20()(≤≤-+=-+=x x x x g x f y ，令)520(20≤≤-=t x t ,则
3)2(8
12182022+--=+-=t t t y 。

所以当2=t ,即16=x 万元时，收益最大，3max =y 万.
21、解：（1)若1=a ，则2)6
2sin(2)(++=πx x f ，∵]2
,0[π∈x ，∴6
76
26
πππ≤+≤x ,
∴当2
6
2π
π
=
+x 时，)6
2sin(2π+x 取得最大值为2,此时2)6
2sin(2)(++=πx x f 在
]2
,0[π
∈x 的最大值为4，当6
76
2ππ=+x 时,)6
2sin(2π+x 取得最大值为16
7sin 2-=π
,
此时2)6
2sin(2)(++=πx x f 在]2
,0[π∈x 的最大值为121=+-。

（2）若1-=a ，)6
2sin(2)(π+=x x f ,∵],0[π∈x ，∴6
136
26
πππ≤+≤x ，∴1)6
2sin(1≤+≤-πx ，
∴2)(2≤≤-x f ，当b x f =)(有两个不相等的实数根时，结合图象可得21<<b 或12<<-b ，即)2,1()1,2( -∈b ,由262π
π
=
+x 得6
π=x ，由2
36
2ππ=+x 得3
2π=x ，即函
数在],0[π∈x 内的对称轴为6π=x 和3
2π
=x ,且两个根分别关于6
π=x 或3
2π
=x 对称，即321π=+x x 或3
421π=+x x 。

22、解：（1）∵a x a x x a x x x f ++=++=+++=
)3
2sin(22sin 2cos 32sin )22sin(3)(π
π,
∴12=+a ，∴1-=a 。

由πππππk x k 223222+≤+≤+-，解得ππππk x k +≤≤+-12
125，∴
函数的单调递增区间为]12
,125[ππππk k ++-，Z k ∈.
(2)将)(x f 的图象向左平移6
π个单位，得到函数)(x g 的图象，
∴1)3
22sin(2]3
)6
(2sin[2)6
()(-+=++=+=ππππx x x f x g （或写成1)6
2cos(2)(-+=πx x g ）
∵]2
,0[π∈x ，∴]3
5,3
2[3
22πππ∈+x ，当3
23
22π
π
=
+x 时,2
3
)322sin(=
+πx ，)(x g 取最大值13-,当2
3322ππ=+
x 时，1)3
22sin(-=+πx ，)(x g 取最小值3-，方程m x g =)(在
]2
,0[π
∈x 上有解，即
133-≤≤-m 。