高一数学教案下学期4.1角的概念的推广

下学期4.1角的概念的推广
教学目标
1
．理解引入大于
角和负角的意义．
2
．理解并掌握正、负、零角的定义．
3
．掌握终边相同角的表示法．
4
．理解象限角的概念、意义及其表示方法．
重点难点
1
．理解并掌握正、负、零角的定义．
2
．掌握终边相同角的表示法．
教学用具
直尺、投影仪
教学过程
1
．设置情境
设置实例（
1
）用扳手拧螺母（课件）；（
2
）跳水运动员身体旋转（视频）．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。

本节课将在已掌握
～
角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．2
．探索研究
（
1
）正角、负角、零角概念
①一条射线由原来位置
，绕着它的端点
，按逆时针方向旋转转到
形成的角
规定为正角
，如图中角
；把按顺时方向旋转所形成的角
规定为负角
，如图中的
；射线没作任何旋转时，我们认为它这时也形成了一个角，并把这个角规定为零角
，与初中所学角概念一样，
、
，点
分别叫该角的始边、终边、角顶点．
②如果把角顶点与直角坐标系原点重合，角的始边在
轴的正半轴上，这时，角的终边落在第几象限，就称这个角是
第几象限角
，特别地，如果角的终边落在坐标轴上，就说该角不属于任何象限，习惯上称其为
轴上角
．
③我们作出
及
三个角，易知，它们的终边相同。

还可以看出，
，
的终边也是与
角终边重合的，而且可以理解，与
角终边相同的角，连同
在内，可以构成一个集合，记作
．一般地，我们把所有与角
终边相同的角，连同角
在内的一切角，记成
，
或写成集合
形式．
（
2
）例题分析
【例
1
】在
～
间，找出与列列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1
）
；（
2
）
；（
3
．
解：（
1
）∵
∴与
角终边相同的角是
角，它是第三象限的角；
（
2
）∵
∴与
终边相同的角是
，它是第四象限的角；
（
3
）
所以与
角终边相同的角是
，它是第二象限角．
总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以
，按通常除去进行；负的角度除以
，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1
，以使余数为正值．
练习：（学生板演，可用投影给题）
（
1
）一角为
，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______
．
（
2
）集合
中，各角的终边都在（
）
A
．
轴正半轴上，
B
．
轴正半轴上，
C
．
轴或
轴上，
D
．
轴正半轴或
轴正半轴上
解答：（
1
）
（
2
）
C
【例
2
】写出与下列各角终边相同的角的集合，并把
中适合不等式
的元素
写出来：
（
1
）
；（
2
）
；（
3
）
．
解：（
1
）
中适合
的元素是
（
2
）
满足条件的元素是
（
3
）
中适合元素是
说明：与角
终边相同的角，连同
在内可记为
，
这里
（
1
）
；（
2
）
是任意角；
（
3
）
与
之间是“＋”连接，如
应看做
；
（
4
）终边相同角不一定相等，但相等的角终边必相同，终边相同的角有无数个，它们彼此相差
的整数倍；
（
5
）检查两角
，
终边是否相同，只要看
是否为整数．
练习：（学生口答：用投影给出题）
（
1
）请用集合表示下列各角．
①
～
间的角
②第一象限角
③锐角
④小于
角．
（
2
）分别写出：
①终边落在
轴负半轴上的角的集合；
②终边落在
轴上的角的集合；
③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；
④终边落在四象限角平分线上的角的集合．
解答（
1
）①
；
②
；
③
（
2
）①
；
②
；
③
；
④
．
说明：第一象限角未必是锐角，小于的角不一定是锐角，
～
间的角，根据课本约定它包括
，但不包含
．
【例
3
】用集合表示：
（
1
）第三象限角的集合．
（
2
）终边落在
轴右侧的角的集合．
解：（
1
～
中，第三象限角范围为
，而与每个
角终边相同的角可记为
，
，故该范围中每个角适合
，
，故第三象限角集合为
．
（
2
）在
～
中，
轴右侧的角可记为
，同样把该范围“旋转”
后，得
，
，故
轴右侧角的集合为
．
说明：一个角按顺、逆时针旋转
（
）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转（
）角后，所得“区间”仍与原区间重叠．
3
．练习反馈
1
）与
的终边相同且绝对值最小的角是______________
．
（
2
）若角
与角
的终边重合，则
与
的关系是
___________
，若角
与角
的终边在一条直线上，则
与
的关系是
____________
．
（
3
）若
是第四象限角，则
是（
）．
A
．第一象限角
．第二象限角
C
．第三象限角
D
．第四象限角
答案：（
1
）
；
（
2
）
，
，
；
（
3
）
C
4
．总结提炼
判断一个角
是第几象限角，只要把改写成
，
，那么
在第几象限，
就是第几象限角，若角
适合关系：
，
，则
、
终边相同；若角
与
适合关系：
，
，则
、
终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为：
，
这种模式（
），然后只要考查
的相关问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．
课时作业
1
．在
到
范围内，找出与下列各角终边相同角，并指出它们是哪个象限角
（
1
）
（
2
）
3
）
（
4
）
2
．写出终边在
轴上的角的集合（用
～
的角表示）
3
．写出与
终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素
写出来．
4
．时针走过
3
小时
20
分，则分钟所转过的角的度数为
______________
，时针所转过的角的度数为
______________
．
5
．写出终边在直线
上的角的集合，并给出集合中介于
之间的角．
6
．角
是
～
中的一个角，若角
与
角有相同始边，且又有相同终边，则角．
参考答案：
1
．（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
4
）
2
．
3
．
，
4
．
，
5
．
，
或
6
．
下学期4.1角的概念的推广
教学目标
1
．理解引入大于
角和负角的意义．
2
．理解并掌握正、负、零角的定义．
3
．掌握终边相同角的表示法．
4
．理解象限角的概念、意义及其表示方法．重点难点
1
．理解并掌握正、负、零角的定义．
2
．掌握终边相同角的表示法．
教学用具
直尺、投影仪
教学过程
．设置情境
设置实例（
1
）用扳手拧螺母（课件）；（
2
）跳水运动员身体旋转（视频）．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。

本节课将在已掌握
～
角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．2
．探索研究
（
1
）正角、负角、零角概念
①一条射线由原来位置
，绕着它的端点
，按逆时针方向旋转转到
形成的角
规定为正角
，如图中角
；把按顺时方向旋转所形成的角
规定为负角
，如图中的
；射线没作任何旋转时，我们认为它这时也形成了一个角，并把这个角规定为零角
，与初中所学角概念一样，
、
分别叫该角的始边、终边、角顶点．
②如果把角顶点与直角坐标系原点重合，角的始边在
轴的正半轴上，这时，角的终边落在第几象限，就称这个角是
第几象限角
，特别地，如果角的终边落在坐标轴上，就说该角不属于任何象限，习惯上称其为
轴上角
．
③我们作出
，
及
三个角，易知，它们的终边相同。

还可以看出，
，
的终边也是与
角终边重合的，而且可以理解，与
角终边相同的角，连同
在内，可以构成一个集合，记作
．一般地，我们把所有与角
终边相同的角，连同角
在内的一切角，记成
，
或写成集合
形式．
（
2
）例题分析
【例
1
～
间，找出与列列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1
）
；（
2
）
；（
3
）
．
解：（
1
）∵
∴与
角终边相同的角是
角，它是第三象限的角；
（
2
）∵
∴与
终边相同的角是
，它是第四象限的角；
（
3
）
所以与
角终边相同的角是
，它是第二象限角．
总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以
，按通常除去进行；负的角度除以
，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1
，以使余数为正值．
练习：（学生板演，可用投影给题）
（
1
）一角为
，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为
_______
．
（
2
）集合
中，各角的终边都在（
）
A
．
轴正半轴上，
B
．
轴正半轴上，
C
．
轴或
轴上，
D
轴正半轴或
轴正半轴上
解答：（
1
）
（
2
）
C
【例
2
】写出与下列各角终边相同的角的集合，并把
中适合不等式
的元素
写出来：
（
1
）
；（
2
）
；（
3
）
．
解：（
1
中适合
的元素是
（
2
）
满足条件的元素是
（
3
）
中适合元素是
说明：与角
终边相同的角，连同在内可记为
，
这里
（
1
）
；（
2
）
是任意角；
（
3
）
与
之间是“＋”连接，如应看做
（
4
）终边相同角不一定相等，但相等的角终边必相同，终边相同的角有无数个，它们彼此相差
的整数倍；
（
5
）检查两角
，
终边是否相同，只要看
是否为整数．
练习：（学生口答：用投影给出题）
（
1
）请用集合表示下列各角．
①
～
间的角
②第一象限角
③锐角
④小于
角．
（
2
）分别写出：
①终边落在
轴负半轴上的角的集合；
②终边落在
轴上的角的集合；
③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；
④终边落在四象限角平分线上的角的集合．
解答（
1
）①
；
②
；
③
；④
（
2
）①
；
②
；
③
；
④
．
说明：第一象限角未必是锐角，小于
的角不一定是锐角，
～
间的角，根据课本约定它包括
，但不包含
．
【例
3
】用集合表示：
（
1
）第三象限角的集合．（
2
）终边落在
轴右侧的角的集合．解：（
1
）在
～
中，第三象限角范围为，而与每个
角终边相同的角可记为，
，故该范围中每个角适合，
，故第三象限角集合为．
（
2
）在
～
中，
轴右侧的角可记为
，同样把该范围“旋转”后，得
，
，故
轴右侧角的集合为
．
说明：一个角按顺、逆时针旋转
（
）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转（
）角后，所得“区间”仍与原区间重叠．
3
．练习反馈
（
1
）与
的终边相同且绝对值最小的角是
______________
．
（
2
）若角
与角
的终边重合，则
与
的关系是
___________
，若角
与角
的终边在一条直线上，则
与
的关系是
____________
．
（
3
）若
是第四象限角，则是（
）．
A
．第一象限角
B
．第二象限角
C
．第三象限角
D
．第四象限角
答案：（
1
）
；
（
2
）
，
，
；
（
3
）
4
．总结提炼
判断一个角
是第几象限角，只要把
改写成
，
，那么
在第几象限，
就是第几象限角，若角
与角
适合关系：
，
，则
、
终边相同；若角
与
适合关系：
，
，则
、
终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为：
，
这种模式（
），然后只要考查
的相关问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．
课时作业
．在
到
范围内，找出与下列各角终边相同角，并指出它们是哪个象限角（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
4
）
2
．写出终边在
轴上的角的集合（用
～
的角表示）
3
．写出与
终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式
的元素
写出来．
4
．时针走过
3
小时
20
分，则分钟所转过的角的度数为
______________
，时针所转过的角的度数为
______________
．
5
．写出终边在直线
上的角的集合，并给出集合中介于
和
之间的角．
6
．角
是
～
中的一个角，若角
与
角有相同始边，且又有相同终边，则角．
参考答案：
1
．（
1
）
（
2
）
（
）
（
4
）
2
．
3
．
，
或
4
．
，
5
．
，
或
6
．
下学期4.1角的概念的推广
教学目标
1
．理解引入大于
角和负角的意义．
2
．理解并掌握正、负、零角的定义．3
．掌握终边相同角的表示法．
．理解象限角的概念、意义及其表示方法．
重点难点
1
．理解并掌握正、负、零角的定义．
2
．掌握终边相同角的表示法．
教学用具
直尺、投影仪
教学过程
1
．设置情境
设置实例（
1
）用扳手拧螺母（课件）；（
2
）跳水运动员身体旋转（视频）．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。

本节课将在已掌握
～
角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．2
．探索研究
（
1
）正角、负角、零角概念
①一条射线由原来位置
，绕着它的端点
，按逆时针方向旋转转到
形成的角
规定为正角
，如图中角
；把按顺时方向旋转所形成的角
规定为负角
，如图中的
；射线没作任何旋转时，我们认为它这时也形成了一个角，并把这个角规定为零角
，与初中所学角概念一样，
、
，点
分别叫该角的始边、终边、角顶点．
②如果把角顶点与直角坐标系原点重合，角的始边在
轴的正半轴上，这时，角的终边落在第几象限，就称这个角是
第几象限角
，特别地，如果角的终边落在坐标轴上，就说该角不属于任何象限，习惯上称其为
轴上角
．
③我们作出
，
及
三个角，易知，它们的终边相同。

还可以看出，
，
的终边也是与
角终边重合的，而且可以理解，与
角终边相同的角，连同
在内，可以构成一个集合，记作
．一般地，我们把所有与角
终边相同的角，连同角
在内的一切角，记成
，
或写成集合
形式．
（
2
）例题分析
【例
1
】在
～
间，找出与列列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1
）
；（
2
）
；（
3
）
．
解：（
1
）∵
∴与
角终边相同的角是
角，它是第三象限的角；
（
）∵
∴与
终边相同的角是
，它是第四象限的角；
（
3
）
所以与
角终边相同的角是
，它是第二象限角．
总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以
，按通常除去进行；负的角度除以
，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1
，以使余数为正值．
练习：（学生板演，可用投影给题）
（
1
）一角为
，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为
_______
．
（
2
）集合
中，各角的终边都在（
）
A
轴正半轴上，
B
．
轴正半轴上，
C
．
轴或
轴上，
D
．
轴正半轴或
轴正半轴上
解答：（
1
）
（
2
）
C
【例
2
】写出与下列各角终边相同的角的集合，并把
中适合不等式
的元素
写出来：
（
1
；（
2
）
；（
3
）
．
解：（
1
）
中适合
的元素是
（
2
）
满足条件的元素是（
3
）
中适合元素是
说明：与角
终边相同的角，连同在内可记为
，
这里
（
1
）
；（
2
）
是任意角；
（
3
）
与
之间是“＋”连接，如
应看做
；
（
4
）终边相同角不一定相等，但相等的角终边必相同，终边相同的角有无数个，它们彼此相差
的整数倍；
（
5
）检查两角
，
终边是否相同，只要看
是否为整数．
练习：（学生口答：用投影给出题）
（
1
）请用集合表示下列各角．
①
～
间的角
②第一象限角
③锐角
④小于
角．
（
2
）分别写出：
①终边落在
轴负半轴上的角的集合；
②终边落在
轴上的角的集合；
③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；
④终边落在四象限角平分线上的角的集合．
解答（
1
）①
；
②
；
③
；④
（
2
）①
；
②
；
③
；
④
．
说明：第一象限角未必是锐角，小于的角不一定是锐角，
～
间的角，根据课本约定它包括
，但不包含
．
【例
3
】用集合表示：
（
1
）第三象限角的集合．
（
2
）终边落在
轴右侧的角的集合．
解：（
1
）在
～
中，第三象限角范围为
，而与每个
角终边相同的角可记为
，
，故该范围中每个角适合
，
，故第三象限角集合为
（
2
）在
～
中，
轴右侧的角可记为
，同样把该范围“旋转”
后，得
，
，故
轴右侧角的集合为
．
说明：一个角按顺、逆时针旋转
（
）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转（
）角后，所得“区间”仍与原区间重叠．
3
．练习反馈
（
1
）与
的终边相同且绝对值最小的角是
______________
．
（
2
）若角
的终边重合，则
与
的关系是
___________
，若角
与角
的终边在一条直线上，则与
的关系是
____________
．
（
3
）若
是第四象限角，则
是（
）．
A
．第一象限角
B
．第二象限角
C
．第三象限角
D
．第四象限角
答案：（
1
）
（
2
）
，
，
；
（
3
）
C
4
．总结提炼
判断一个角
是第几象限角，只要把改写成
，
，那么
在第几象限，
就是第几象限角，若角与角
适合关系：
，
，则
、
终边相同；若角
与
适合关系：
，
、
终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为：
，
这种模式（
），然后只要考查
的相关问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．
课时作业
1
．在
到
范围内，找出与下列各角终边相同角，并指出它们是哪个象限角
（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
4
）
2
．写出终边在
轴上的角的集合（用
的角表示）
3
．写出与
终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素
写出来．
4
．时针走过
3
小时
20
分，则分钟所转过的角的度数为
______________
，时针所转过的角的度数为
______________
．
5
．写出终边在直线
上的角的集合，并给出集合中介于
和
之间的角．
6
．角
是
～
中的一个角，若角
与
角有相同始边，且又有相同终边，则角
参考答案：1
．（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
4
）
2
．
3
．
，
或
4
．
，
5
．
，
或
6。