半导体物理学刘恩科课后习题解答

半导体物理学
第二章习题
1. 实际半导体与理想半导体间的主要区别是什么？
答：（1）理想半导体：假设晶格原子严格按周期性排列并静止在格点位置上，实际半导体中原子不是静止的，而是在其平衡位置附近振动。

（2）理想半导体是纯净不含杂质的，实际半导体含有若干杂质。

（3）理想半导体的晶格结构是完整的，实际半导体中存在点缺陷，线缺陷和面缺陷等。

2. 以As掺入Ge中为例，说明什么是施主杂质、施主杂质电离过程和n型半导体。

As有5个价电子，其中的四个价电子与周围的四个Ge原子形成共价键，还剩余一个电子，同时As原子所在处也多余一个正电荷，称为正离子中心，所以，一个As 原子取代一个Ge原子，其效果是形成一个正电中心和一个多余的电子.多余的电子束缚在正电中心，但这种束缚很弱,很小的能量就可使电子摆脱束缚，成为在晶格中导电的自由电子，而As原子形成一个不能移动的正电中心。

这个过程叫做施主杂质的电离过程。

能够施放电子而在导带中产生电子并形成正电中心，称为施主杂质或N型杂质，掺有施主杂质的半导体叫N型半导体。

3. 以Ga掺入Ge中为例，说明什么是受主杂质、受主杂质电离过程和p型半导体。

Ga有3个价电子，它与周围的四个Ge原子形成共价键，还缺少一个电子，于是在Ge 晶体的共价键中产生了一个空穴，而Ga原子接受一个电子后所在处形成一个负离子中心，所以，一个Ga原子取代一个Ge原子，其效果是形成一个负电中心和一个空穴，空穴束缚在Ga原子附近，但这种束缚很弱，很小的能量就可使空穴摆脱束缚，成为在晶格中自由运动的导电空穴，而Ga原子形成一个不能移动的负电中心。

这个过程叫做受主杂质的电离过程，能够接受电子而在价带中产生空穴，并形成负电中心的杂质，称为受主杂质，掺有受主型杂质的半导体叫P型半导体。

4. 以Si在GaAs中的行为为例，说明IV族杂质在III-V族化合物中可能出现的双性
行为。

Si取代GaAs中的Ga原子则起施主作用； Si取代GaAs中的As原子则起受主作用。

导带中电子浓度随硅杂质浓度的增加而增加，当硅杂质浓度增加到一定程度时趋于饱和。

硅先取代Ga原子起施主作用，随着硅浓度的增加，硅取代As原子起受主作用。

5. 举例说明杂质补偿作用。

当半导体中同时存在施主和受主杂质时，
若（1） N
D >>N
A
因为受主能级低于施主能级，所以施主杂质的电子首先跃迁到N
A
个受主能级上，还
有N
D -N
A
个电子在施主能级上，杂质全部电离时，跃迁到导带中的导电电子的浓度
为n= N
D -N
A。

即则有效受主浓度为N
Aeff
≈ N
D
-N
A
（2）N
A >>N
D
施主能级上的全部电子跃迁到受主能级上，受主能级上还有N
A -N
D
个空穴，它
们可接受价带上的N
A -N
D
个电子，在价带中形成的空穴浓度p= N
A
-N
D
. 即有效受主浓度
为N
Aeff ≈ N
A
-N
D
（3）N
A ≈N
D
时，
不能向导带和价带提供电子和空穴，称为杂质的高度补偿
6. 说明类氢模型的优点和不足。

优点：基本上能够解释浅能级杂质电离能的小的差异，计算简单
缺点：只有电子轨道半径较大时，该模型才较适用，如Ge相反，对电子轨道半径较小的，如Si，简单的库仑势场不能计入引入杂质中心带来的全部影响。

参考：叶良修《半导体物理学》
7. 锑化铟的禁带宽度Eg=0.18eV，相对介电常数ε
r
=17，电子的有效质量
*
n
m =0.015m0, m0为电子的惯性质量，求①施主杂质的电离能，②施主的弱束缚电子基态轨道半径。

nm
r m m m q h r nm m q h r eV E m m q m E eV J q m E n r
n r r n r n D 60053.010108.9)10602.1(10854.8)10*625.6(101.717
6
.13015.0)4(26.1310602.11018.21018.21075.21099.5)10*054.1()10854.84(2)10602.1(10108.9)4(20*0*20231
21912
2340202042
200*2204*19
18
18
881062
3421241931220400====⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯=⨯===∆=⨯⨯=⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==--------------επεεππεεεπεππεηη：
解：根据类氢原子模型
8. 磷化镓的禁带宽度Eg=2.26eV ，相对介电常数εr =11.1，空穴的有效质量m *p =0.86m 0,m 0为电子的惯性质量，求①受主杂质电离能；②受主束缚的空穴的基态轨道半径。

eV E m m q m E r P r P A 096.01.116
.1386.0)4(22
200*
2204*=⨯===∆εεπεη：
解：根据类氢原子模型
第3章 半导体中载流子的统计分布
2. 试证明具有类似于Ge 、Si 能带结构的半导体的导带底附近状态密度公式为式(3-6)。

证明：设导带底能量为C E ，具有类似结构的半导体在导带底附近的电子等能面为旋转椭球面，即
222
212
2()()2C t l
k k k h E k E m m +=++
与椭球标准方程
nm r m m m q h r nm
m q h r P
r
P r 68.6053.00*0*
202
020
20===
==επεεπε
222
112
222
1k k k a b c ++= 相比较，可知其电子等能面的三个半轴a 、b 、c 分别为
12
2
2()[
]t C m E E a b h
-== 12
2
2()[]l C m E E c h -=
于是，K 空间能量为E 的等能面所包围的体积即可表示为
13
22
2344(8)()33l t C V abc m m E E h
ππ==-
能量为E 和E +d E 的两个等能面之间的体积即为
11
22
232(8)()l t C dV m m E E dE h
π=-
设晶体体积为V ，则其K 空间的量子态密度在考虑自旋的情况下为2V ，能量为E 和E +d E 的两个等能面之间的量子态数即为
11
22
2322(8)()l t C dZ V m m E E dE h
π=-
设导带底的等效状态数为S ，则状态密度
1
1
2223
(8)()4()l t
C C S m m dZ
g E V E E dE h
π==⋅- 令13
222
(8)(2)l t
dn S m m m =，则2123
3()dn l t
m S m m =，代入上式即使式(3-6)得证。

3. 当E －E F =1.5kT 、4kT 、10kT 时，分别用费米分布函数和玻耳兹曼分布函数计算电子占据这些能级的概率，并分析计算结果说明了什么问题。

解：已知费米分布函数1()1F
E E kT
f E e
-=
+；玻耳兹曼分布函数F E E kT
B f e
--
=
当E －E F =1.5kT 时： 1.5
1
()0.18241f E e =
=+， 1.50.223B f e -==； 当E －E F =4kT 时：4
1()0.017991f E e
==+，4
0.0183B f e -==； 当E －E F =10kT 时：5
10
1() 4.54101f E e
-==⨯+，1054.510B f e --==⨯； 计算结果表明，两种统计方法在E －E F ＜2kT 时误差较大，反之误差较小；E －E F 高于kT 的倍数越大，两种统计方法的误差越小。

补充题：利用参考书中的有关数据，按照表3-2所示栏目，针对77K 下的Si 和GaAs
计算有关数据。

解：表3-2中，E g 、N C 、N V 和n i 皆为温度的函数，须分别对77K 进行计算。

首先根据参考书中的式(1-66)
2
()(0)g g T E T E T αβ
=-+
计算77K 下的禁带宽度。

按书中所引数据知Si 的E g (0)=1.17eV ，α = 4.73⨯10-4 eV/K ，β =636K ；GaAs 的E g (0)=1.519eV ，α = 5.405⨯10-4 eV/K ，β =204K 。

将这些数据分别代入上式算得
42
, 4.731077(77) 1.17 1.166eV 77636g Si E -⨯⨯=-=+
42
,GaAs 5.4051077(77) 1.519 1.508eV 77204
g E -⨯⨯=-=+
然后根据
3
2
3
2
3
2(2)
()(300)300
n C C m kT T N T N h
π*=
=⋅（）；32
3
2
03
2(2)
()(300)300
p V V m k T T N T N h π*=
=⋅（）
利用表3-2中300K 下的等效态密度数据计算T ＝77K 时的相应值。

对Si 得
32
19
183
77(77) 2.810 3.6410cm 300C N =⨯⨯=⨯－（）；
3219
18377(77) 1.110 1.4310cm 300
V N -=⨯⨯=⨯（）
对GaAs 得
32
17
163
77(77) 4.510 5.8510cm 300C N =⨯⨯=⨯－（）；
3218
18377(77)8.110 1.05310cm 300
V N -=⨯⨯=⨯（）
也可直接利用等效态密度的计算公式直接计算。

但要注意有效质量的引用对硅要用态密度有效质量，其值为m n *=1.062m 0，m p *=0.59m 0；对GaAs ，因为导带底各相同性，计算N C 仍引用电子有效质量m n *=0.068m 0，但计算N V 时要引用空穴的态密度有效质量m p *=0.47m 0。

将以上算得的数据分别代入
2g E kT
i n e
-
=
即可算出77K 下Si 和GaAs 的本征载流子密度分别为
1.166300
18
1887.363320.02677,Si 10 2.2810=2.610cm i n e
e ⨯-
-⨯⨯==⨯⨯－20－ 1.508300
17
17112.98732320.02677
,GaAs 10 2.4810=2.1110cm i n e
e ⨯-
-⨯⨯=⨯⨯－－
由此可见低温下半导体中本征载流子密度之低以及禁带宽度的一点差别对n i 的巨大影响。

8．在室温下，锗的有效态密度N C =1.05⨯1019cm -3，N V =5.7⨯1018cm -3，E g =0.67eV 。

求温度为300K 和500K 时，同时含施主浓度N D =5⨯1015cm -3、受主浓度N A =2⨯109cm -3的锗中的电子及空穴密度。

解：求解这类问题，相关温度下的本征载流子密度n i 是必不可少的条件。

从参考书中不难查到T=300K 时Ge 的n i =1.7⨯1013cm -3，但500K 时的n i 需要计算。

为此须首先计算500K 时的N C 、N V 和E g ：
3/2193/2
193500(500)(300)(
) 1.0410() 2.2410cm 300300C C T N N -=⨯=⨯⨯=⨯3/2183/2
193V V 500(500)(300)()610() 1.2910cm 300300
T N N -=⨯=⨯⨯=⨯
242
4.77410500(500)(0)0.74370.5813eV 500235
g g T E E T αβ-⨯⨯=-=-=++
将以上计算结果带入122
()g E kT
i c v n N N e
-=得Ge 在500K 时的本征载流子密度
0.581319
16320.0432
(500)10 2.0410cm i n e
--⨯==⨯
式中，0.0432是500K 对应的kT 值。

为求解某个温度和一定掺杂浓度下的热平衡载流子密度n 0和p 0，严格讲应列出电中性条件
0A 0D
n N p N +=+－＋
和 200i n p n = 联立求解。

解得：
D A
02N N n -=＋－
按题设的掺杂浓度和温度范围，两种杂质都应全部电离，即N A －＝N A ，N D ＋
＝N D 。

由于N A <<N D ，上式简化为
D
02N n =＋
该式表明，在有效电离杂质浓度大大于本征载流子密度的情况下才可认为多数载流子密度与有效电离杂质浓度相等，否则将引起较大误差。

以下的计算结果会进一步证明此点。

带入相关数据进行计算，得T=300K 时
151515153
0510********cm 22n -⨯==⨯+≈⨯
2132
103
015
0(1.710) 5.7810cm 510i n p n -⨯===⨯⨯
当T=500K 时则为
151515163051051010 2.310cm 2222
n -⨯=+=⨯+=⨯
2162163
016
0(2.0410) 1.8110cm 2.310
i n p n -⨯===⨯⨯ 该题表明，500K 时有效杂质浓度小于2⨯1016 cm -3的Ge 已开始进入本征激发状态。

补充题：已知6H-SiC 中氮和铝的电离能分别为0.1eV 和0.2eV ，若要求室温下电离度超过90%，求n 型碳化硅和p 型碳化硅的掺杂浓度上限。

已知6H-SiC 的N C =8.9⨯1019cm -3，N V =2.5⨯1019cm -3。

解：根据电离度公式
11
1
121212D F D C F C D
C F D
E E E E E E E E E D
kT
kT
kT
n N e
e
e
+
---+--∆-
-
=
==+++
11
1
121212A F F V A V
F V A
A
E E E E E E E E E A
kT
kT
kT
p N e e
e ----+--∆-
-
===+++
可求出电离度为90％时的费米能级位置。

代入相关数据，得
20.026
0.10.026
1
1.18101.8C F E E e
e
--
-=
=⨯，40.026
0.20.026
1 2.54101.8F V E E e
e
--
-=
=⨯
将以上结果分别代入00.9C F E E kT
D C n N N e --==和00.9F V
E E kT
A V p N N e
--
==，并代入室温下的N C 、
N V 值，即得掺氮、掺硼6H －SiC 室温下电离度为90％时的杂质浓度分别为
192
1838.910 1.1810 1.16710cm 0.9D N -⨯⨯⨯==⨯－
194
153A 2.510 2.54107.05610cm 0.9
N -⨯⨯⨯==⨯－
计算结果表明，欲使掺氮、掺铝6H-SiC 在室温下能实现90％的电离度，其氮、铝杂质浓度的上限分别为1.167⨯1018cm -3和7.056⨯1015cm -3。

9.计算施主杂质浓度分别为1016cm -3、1018cm -3、1019cm -3的硅在室温下的费米能级，并假定杂质是全部电离。

再用算出的费米能级核对一下上述假定是否在每一种情况下都成立。

计算时，取施主能级在导带底下面0.05eV 处。

解：若假定0C F E E kT
C D n N e
N --==，则可将费米能级相对于导带底的位置表示为
ln
D
F C C
N E E kT N -= 将室温下Si 的导带底有效态密度N C =2.8⨯1019 cm -3和相应的N D 代入上式，即可得各种掺杂浓度下的费米能级位置，即
N D =1016 cm -3时：1619
10
0.026ln
0.206eV 2.810F C E E -=⨯=-⨯ N D =1018
cm -3
时：18
19
100.026ln
0.087eV 2.810F C E E -=⨯=-⨯ N D =1019 cm -3时：1919
10
0.026ln 0.0262.810
F C E E ev -=⨯=-⨯ 为验证杂质全部电离的假定是否都成立，须利用以上求得的费米能级位置求出各种掺杂浓度下的杂质电离度
112D D F E E D
kT
n N e
+--=
+
为此先求出各种掺杂浓度下费米能级相对于杂质能级的位置
()()D F C F C D C F D E E E E E E E E E -=---=--∆
于是知
N D =1016 cm -3时：0.2060.050.156eV D F E E -=-= N D =1018 cm -3时：0.0870.050.037eV D F E E -=-= N D =1019 cm -3时：0.0260.050.024eV D F E E -=-=- 相应的电离度即为 N D =1016 cm -3时：
0.1560.026
10.99512D D
n N e +-=
=+
N D =1018 cm -3时：
0.0370.026
1
0.6712D D n N e +-=
=+
N D =1018 cm -3时：
0.0240.026
10.1712D D
n N e
+-=
=+
验证结果表明，室温下N D =1016 cm -3时的电离度达到99.5%，可以近似认为杂质全电离；而N D =1018 cm -3和N D =1019 cm -3这两种情况下的电离度都很小，不能视为全电离。

12.若硅中施主杂质电离能∆E D = 0.04eV ，施主杂质浓度分别为1015 cm -3和1018 cm -3。

计算这些杂质①99﹪电离；②90﹪电离；③50﹪电离时的温度。

解：这类题也可利用未电离施主的浓度公式（即电子占据施主能级的几率函数与施主浓度之积）
1
1exp()2D
D D F N n
E E kT
=
-+
来求解。

该式可重新表示为未电离杂质占杂质总数的百分比D －
00111
11exp()1146422exp()2exp()
D C F D C C D D n
E E E N N N E kT n n T kT
===
--∆+++∆＝D － (12-1) 式中已利用∆E D ＝0.04eV 预先算出
0.04
463.54640.026300
D E k
∆==≈。

因为求的是温度T ，所以在解题时要注意到N C 是温度的函数，即：
333
*2
15
223
2(2)() 5.410n
C m k N T T T h
π==⨯ ⑴ 99﹪电离时，D －= 0.01，n 0 = 0.99N D 。

式(12-1)变为
346415
25.41020.9999e
T
D T N ⨯=⨯⨯
也即 3
464
1322.7510T D T e N ⨯=
于是，当153
10D N cm -=时,得
4643ln ln 2.75ln100
T =+-18310D N cm -=时,⑵ 90﹪电离时：D －= 0. 1，n 0 = 0.9N D 。

式(12-1)变为
3
46415
2
5.41020.99e
T
D T N ⨯=⨯⨯
也即 3
464
1423.3310T D T e N ⨯=
于是，当153
10D N cm -=时，得
183
10D N cm -=时，得 ⑶ 50﹪电离时：D －= 0. 5，n 0 = 0.5N D 。

式(12-1)变为
3
4641525.410e T D
T N ⨯= 于是，当153
10D N cm -=时，得
18310D N cm -=时，得以上6个超越方程可用多种方法求解，譬如图解法和迭代法。

利用Origin 函数图形软件可以很方便地绘出一个超越方程的两条曲线，这两条曲线的交点所对应的横坐标即该方程的解，也即所求的温度。

下列两图即分别为N D =1015 cm -3和1018 cm -3时的各自3组Origin 曲线。

没有这个软件的同学可以编制一个用迭代法求其解的软件，利用计算机求解。

由图示结果可知：
15310D N cm -=时，电离度为99﹪、90﹪、50﹪的温度分别为124K 、84K 、59K 18310D N cm -=时，电离度为99﹪、90﹪、50﹪的温度分别为1374K 、427K 、180K 需要注意的是：由参考书中的图3-7可见，当T=1000K 时，硅的本征载流子密度已接近1018cm -3：T=1374K （1000/T ≈0.7）时，硅的本征载流子密度已将近4⨯1018cm -3，与解题过程中设定的n 0 = 0.99N D 误差很大，说明这个结果不准确。

欲求其准确值，须利用迭代法反复修正，直至求出的温度所对应的n 0与代入式(12-1)中的n 0接近相等为止。

其他温度所对应的本征载流子密度都比相应的电离杂质密度低很多数量级，n 0 =(1－D －)N D 的算法是合理的。

14.计算含有施主杂质浓度N D =9⨯1015 cm -3和受主杂质浓度N D =1.1⨯1016 cm -3的硅在300K 时的电子和空穴密度以及费米能级的位置。

解：由于杂质浓度都不高，可认为完全电离。

但因杂质补偿，其空穴密度应等于有效受主浓度，即
16151530 1.110910210A D p N N cm -=-=⨯-⨯=⨯
因而 210253
015
(1.510) 1.1310210
i o n n cm p -⨯===⨯⨯ 19
15
1.110ln 0.026ln 0.224eV 210V F V A D N E E kT N N ⨯-==⨯=-⨯
即费米能级位于价带顶以上0.224ev
21.试计算掺磷的硅、锗在室温下开始发生弱简并时的杂质浓度。

解：设发生弱简并时
2eV C F E E kT -==0.052
40
60
80
100
120
140
2
4
6
8
10
12
T = 124, Y = 3.75
T = 84, Y = 5.5
T = 59, Y = 7.8
N d =1015/cm
3
T/K
464/T
1.5*ln(T)-3.48
1.5*ln(T)-1.1
1.5*ln(T)+1.69
Y 0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
-6
-4-20
24
6810 1.5*ln(T)-10.5
1.5*ln(T)-8
T/K
N d =1018cm
-3
464/T
T=180,Y=2.57
1.5*ln(T)-5.22
T=427,Y=1.09
T=1374,Y=0.34
Y
已知磷在Si 中的电离能∆E D = 0.044eV ，硅室温下的N C =2.8⨯1019 cm -3
磷在Ge 中的电离能∆E D = 0.0126eV ，锗室温下的N C =1.1⨯1019 cm -3
对只含一种施主杂质的n 型半导体，按参考书中式（3-112）计算简并是的杂质浓度。

将弱简并条件02C F E E k T -=带入该式，得
对
Si:
0.04419
21830.026
12
12)/2(2)7.810cm ;
/2(2) 1.29310D N e e
F F ---=
+-=⨯-=⨯式中，
对
Ge: 0.0012619
2
1830.026
12)/2(2) 2.310cm D N e e
F --=
+-=⨯
22.利用上题结果，计算掺磷的硅、锗的室温下开始发生弱简并时有多少施主发生电
离？导带中电子浓度为多少？
解：已知电离施主的浓度
2121212F D
F C C D D D D
D
D E E E E E E E kT
kT
kT
kT
N N N n e
e e
e
e
+----=
==
+++V
对于硅：0.04420.026
0.40512D
D D N n N e e
+
-==+，1818300.4057.810 3.1610cm D
n n +
-==⨯⨯=⨯ 对于锗：0.01262
0.0260.69412D
D D N n N e e
+
-==+，1818300.694 2.310 1.610cm D
n n +
-==⨯⨯=⨯
第四章习题及答案
1. 300K 时，Ge 的本征电阻率为47Ωcm ，如电子和空穴迁移率分别为3900cm 2/( V.S)和1900cm 2/( V.S)。

试求Ge 的载流子浓度。

解：在本征情况下，i n p n ==,由)
(/p n i p n u u q n pqu nqu +=+=
=1
11σρ知
313191029219003900106021471
1
--⨯=+⨯⨯⨯=
+=
cm u u q n p n i .)
(.)
(ρ
2. 试计算本征Si 在室温时的电导率，设电子和空穴迁移率分别为1350cm 2/( V.S)和500cm 2/( V.S)。

当掺入百万分之一的As 后，设杂质全部电离，试计算其电导率。

比本征Si 的电导率增大了多少倍？
解：300K 时，)/(),/(S V cm u S V cm u p n ⋅=⋅=225001350，查表3-2或图3-7可知，
室温下Si 的本征载流子浓度约为3101001-⨯=cm n i .。

本征情况下，
cm S +.u u q n pqu nqu -p n i p n /.)()(6191010035001350106021101-⨯=⨯⨯⨯⨯=+=+=σ
金钢石结构一个原胞内的等效原子个数为8421
6818=+⨯+⨯个，查看附录B 知Si
的晶格常数为0.543102nm ，则其原子密度为
3223
71051054310208
--⨯=⨯cm )
.(。

掺入百万分之一的As,杂质的浓度为316221051000000
1
105-⨯=⨯
⨯=cm N D ，杂质全
部电离后，i D n N >>，这种情况下，查图4-14（a ）可知其多子的迁移率为800 cm 2/( V.S)
cm S .qu N -n D /.'
'468001060211051916=⨯⨯⨯⨯=≈σ
比本征情况下增大了6
6
101210346⨯=⨯=-..'σσ倍 3. 电阻率为10Ω.m 的p 型Si 样品，试计算室温时多数载流子和少数载流子浓度。

解：查表4-15(b)可知，室温下，10Ω.m 的p 型Si 样品的掺杂浓度N A 约为3151051-⨯cm .,查表3-2或图3-7可知，室温下Si 的本征载流子浓度约为3101001-⨯=cm n i .,i A n N >>
3151051-⨯=≈cm N p A .
3415
2102
107610
511001-⨯=⨯⨯==cm p n n i ..).( 4. 0.1kg 的Ge 单晶，掺有3.2⨯10-9kg 的Sb ，设杂质全部电离，试求该材料的电阻率[μn =0.38m 2/( V.S),Ge 的单晶密度为5.32g/cm 3,Sb 原子量为121.8]。

解：该Ge 单晶的体积为：381832
51000
10cm V ...=⨯=
;
Sb 掺杂的浓度为：314239104288181002568
1211000
1023cm N D ⨯=⨯⨯⨯⨯=
-../... 查图3-7可知，室温下Ge 的本征载流子浓度313102-⨯≈cm n i ，属于过渡区
3141413010681048102-⨯=⨯+⨯=+=cm N p n D ..
cm nqu n ⋅Ω=⨯⨯⨯⨯⨯=≈
=-911038010602110681
114
1914..../σρ
5. 500g 的Si 单晶，掺有4.5⨯10-5g 的B ，设杂质全部电离，试求该材料的电阻率[μp =500cm 2/( V.S),硅单晶密度为2.33g/cm 3,B 原子量为10.8]。

解：该Si 单晶的体积为：3621433
2500
cm V ..==
; B 掺杂的浓度为：316235
1017162141002568
101054cm N A ⨯=⨯⨯⨯=
-../... 查表3-2或图3-7可知，室温下Si 的本征载流子浓度约为3101001-⨯=cm n i .。

因为i A n N >>，属于强电离区，31610121-⨯=≈cm N p A .
cm pqu p ⋅Ω=⨯⨯⨯⨯=≈
=-11500
106021101711
111916.../σρ 6. 设电子迁移率0.1m 2/( V •S),Si 的电导有效质量m c =0.26m 0, 加以强度为104V/m 的电场，试求平均自由时间和平均自由程。

解：由c
n
n m q τμ=
知平均自由时间为 s .q m -c n n 1319311048110602110108926010⨯=⨯⨯⨯⨯==--)./(.../μτ 平均漂移速度为
134********-⨯=⨯==ms .E v n .μ
平均自由程为
m .v l n 1013310481104811001--⨯=⨯⨯⨯==..τ
7 长为2cm 的具有矩形截面的G e 样品，截面线度分别为1mm 和2mm ，掺有1022m -3受主，试求室温时样品的电导率和电阻。

再掺入5⨯1022m -3施主后，求室温时样品的电导率和电阻。

解：31632210011001--⨯=⨯=cm .m .N A ，查图4-14（b ）可知，这个掺杂浓度下，Ge 的迁移率p u 为1500 cm 2/( V.S),又查图3-7可知，室温下Ge 的本征载流子浓度
313102-⨯≈cm n i ，i A n N >>，属强电离区，所以电导率为
cm pqu p ⋅Ω=⨯⨯⨯⨯==-42150010602110011916...σ 电阻为
Ω=⨯⨯=⋅==7412010422....s l s l R σρ
掺入5⨯1022m -3施主后
31632210041004--⨯=⨯=-=cm .m .N N n A D
总的杂质总和3161006-⨯=+=cm .N N N A D i ，查图4-14（b ）可知，这个浓度下，Ge 的迁移率n u 为3000 cm 2/( V.S),
cm nqu nqu n n ⋅Ω=⨯⨯⨯⨯===-219300010602110041916...'σ 电阻为
Ω=⨯⨯=⋅==252
0102192....'s l s l R σρ
8. 截面积为0.001cm 2圆柱形纯Si 样品，长1mm,接于10V 的电源上，室温下希望通过0.1A 的电流，问： ①样品的电阻是多少？ ②样品的电阻率应是多少？ ③应该掺入浓度为多少的施主？
解：① 样品电阻为Ω===
1001
010.I V R ② 样品电阻率为cm l Rs ⋅Ω=⨯==110001
0100..ρ
③ 查表4-15（b ）知，室温下，电阻率cm ⋅Ω1的n 型Si 掺杂的浓度应该为
315105-⨯cm 。

9. 试从图4-13求杂质浓度为1016cm -3和1018cm -3的Si ，当温度分别为-50O C 和+150O C 时的电子和空穴迁移率。

解：电子和空穴的迁移率如下表，迁移率单位cm 2/( V.S)
10. 试求本征Si 在473K 时的电阻率。

解：查看图3-7，可知，在473K 时，Si 的本征载流子浓度3141005-⨯=cm n i .，在这个
浓度下，查图4-13可知道)/(s V cm u n ⋅≈2600，)/(s V cm u p ⋅≈2400
cm u u q n p n i i i ⋅Ω=+⨯⨯⨯⨯=
+=
=-5126004001060211051
1119
14.)
(.)
(/σρ 11. 截面积为10-3cm 2,掺有浓度为1013cm -3的p 型Si 样品，样品内部加有强度为103V/cm 的电场，求；
①室温时样品的电导率及流过样品的电流密度和电流强度。

②400K 时样品的电导率及流过样品的电流密度和电流强度。

解：
①查表4-15（b ）知室温下，浓度为1013cm -3的p 型Si 样品的电阻率为cm ⋅Ω≈2000ρ，则电导率为cm S //41051-⨯≈=ρσ。

电流密度为2345010105cm A E J /.=⨯⨯==-σ 电流强度为A Js I 431051050--⨯=⨯==.
②400K 时，查图4-13可知浓度为1013cm -3的p 型Si 的迁移率约为)/(s V cm u p ⋅=2500，则电导率为cm S pqu p /.4191310850010602110--⨯=⨯⨯⨯==σ 电流密度为2348010108cm A E J /.=⨯⨯==-σ 电流强度为A Js I 431081080--⨯=⨯==.
12. 试从图4-14求室温时杂质浓度分别为1015，1016，1017cm -3的p 型和n 型Si 样品的空穴和电子迁移率，并分别计算他们的电阻率。

再从图4-15分别求他们的电阻率。

硅的杂质浓度在1015-1017cm -3范围内，室温下全部电离，属强电离区，D N n ≈或A N p ≈
电阻率计算用到公式为p pqu 1=
ρ 或n
nqu 1
=ρ 13.掺有1.1⨯1016硼原子cm -3和9⨯1015磷原子cm -3的S i 样品，试计算室温时多数载流子和少数载流子浓度及样品的电阻率。

解：室温下，Si 的本征载流子浓度3101001cm n i /.⨯= 有效杂质浓度为：i D A n cm N N >>⨯=⨯-⨯=-31515161021091011/.，属强电离区
多数载流子浓度315102cm N N p D A /⨯=-≈
少数载流子浓度3415
20
02
10510
2101cm p n n i /⨯=⨯⨯== 总的杂质浓度316102cm N N N D A i /⨯=+≈，查图
4-14（a ）知，
,/s V cm u p ⋅≈2400多子 s V cm u n ⋅≈/21200少子 电阻率为
cm .qp u nqu pqu -p n p ..Ω=⨯⨯⨯⨯=≈+=
87400
1021060211
111519ρ
14. 截面积为0.6cm 2、长为1cm 的 n 型GaAs 样品，设u n =8000 cm 2/( V •S),n=1015cm -3，试求样品的电阻。

解：cm .nqu -n ..Ω=⨯⨯⨯⨯==
7808000
1011060211
115
19ρ 电阻为Ω=⨯==31601780../.s
l
R ρ
15. 施主浓度分别为1014和1017cm -3的两个Ge 样品，设杂质全部电离： ①分别计算室温时的电导率；
②若于两个GaAs 样品，分别计算室温的电导率。

解：查图4-14（b ）知迁移率为
Ge 材料，
浓度为1014cm -3，cm S .nqu -n /.077048001011060211419=⨯⨯⨯⨯==σ 浓度为1017cm -3，cm S .nqu -n /.14830001011060211719=⨯⨯⨯⨯==σ GaAs 材料，
浓度为1014cm -3，cm S .nqu -n /.128080001011060211419=⨯⨯⨯⨯==σ 浓度为1017cm -3，cm S .nqu -n /.38352001011060211719=⨯⨯⨯⨯==σ
16. 分别计算掺有下列杂质的Si ，在室温时的载流子浓度、迁移率和电阻率： ①硼原子3⨯1015cm -3;
②硼原子1.3⨯1016cm -3+磷原子1.0⨯1016cm -3 ③磷原子1.3⨯1016
cm -3
+硼原子1.0⨯1016
cm
④磷原子3⨯1015cm -3+镓原子1⨯1017cm -3+砷原子1⨯1017cm -3。

解：室温下，Si 的本征载流子浓度3101001cm n i /.⨯=，硅的杂质浓度在1015-1017cm -3范围内，室温下全部电离，属强电离区。

①硼原子3⨯1015cm -3
3
15
103cm N p A /⨯=≈ 3
415
202
103310
3101cm p n n i /.⨯=⨯⨯== 查图4-14（a ）知，s V cm p ⋅=/2480μ
cm .qN u -A p ..Ω=⨯⨯⨯⨯==
34480
1031060211
115
19ρ ②硼原子1.3⨯1016cm -3+磷原子1.0⨯1016cm -3
3
15
3
16
103100131cm cm N N p D A //)..(⨯=⨯-=-≈ ,3415
20
2
103310
3101cm p n n i /.⨯=⨯⨯== 3161032cm N N N D A i /.⨯=+=，查图4-14（a ）知，s V cm p ⋅=/2350μ
cm .qp u -p ..Ω=⨯⨯⨯⨯=≈
95350
1031060211
115
19ρ ③磷原子1.3⨯1016cm -3+硼原子1.0⨯1016cm
3
15
3
16
103100131cm cm N N n A D //)..(⨯=⨯-=-≈ ,3
415
202
103310
3101cm n n p i /.⨯=⨯⨯== 3161032cm N N N D A i /.⨯=+=，查图4-14（a ）知，s V cm n ⋅=/21000μ
cm .qp u -n ..Ω=⨯⨯⨯⨯=≈
121000
1031060211
115
19ρ ④磷原子3⨯1015cm -3+镓原子1⨯1017cm -3+砷原子1⨯1017cm -3
3
152
1103cm N N N n D A D /⨯=+-≈ ,3415
202
103310
3101cm n n p i /.⨯=⨯⨯== 3172110032cm N N N N D D A i /.⨯=++=，查图4-14（a ）知，s V cm n ⋅=/2500μ
cm .qp u -n ..Ω=⨯⨯⨯⨯=≈
24500
1031060211
11519ρ 17. ①证明当u n ≠u p 且电子浓度n=n i p n i n p u u n p u u =,时，材料的电导率最小，并求σmin 的表达式。

解：n p i n p nqu qu n n
nqu pqu +=+=2
σ
p i n p i u n n q dn d u u n
n q dn d 3
2
2222
2=+-=σ
σ
),( 令p u i n p i n p i u u n p u u n n u u n
n dn d /,/)(==⇒=+-⇒=0022
σ
0223
2
2
2>===p
p i n n p n
p n p i i
u u n n u u n u u q
u u u u u n n q
dn d n
p i /)/(/σ
因此，n p i u u n n /=为最小点的取值
p u i n n p i p p u i u u qn u u u n u u u n q 2=+=)//(min σ
②试求300K 时Ge 和Si 样品的最小电导率的数值，并和本征电导率相比较。

查表4-1，可知室温下硅和锗较纯样品的迁移率
Si: cm S u u qn p u i /..min 7101910732500145010110602122--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==σ
cm S u u qn n p i i /.)(.)(61019101235001450101106021--⨯=+⨯⨯⨯⨯=+=σ
Ge: cm S u u qn p u i /..min 61019103881800380010110602122--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==σ
cm S u u qn n p i i /.)(.)(610191097818003800101106021--⨯=+⨯⨯⨯⨯=+=σ
18. InSB 的电子迁移率为7.5m 2/( V •S),空穴迁移率为0.075m 2/( V •S), 室温时本征载流子浓度为1.6⨯1016cm -3,试分别计算本征电导率、电阻率和最小电导率、最大电导率。

什么导电类型的材料电阻率可达最大。

解：cm S u u qn n p i i /.)(..)(21947507500010611060211619=+⨯⨯⨯⨯=+=-σ
cm i i ../Ω==05201σρ 借用17题结果
cm S u u qn p u i /...min 4538750750001061106021221619=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==-σ
cm ...//min max Ω===0260161211σρ
当p u i n p i u u n p u u n n /,/==时，电阻率可达最大，这时
7507500075000750//i i n p n n =<=，这时为P 型半导体。

19. 假设S i 中电子的平均动能为3k 0T /2，试求室温时电子热运动的均方根速度。

如将S i 置于10V/cm 的电场中，证明电子的平均漂移速度小于热运动速度，设电子迁移率为15000cm 2/( V •S).如仍设迁移率为上述数值，计算电场为104V/cm 时的平均漂移速度，并与热运动速度作一比较，。

这时电子的实际平均漂移速度和迁移率应为多少？
20. 试证G e 的电导有效质量也为 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+=t c m m m 213111
第5章 非平衡载流子
1. 一个n 型半导体样品的额外空穴密度为1013cm -3，已知空穴寿命为100μs ，计算空
穴的复合率。

解：复合率为单位时间单位体积内因复合而消失的电子-空穴对数，因此
13
1730
6
101010010
U cm s ρτ--===⋅⨯V 2. 用强光照射n 型样品，假定光被均匀吸收，产生额外载流子，产生率为g p ，空穴
寿命为τ，请
①写出光照开始阶段额外载流子密度随时间变化所满足的方程； ②求出光照下达到稳定状态时的额外载流子密度。

解：⑴光照下，额外载流子密度∆n =∆p ，其值在光照的开始阶段随时间的变化决定于产生和复合两种过程，因此，额外载流子密度随时间变化所满足的方程由产生率g p 和复合率U 的代数和构成，即
()p d p p
g dt τ
=-
V V ⑵稳定时额外载流子密度不再随时间变化，即()
0d p dt
=V ，于是由上式得
0p p p p g τ∆=-=
3. 有一块n 型硅样品，额外载流子寿命是1μs ，无光照时的电阻率是10Ω⋅cm 。

今用光照射该样品，光被半导体均匀吸收，电子-空穴对的产生率是1022/cm 3⋅s ，试计算光照下样品的电阻率，并求电导中少数载流子的贡献占多大比例？
解：光照被均匀吸收后产生的稳定额外载流子密度
226163101010 cm p p n g τ-∆=∆==⨯=－
取21350/()n cm V s μ=⋅，2
500/()p cm V s μ=⋅，则额外载流子对电导率的贡献
1619()10 1.610(1350500) 2.96 s/cm n p pq σμμ-=∆+=⨯⨯⨯+=V
无光照时00
1
0.1/s cm σρ=
=，因而光照下的电导率
0 2.960.1 3.06/s cm σσσ=+=+=V
相应的电阻率 1
1
0.333.06
cm ρσ
=
=
=Ω⋅ 少数载流子对电导的贡献为：p p p p q p pq pq g σμμτμ=≈=V 代入数据：16
19
0()10 1.610
5000.8/p p p p p q pq s cm σμμ-=+∆≈∆=⨯⨯⨯=
∴
00.8
0.26263.06
p σσσ
=
==+V ﹪ 即光电导中少数载流子的贡献为26﹪
4.一块半导体样品的额外载流子寿命τ =10μs ，今用光照在其中产生非平衡载流子，问光照突然停止后的20μs 时刻其额外载流子密度衰减到原来的百分之几？
解：已知光照停止后额外载流子密度的衰减规律为
0()t
P t p e τ-
=V V
因此光照停止后任意时刻额外载流子密度与光照停止时的初始密度之比即为
()
t P t e P τ-=V V 当5
20210t s s μ-==⨯时
202100
(20)
0.13513.5P e e P --====V V ﹪ 5. 光照在掺杂浓度为1016cm -3的n 型硅中产生的额外载流子密度为∆n=∆p= 1016cm -3。

计算无光照和有光照时的电导率。

解：根据新版教材图4-14（a ）查得N D =1016cm -3的n 型硅中多子迁移率
21100/()n cm V s μ=⋅
少子迁移率
2500/()p cm V s μ=⋅
设施主杂质全部电离，则无光照时的电导率
16190010 1.6101100 1.76 s/cm n n q σμ-==⨯⨯⨯=
有光照时的电导率
14190() 1.7610 1.610(1100400) 1.784 s/cm n p nq σσμμ-=+∆+=+⨯⨯⨯+=
6.画出p 型半导体在光照（小注入）前后的能带图，标出原来的费米能级和光照时的准费米能级。

光照前能带图 光照后（小注入）能带图
注意细节：
① p 型半导体的费米能级靠近价带；
② 因为是小注入，∆p <<p 0，即p =(p 0+∆p )≈p 0，因此E Fp 非常靠近E F ，但E Fp 必须在E F 之下，因为p 毕竟大于p 0
③ 即便是小注入，p 型半导体中也必是∆n >>n 0，故E Fn 要远比E F 更接近导带，但因为是小注入，∆n <<p 0，所以E Fn 距导带底的距离必大于E F 距价带顶的距离。

上述带色字所强调的两个细节学生容易忽略，要多加关注。

7. 光照在施主浓度N D =1015cm -3的n 型硅中产生额外载流子∆n=∆p=1014cm -3。

试计算这种情况下准费米能级的位置，并和原来的费米能级作比较。

解：设杂质全部电离，则无光照时0D n N = 由0i F E E kT
i n n e
--=得光照前
15
010
10ln 0.026ln 0.2891.510F i i i i n E E kT E E n =+=+=+⨯eV
光照后153
0 1.110n n n cm -=+=⨯V ,这种情况下的电子准费米能级
15
10
1.110ln 0.026ln 0.291 eV 1.510
Fn i i i i n E E kT E E n ⨯=+=+=+⨯ 空穴准费米能级
14
10
10ln 0.026ln 0.229 eV 1.510
F p
i i i i p E E kT E E n ==-=-⨯- 与E F 相比，电子准费米能级之差0.002 eV Fn F E E -=，相差甚微；而空穴准费米能级之差
0.518 eV F Fp E E -=，即空穴准费米能级比平衡费米能级下降了0.52eV 。

由此可见，对n 型半
导体，小注入条件下电子准费米能级相对于热平衡费米能级的变化很小，但空穴准费米能级变化
很大。

8. 在一块p 型半导体中，有一种复合－产生中心，小注入时，被这些中心俘获的电子发射回导带的过程和它与空穴复合的过程具有相同的几率。

试求这种复合－产生
E V
E F E Fn
E Fp
E C
中心的能级位置，并说明它能否成为有效的复合中心？
解：用E T 表示该中心的能级位置，参照参考书的讨论，知单位时间单位体积中由E T 能级发射回导带的电子数应等于E T 上俘获的电子数n T 与电子的发射几率S －之积（S －＝r n n 1），与价带空穴相复合的电子数则为r p pn T ；式中，r p p 可视为E T 能级上的电子与价带空穴相复合的几率。

由题设条件知二者相等，即
1n p r n r p =
式中1C T E E kT
C n N e
--=。

对于一般复合中心，n p r r ≈或相差甚小，因而可认为 n 1＝p ；再由小注入
条件p =(p 0+∆p )≈p 0，即得
10n p B
即
C T F V E E E E kT
kT
C V N e
N e
---
-
=
由此知
ln C
T C V F V
N E E E E kT N =+-- ∵本征费米能级01
(ln )2c i c v v
N E E E k T N =
+- ∴上式可写成2T i F E E E =-，或写成
T i i F E E E E -=-
室温下， p 型半导体F E 一般远在i E 之下，所以T E 远在i E 之上，故不是有效复合中心。

10.一块n 型硅内掺有1016cm -3的金原子，试求它在小注入时的寿命。

若一块p 型硅内也掺有1016cm -3的金原子，它在小注入时的寿命又是多少？
解：n 型Si 中金能级作为受主能级而带负电成为Au －
，其空穴俘获率
731.1510/p r cm s -=⨯
因而n 型Si 中的少子寿命
10
716
118.7101.151010
p p T s r N τ--=
=≈⨯⨯⨯ p 型Si 中金能级作为施主能级而带正电成为Au ＋
，其电子俘获率
836.310/n r cm s -=⨯
因而p 型Si 中的少子寿命
9816
11
1.59106.31010
n n T s r N τ--=
=≈⨯⨯⨯
11．在下述条件下，是否有载流子的净复合或者净产生：
① 载流子完全耗尽（即n ，p 都大大小于n i ）的半导体区域。

② 在只有少数载流子被耗尽（例如p n <<p n0而n n =n n0）的半导体区域。

③ 在n=p 的半导体区域，这里n >>n i 。

解：⑴载流子完全耗尽即意味着i n n =，i p n =，2
i np n =，因而额外载流子的复合率
002
0()()
i c i t i E E E E k T
k T
p i n i np n U n n e
p n e
ττ---=
<+++ 即该区域产生大于复合，故有载流子净产生。

⑵若0n n n n =，0n n p p =，则002
n n n n i n p n p n ==，即2i np n =
按上列复合率公式知该区域复合率U <0，故有载流子净产生。

⑶若n p =且i n n ?，则必有2
i np n ?，按上列复合率公式知该区域U >0，即该区域有载流
子的净复合。

12、对掺杂浓度N D =1016cm -3、少数载流子寿命τp =10μs 的n 型硅，求少数载流子全部
被外界清除时电子-空穴对的产生率。

（设E T =E i ）
解：在少数载流子全部被清除（耗尽）、即n 型硅中p=0的情况下，通过单一复合中心进行的复合过程的复合率公式 (5-42) 变成
2
()i p i n i
n U n n n ττ-=
++ 式中已按题设E T =E i 代入了n 1=p 1=n i 。

由于n =N D =1016cm -3，而室温硅的n i 只有1010cm -3量级，因而n +n i >>n i ，上式分母中的第二项可略去，于是得
2102931
61610
(1.510)U 2.2510 cm s ()1010(10 1.510)
i p i n n n τ----⨯===-⨯⋅+⨯⨯+⨯- 复合率为负值表示此时产生大于复合，电子-空穴对的产生率
9312.2510 cm s G U --=-=⨯⋅
另解：若非平衡态是载流子被耗尽，则恢复平衡态的驰豫过程将由载流子的复合变为热激发产生，产生率与少子寿命的乘积应等于热平衡状态下的少数载流子密度，因此得
220
01i i p p p D p n n G n N τττ==⋅=102931616
(1.510) 2.2510 cm s 101010
---⨯==⨯⋅⨯⨯ 注意：严格说，上式（产生率公式）中的少子寿命应是额外载流子的产生寿命而非小注入复合寿
命。

产生寿命 τsc 与小注入复合寿命τn 和τp 的关系为（见陈治明、王建农合著《半导体器件的材料物理学基础》p.111）：
T i
i T E E E E kT
kT
sc p n e
e
τττ--=+
13. 室温下，p 型锗中电子的寿命为τn =350μs ，电子迁移率μn =3600cm 2/V ⋅s ，试求电子的扩散长度。

解：由爱因斯坦关系知室温下半导体中电子的扩散系数
140
n n n kT D q μμ=
= 相应地，扩散长度
n n L ==
代入数据得室温下p 型Ge 中电子的扩散长度
221017.710 cm 1.77 mm n L --=
==⨯= 14. 某半导体样品具有线性分布的空穴密度，其3μm 内的密度差为1015cm -3，
μp =400cm 2/V ⋅s 。

试计算该样品室温下的空穴扩散电流密度。

解：按菲克第一定律，空穴扩散电流密度可表示为
()()
()p p p kT d p d p J D q
q dx q dx
μ==⋅V V 扩 式中，空穴密度梯度
()d p p dx x ≈V V V ，室温10.02640
kT ev ev ==，因此
1519
24
110()400 1.610 5.3A /cm 40310
p J --=⨯⨯⨯⨯=⨯扩
15. 在电阻率为1Ω⋅cm 的p 型硅中，掺金浓度N T =1015cm -3，由边界稳定注入的电子
密度 ∆n =1010cm -3，试求边界处的电子扩散电流。

解：在存在额外载流子（少子）一维密度梯度的半导体中，坐标为x 处的少子扩散电流可表示为
（对p 型材料）
()n
n n
D J qS q
n x L =-=-V n 式中D n 和L n 分别为电子的扩散系数和扩散长度。

为求其值，须知题设硅样品的电子迁移率和寿命。

由于迁移率是掺杂浓度的函数，因而需要了解该样品的电离杂质总浓度的大小。

于是，首先对ρ=1Ω⋅cm 的p 型硅由图4-15查得其受主浓度N A =1.6⨯1016cm -3，考虑电离杂质对载流子。