2020年河北省中考数学模拟试卷(七)(附解析)

2020年河北省中考数学模拟试卷（七）
一．选择题（本题共42分，第1-10题，每小题3分，第11-16题，每小题3分）
1．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．近期，新型冠状病毒感染肺炎的疫情在全国蔓延，全国人民团结一致，全力抗击新型冠状病毒感染肺炎．多国政府官员及机构高度赞赏并支持中国政府抗击疫情的有力措施，表示对中国早日战胜疫情充满信心，社会各界人士积极捐款．截止2月5日中午12点，武汉市慈善总会接收捐赠款约3230000000元.14亿中国人民众志成城、行动起来、战斗起来，一定能打赢这场疫情防控阻击战，将3230000000用科学记数法表示应为（ ）
A ．323×107
B ．32.3×108
C ．3.23×109
D ．3.23×1010
3．如图，点A 、O 、B 在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是（ ）
A ．12∠2﹣∠1
B ．12∠2−32∠1
C ．12（∠2﹣∠1）
D ．13（∠1+∠2） 4．“十一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元，设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A ．x •（1+30%）×80%＝2080
B ．x •30%•80%＝2080
C ．2080×30%×80%＝x
D ．x •30%＝2080×80% 5．关于x 的不等式组{x −m ＜03x −1＞2(x −1)
有解，那么m 的取值范围为（ ）
A ．m ≤﹣1
B ．m ＜﹣1
C ．m ≥﹣1
D ．m ＞﹣1
6．把方程x 2+8x ﹣3＝0化成（x +m ）2＝n 的形式，则m ，n 的值分别是（ ）
A ．4，13
B ．﹣4，19
C ．﹣4，13
D ．4，19
7．如图，小明在以∠A 为顶角的等腰三角形ABC 中用圆规和直尺作图，作出过点A 的射线交BC 于点D ，然后又作出一条直线与AB 交于点E ，连接DE ，若△ABC 的面积为4，则△BED 的面积为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 8．已知点A （2，3）在反比例函数y ═k x （k ≠0）的图象上，当x ＞﹣2时，则y 的取值范围
是（ ）
A ．y ＞﹣3
B ．y ＜﹣3或y ＞0
C ．y ＜﹣3
D ．y ＞﹣3或y ＞0
9．如图，AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于E ，则下面结论中错误的是（ ）
A ．CE ＝DE
B ．B
C ̂=B
D ̂ C ．∠BAC ＝∠BAD D ．O
E ＝BE
10．一个不透明的布袋里装有3个红球，2个黑球，若干个白球；从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是37，袋中白球共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
11．若关于x 的方程
2x+m x+2=−1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜﹣2 B ．m ＞﹣2
C ．m ＜﹣2且m ≠4
D ．m ＞﹣2且m ≠4 12．如图，正六边形的中心为原点O ，点A 的坐标为（0，4），顶点
E （﹣1，√3），顶点B （1，√3），设直线AE 与y 轴的夹角∠EAO 为α，现将这个六边形绕中心O 旋转，则当α取最大角时，它的正切值为（ ）
A ．12
B ．1
C ．√33
D ．4+√313
13．如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为（ ）
A ．66°
B ．104°
C ．114°
D ．124° 14．如果ab ＞0，bc ＜0，则一次函数y =−a b x +c b 的图象的大致形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
15．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：
①abc ＜0②b ＜c ③3a +c ＝0④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3
其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 16．已知抛物线y =−316
（x ﹣1）（x ﹣9）与x 轴交于A ，B 两点，对称轴与抛物线交于点C ，与x 轴交于点D ，⊙C 的半径为2，G 为⊙C 上一动点，P 为AG 的中点，则DP 的最大值为（ ）
A ．72
B ．2√3
C ．√412
D ．5
二．填空题（17小题3分；18小题4分；19小题2空，每空2分,共11分）
17．方程x 2＝﹣4x 的解是 ．
18．买一个篮球需要m元，买一个排球需要n元，则买3个篮球和5个排球共需要元．19．定义新运算：a&b＝a（1﹣b），其中等号右边是常规的乘法和减法运算，例如：（﹣1）&1＝（﹣1）×（1﹣1）＝0．
（1）计算：（1+2）&2＝．
（2）若a&a+b&b＝2ab．则a与b的关系：．
三．解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（8分）数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号①、②、③，摆成如图所示的一个等式，然后翻开纸片②是4x2+5x+6，翻开纸片③是3x2﹣x﹣2．
解答下列问题
（1）求纸片①上的代数式；
（2）若x是方程2x＝﹣x﹣9的解，求纸片①上代数式的值．
21．（9分）观察下列等式：
12×231＝132×21，
13×341＝143×31
23×352＝253×32，
34×473＝374×43，
62×286＝682×26，
……
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52×＝×25
②×396＝693×；
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a，b），并证明；
（3）若（2）中a，b表示一个两位数，例如a＝11，b＝22，则1122×223311＝113322×2211，请写出表示这类“数字对称等式”一般规律的式子（含a，b），并写出a+b的取值范围．
22．（9分）某学校是乒乓球体育传统项目校，为进一步推动该项目的发展．学校准备到体育用品店购买甲、乙两种型号乒乓球若干个，已知3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元．
（1）求1个甲种乒乓球和1个乙种乒乓球的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的乒乓球共200个，要求甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
23．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．（1）求证：MN是⊙O的切线．
（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC 于点F．
①求证：FD＝FG．
②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，直
线AB与反比例函数y=m
x（m＞0）在第一象限的图象交于点C、点D，其中点C的坐标
为（1，8），点D的坐标为（4，n）．
（1）分别求m、n的值；
（2）连接OD，求△ADO的面积．
25．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＜60°，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，点E与点D关于直线BC对称，连接CD，CE，DE．
（1）依题意补全图形；
（2）判断△CDE的形状，并证明；
（3）请问在直线CE上是否存在点P，使得P A﹣PB＝CD成立？若存在，请用文字描述出点P的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．
26．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．
（1）求二次函数的关系式；
（2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若OD＝m，△PCD的面积为S，
①求S与m的函数关系式，写出自变量m的取值范围．
②当S取得最值时，求点P的坐标；
（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．
C．D．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．近期，新型冠状病毒感染肺炎的疫情在全国蔓延，全国人民团结一致，全力抗击新型冠状病毒感染肺炎．多国政府官员及机构高度赞赏并支持中国政府抗击疫情的有力措施，表示对中国早日战胜疫情充满信心，社会各界人士积极捐款．截止2月5日中午12点，武汉市慈善总会接收捐赠款约3230000000元.14亿中国人民众志成城、行动起来、战斗起来，一定能打赢这场疫情防控阻击战，将3230000000用科学记数法表示应为（）A．323×107B．32.3×108C．3.23×109D．3.23×1010
解：3 230 000 000＝3.23×109，
故选：C．
3．如图，点A、O、B在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是（）
A ．12∠2﹣∠1
B ．12∠2−32∠1
C ．12（∠2﹣∠1）
D ．13（∠1+∠2） 解：由图知：∠1+∠2＝180°；
∴12（∠1+∠2）＝90°；
∴90°﹣∠1=12（∠1+∠2）﹣∠1=12（∠2﹣∠1）．
故选：C ．
4．“十一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元，设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A ．x •（1+30%）×80%＝2080
B ．x •30%•80%＝2080
C ．2080×30%×80%＝x
D ．x •30%＝2080×80% 解：设该电器的成本价为x 元，
由题意得，x （1+30%）×80%＝2080．
故选：A ．
5．关于x 的不等式组{x −m ＜03x −1＞2(x −1)
有解，那么m 的取值范围为（ ） A ．m ≤﹣1
B ．m ＜﹣1
C ．m ≥﹣1
D ．m ＞﹣1 解：{x −m ＜03x −1＞2(x −1)
， 解不等式x ﹣m ＜0，得：x ＜m ，
解不等式3x ﹣1＞2（x ﹣1），得：x ＞﹣1，
∵不等式组有解，
∴m＞﹣1．
故选：D．
6．把方程x2+8x﹣3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值分别是（）A．4，13B．﹣4，19C．﹣4，13D．4，19
解：∵x2+8x﹣3＝0，
∴x2+8x＝3，
∴x2+8x+16＝3+16，即（x+4）2＝19，
∴m＝4，n＝19，
故选：D．
7．如图，小明在以∠A为顶角的等腰三角形ABC中用圆规和直尺作图，作出过点A的射线交BC于点D，然后又作出一条直线与AB交于点E，连接DE，若△ABC的面积为4，则△BED的面积为（）
A．1B．2C．3D．4
解：∵△ABC是等腰三角形，
根据作图可知：
AD是顶角A的平分线，
∴点D是BC的中点，
∴S △ABD =12S △ABC ＝2
∵点E 是AB 的中点，
∴S △BED =12S ABD ＝1．
故选：A ．
8．已知点A （2，3）在反比例函数y ═k x （k ≠0）的图象上，当x ＞﹣2时，则y 的取值范围
是（ ）
A ．y ＞﹣3
B ．y ＜﹣3或y ＞0
C ．y ＜﹣3
D ．y ＞﹣3或y ＞0 解：根据题意得k ＝2×3＝6，
∴y =6x ，
∴图象在一三象限，在每个象限内y 随x 增大而减小，
当x ＝﹣2时，y =6−2=−3，
∴当x ＞﹣2时，y ＜﹣3或y ＞0．
故选：B ．
9．如图，AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于E ，则下面结论中错误的是（ ）
A ．CE ＝DE
B ．B
C ̂=B
D ̂ C ．∠BAC ＝∠BAD D ．O
E ＝BE 解：根据垂径定理和等弧对等弦，得A 、B 、C 正确，只有D 错误．
故选：D ．
10．一个不透明的布袋里装有3个红球，2个黑球，若干个白球；从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是37，袋中白球共有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 解：设白球有x 个，
根据题意，得：
33+2+x =37， 解得：x ＝2， 即袋中白球有2个，
故选：B ．
11．若关于x 的方程
2x+m x+2=−1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜﹣2 B ．m ＞﹣2 C ．m ＜﹣2且m ≠4 D ．m ＞﹣2且m ≠4
解：由方程2x+m x+2
=−1，解得：x =−2−m 3 ∵解是负数，且x ≠﹣2
∴−2−m 3＜0且−2−m 3≠−2
∴m ＞﹣2且≠4
故选：D ．
12．如图，正六边形的中心为原点O ，点A 的坐标为（0，4），顶点E （﹣1，√3），顶点B （1，√3），设直线AE 与y 轴的夹角∠EAO 为α，现将这个六边形绕中心O 旋转，则当α取最大角时，它的正切值为（ ）
A ．12
B ．1
C ．√33
D ．4+√313
解：如图所示，连接AM ，
∵正六边形是中心对称图形，绕中心O 旋转时，点E 与B 重合时，α的角度不变； 点E 与F 、M 重合时，α的角度不变；
点E 与G 、H 重合时，α的角度不变，此时角度最小；
∵AN ＝4−√3，EN ＝1，OM ＝OE =√12+(√3)2=2，
∴tan ∠EAN =
EN AN =14−√3=4+√313，tan ∠MAO =OM OA =24=12； 当OE ⊥AE 时，α角是最大的，
∵OE ＝2，OA ＝4，
∴α＝30°， ∴tan α=√33
∴当α取最大角时，它的正切值为
√33
； 故选：C ．
13．如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为（ ）
A ．66°
B ．104°
C ．114°
D ．124°
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠ACD ＝∠BAC ，
由折叠的性质得：∠BAC ＝∠B ′AC ，
∴∠BAC ＝∠ACD ＝∠B ′AC =12∠1＝22°，
∴∠B ＝180°﹣∠2﹣∠BAC ＝180°﹣44°﹣22°＝114°；
故选：C ．
14．如果ab ＞0，bc ＜0，则一次函数y =−a b x +c b 的图象的大致形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
解：根据题意，ab ＞0，bc ＜0，
则a b ＞0，c b
＜0， ∴在一次函数y =−a b x +c b 中，
有−a b ＜0，c b
＜0， 故其图象过二三四象限，
分析可得D 符合，
故选：D ．
15．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：
①abc ＜0②b ＜c ③3a +c ＝0④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个解：①对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．
∴abc＜0．
故①正确；
②∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为直线x=−b
2a
=1，
∴b＝﹣2a．
∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，
∴b﹣c＝﹣2a+3a＝a＜0，即b＜c，
故②正确；
③∵x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴c ＝﹣3a ，
∴3a +c ＝0．
故③正确；
④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x 轴的另一交点坐标是（3，0）．
∴当y ＞0时，﹣1＜x ＜3
故④正确．
综上所述，正确的结论有4个．
故选：D ．
16．已知抛物线y =−316（x ﹣1）（x ﹣9）与x 轴交于A ，B 两点，对称轴与抛物线交于点C ，与x 轴交于点D ，⊙C 的半径为2，G 为⊙C 上一动点，P 为AG 的中点，则DP 的最大值为（ ）
A ．72
B ．2√3
C ．√412
D ．5
解：如图，连接BG ．
P 为AG 中点，D 为AB 中点，所以PD 是△ABG 的中位线，则DP =12BG ，当BG 最大时，则DP 最大．
由圆的性质可知，当G 、C 、B 三点共线时，BG 最大．
∵C （5，3），B （9，0），
∴BC =√32+42=5，
∴BG 的最大值为2+5＝7，
∴DP 的最大值为72．
故选：A ．
二．填空题（共3小题）
17．方程x 2＝﹣4x 的解是 x 1＝0，x 2＝﹣4 ．
解：x 2＝﹣4x ，
x 2+4x ＝0，
x （x +4）＝0，
x 1＝0，x 2＝﹣4
故答案为x 1＝0，x 2＝﹣4．
18．买一个篮球需要m 元，买一个排球需要n 元，则买3个篮球和5个排球共需要 （3m +5n ） 元．
解：买3个篮球和5个排球共需要（3m+5n）元．
故答案为：3m+5n
19．定义新运算：a&b＝a（1﹣b），其中等号右边是常规的乘法和减法运算，例如：（﹣1）&1＝（﹣1）×（1﹣1）＝0．
（1）计算：（1+2）&2＝﹣3．
（2）若a&a+b&b＝2ab．则a与b的关系：a＝﹣b或a＝1﹣b．
解：（1）∵a&b＝a（1﹣b），
∴（1+2）&2
＝3&2
＝3×（1﹣2）
＝3×（﹣1）
＝﹣3，
故答案为：﹣3；
（2）∵a&a+b&b＝2ab，
∴a（1﹣a）+b（1﹣b）＝2ab，
∴a﹣a2+b﹣b2＝2ab，
∴a+b＝a2+2ab+b2
∴a+b＝（a+b）2，
∴（a+b）2﹣（a+b）＝0，
∴（a+b）（a+b﹣1）＝0，
∴a+b＝0或a+b﹣1＝0，
∴a＝﹣b或a＝1﹣b，
故答案为：a＝﹣b或a＝1﹣b．
三．解答题（共7小题）
20．数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号①、②、③，摆成如图所示的一个等式，然后翻开纸片②是4x2+5x+6，翻开纸片③是3x2﹣x﹣2．
解答下列问题
（1）求纸片①上的代数式；
（2）若x是方程2x＝﹣x﹣9的解，求纸片①上代数式的值．
解：
（1）纸片①上的代数式为：
（4x2+5x+6）+（3x2﹣x﹣2）
＝4x2+5x+6+3x2﹣x﹣2
＝7x2+4x+4
（2）解方程：2x＝﹣x﹣9，解得x＝﹣3
代入纸片①上的代数式得
7x2+4x+4
＝7×（﹣3）2+4×（﹣3）+4
＝55
即纸片①上代数式的值为55
21．观察下列等式：
12×231＝132×21，
13×341＝143×31
23×352＝253×32，
34×473＝374×43，
62×286＝682×26，
……
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52×275＝572×25
②63×396＝693×36；
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a，b），并证明；
（3）若（2）中a，b表示一个两位数，例如a＝11，b＝22，则1122×223311＝113322×2211，请写出表示这类“数字对称等式”一般规律的式子（含a，b），并写出a+b的取值范围．
解：（1）观察可知：若两位数的个位数字、十位数字、个位数与十位数之和分别是三位数的百位上的数字、个位上的数字、十位上的数字，这样的两位数与三位数的积，则等于这个三位数与两位数各自交换个位数字与十位数字所得的三位数与两位数的积，∴①52×275＝572×25
②63×396＝693×36．
故答案为275、572，63、36；
（2）（10a +b ）•[100b +10（a +b ）+a ]＝[100a +10（a +b ）+b ]•（10b +a ）
验证：等式左边＝（10a +b ）•（110b +11a ）
＝11（10a +b ）（10b +a ）
等式右边＝（110a +11b ）（10b +a ）
＝11（10a +b ）（10b +a ）
左边＝右边．
答：表示“数字对称等式”一般规律的式子为）（10a +b ）•[100b +10（a +b ）+a ]＝[100a +10（a +b ）+b ]•（10b +a ）；
（3）规律：若a ＝11m ，b ＝11n ，（m 、n 均为1至8的自然数），且22≤a +b ≤99，则 （100a +b ）[10000b +100（a +b ）+a ]＝[10000a +100（a +b ）+b ]（100b +a ）．
a +
b 的取值范围为：22≤a +b ≤99．
22．某学校是乒乓球体育传统项目校，为进一步推动该项目的发展．学校准备到体育用品店购买甲、乙两种型号乒乓球若干个，已知3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元．
（1）求1个甲种乒乓球和1个乙种乒乓球的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的乒乓球共200个，要求甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
解：（1）设1个甲种乒乓球的售价是x 元，1个乙种乒乓球的售价是y 元，
依题意，得：{3x +5y =502x +3y =31
，
解得：{x =5y =7
． 答：1个甲种乒乓球的售价是5元，1个乙种乒乓球的售价是7元．
（2）设购买甲种乒乓球a 个，费用为w 元，则购买乙种乒乓球（200﹣a ）个， 依题意，得：w ＝5a +7（200﹣a ）＝﹣2a +1400．
∵a ≤3（200﹣a ），
∴a ≤150．
∵﹣2＜0，
∴w 值随a 值的增大而减小，
∴当a ＝150时，w 取得最小值，此时w ＝1100，200﹣a ＝50．
答：当购买甲种乒乓球150个，乙种乒乓球50个时最省钱．
23．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，过点A 作直线MN ，且∠MAC ＝∠ABC ．
（1）求证：MN 是⊙O 的切线．
（2）设D 是弧AC 的中点，连结BD 交AC 于点G ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ．
①求证：FD ＝FG ．
②若BC ＝3，AB ＝5，试求AE 的长．
（1）证明：∵AB 是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°；
∵∠MAC＝∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB＝90°，即MA⊥AB，
∴MN是⊙O的切线；
（2）①证明：∵D是弧AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABD，
∵AB是直径，
∴∠CBG+∠CGB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠FDG+∠ABD＝90°，
∵∠DBC＝∠ABD，
∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，
∴FD＝FG；
②解：连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．
∵∠DBC＝∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，
∴DE＝DH，
在Rt△BDE与Rt△BDH中，
{DH=DE
BD=BD，
∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），
∴BE＝BH，
∵D是弧AC的中点，
∴AD＝DC，
在Rt△ADE与Rt△CDH中，
{DE=DH
AD=CD，
∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）．
∴AE＝CH．
∴BE＝AB﹣AE＝BC+CH＝BH，即5﹣AE＝3+AE，
∴AE＝1．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线AB与
反比例函数y=m
x（m＞0）在第一象限的图象交于点C、点D，其中点C的坐标为（1，
8），点D 的坐标为（4，n ）．
（1）分别求m 、n 的值；
（2）连接OD ，求△ADO 的面积．
解：（1）∵反比例函数y =m x （m ＞0）在第一象限的图象交于点C （1，8）， ∴8=m 1，
∴m ＝8，
∴函数解析式为y =8x ，
将D （4，n ）代入y =8x 得，n =84
=2． （2）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，由题意得 {k +b =84k +b =2
， 解得 {k =−2b =10
， ∴直线AB 的函数解析式为y ＝﹣2x +10，
令x ＝0，则y ＝10，
∴A （0，10），
∴△ADO 的面积=12×10×4=20=20．
25．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＜60°，将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到点
D，点E与点D关于直线BC对称，连接CD，CE，DE．
（1）依题意补全图形；
（2）判断△CDE的形状，并证明；
（3）请问在直线CE上是否存在点P，使得P A﹣PB＝CD成立？若存在，请用文字描述出点P的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．
解：（1）补全图形如图1．
（2）△CDE为等边三角形，证明如下：
延长BC与DE交于F，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，①
∵线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，
∴AD＝AB＝AC，∠BAD＝60°，
∴∠ACD＝∠ADC，②
∵四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA＝360°．∴∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠ADC＝300°，③
∴由①②③，得∠ACB+∠ACD＝150°，
即∠BCD＝150°，
∴∠DCF＝180°﹣∠BCD＝30°，
∵点E与点D关于直线BC对称，
∴∠ECF＝∠DCF＝30°，DC＝CE，
∴∠DCE＝60°．
∴△DCE是等边三角形；
（3）存在，作AG⊥BC于G，直线EC与AG的交点即为点P，
证明：延长AG与DC交于点Q，连接QB，BD，
由（2）可知，∠PCD＝180°﹣∠DCE＝120°，∠PCQ＝∠DCE＝60°，∠PCG＝∠FCE ＝30°，
∴∠CPG＝90°﹣∠PCG＝60°，
∴∠PQC＝∠CPQ＝∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴PC＝CQ，∠APC＝120°﹣∠PCD，①
∵AG⊥BC，AC＝BC，
∴AG垂直平分BC，
∴PB＝PC＝QB＝QC，
∴四边形PBQC是菱形，
∴PB＝QC，∠PBQ＝∠PCQ＝60°，②
∵QB＝QC，
∴∠QBC＝∠QCB，
∴∠ABQ＝∠ACQ，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝60°＝∠PCQ，
∴∠ABQ﹣∠ABD＝∠ACQ﹣∠PCQ，
∴∠DBQ＝∠ACP，③
∴由①②③得△ACP≌△DBQ（AAS），
∴AP＝DQ．
∵CQ＝PB，
∴AP＝DQ＝DC+CQ＝DC+PB．
即P A﹣PB＝CD成立．
26．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．
（1）求二次函数的关系式；
（2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若OD＝m，△PCD的面积为S，
①求S与m的函数关系式，写出自变量m的取值范围．
②当S取得最值时，求点P的坐标；
（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）将点B （3，0），C （0，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，
得 {0=−9+3b +3c =3
， 解得，{b =2c =3
， ∴二次函数的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；
（2）①∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，
∴顶点M （1，4），
设直线BM 的解析式为y ＝kx +b ，
将点B （3，0），M （1，4）代入，
得 {3k +b =0k +b =4
， 解得 {k =−2b =6
， ∴直线BM 的解析式为y ＝﹣2x +6，
∵PD ⊥x 轴且OD ＝m ，
∴P （m ，﹣2m +6），
∴S ＝S △PCD =12PD •OD =12m （﹣2m +6）＝﹣m 2+3m ， 即S ＝﹣m 2+3m ，
∵点P 在线段BM 上，且B （3，0），M （1，4），
∴1≤m ≤3；
②∵S ＝﹣m 2+3m ＝﹣（m −32）2+94
， ∵﹣1＞0，
∴当m =32时，S 取最大值94，
∴P （32，3）；
（3）存在，理由如下：
如图2﹣1，当∠CPD ＝90°时，
∵∠COD ＝∠ODP ＝∠CPD ＝90°，
∴四边形CODP 为矩形，
∴PD ＝CO ＝3，
将y ＝3代入直线y ＝﹣2x +6，
得，x =32，
∴P （32，3）；
如图2﹣2，当∠PCD ＝90°时，
∵OC ＝3，OD ＝m ，
∴CD 2＝OC 2+OD 2＝9+m 2，
∵PD∥OC，
∴∠PDC＝∠OCD，
∴cos∠PDC＝cos∠OCD，
∴DC
PD =
OC
DC
，
∴DC2＝PD•OC，
∴9+m2＝3（﹣2m+6），
解得，m1＝﹣3﹣3√2（舍去），m2＝﹣3+3√2，∴P（﹣3+3√2，12﹣6√2），
当∠PDC＝90°时，
∵PD⊥x轴，
∴不存在，
综上所述，点P的坐标为（3
2
，3）或（﹣3+3√2，12﹣6√2）．。