课件3：1.3.2 命题的四种形式

1.四种命题的概念 把命题“如果p，则q”看作原命题，则它的 ①逆命题是“___如__果__q，__则__p___”； ②否命题是“___如_果__非__p_，_则__非__q__”； ③逆否命题是“__如__果__非__q，__则__非_p___”．
2．四种命题间的关系
逆命题
否命题
逆否命题
3．四种命题的真假性关系 (1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定 与原命题真假性相同的是__逆__否__命__题__． (2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真 假性__没__有__关_系___．
[答案] 若a<1，则a≤1 [解析] 原命题亦即其逆否命题的逆否命题，只需要 写出“若a>1，则a≥1”的逆否命题即可．这里要注意 两者的同真同假的特点，有时需要通过真假性的统一 性来判断答案是否正确．
6．把命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p， 则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命 题．
第一章 常用逻辑用语 §1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
1.3.2 命题的四种形式
在商品大战中，广告成了一道美丽的风景线．几乎所 有的广告商都熟悉这样的命题变换艺术：“拥有的人 们都幸福，幸福的人们都拥有”．初听起来，是几句 赞美语，然而它的实际效果可大哩！原来这句话，变 成等价命题就是“不拥有的人们不幸福”．哪个家庭 不希望幸福呢？掏钱买就是了．瞧！商家就通过这样 巧妙的命题变换达到了目的.
当 a<0 时，二次函数 f(x)＝ax2－2ax－3 开口向下，只需满 足 Δ≤0 即可，
即aΔ<≤00 ，所以a4<a20＋12a≤0 ， 所以a－<30≤a≤0 ， 所以－3≤a<0. 综上所述，a 的取值范围是[－3,0]．
再见
2．命题“a、b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命 题是( ) A．a、b都不是偶数，则a＋b不是偶数 B．a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数 C．a＋b不是偶数，则a、b都不是偶数 D．a＋b不是偶数，则a、b不都是偶数 [答案] D [解析] 本题考查命题的四种形式，一般的命题： “若p则q”形式的逆否命题为“若非q则非p”．
[正解] D．∵原命题为真命题，∴逆否命题也为真 命题．但逆命题“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y ＝ax2＋bx＋c的开口向下”是假命题．因为{x|ax2＋bx ＋c<0}≠∅时，开口不一定向下，也可以向上．否命 题与逆命题等价，故否命题也为假命题．
等价转化思想
命题：对任意 x∈R，ax2－2ax－3>0 不成立 是真命题，求实数 a 的取值范围．
[解析] (1)“若x＋y≠0，则x、y不是相反数”是真命 题．
(2)“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝－1，b＝0，因为a<b， 但a2＝1，b2＝0，a2>b2，故是假命题． (3)“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－ 6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3，不是不等式的解，故 是假命题．
[解析] 因为命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成 立”， 等价于对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立， 因为当a＝0时，－3≤0恒成立， 所以a＝0符合题意． 设f(x)＝ax2－2ax－3， 当a>0时，二次函数的图象开口向上， 图象不会全部落在x轴及x轴下方， 显然不符合题意．
[解析] 原命题：如果两条直线平行于同一条直线， 则这两条直线平行．真命题．
逆命题：如果两条直线平行，则这两条直线平行于同 一条直线．真命题．
否命题：如果两条直线不平行于同一条直线，则这两 条直线不平行．真命题．
逆否命题：如果说两条直线不平行，则这两条直线不 平行于同一条直线．真命题．
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断 其真假： (1)实数的平方是非负数； (2)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根．
1.命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命 题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
[答案] B
[解析] 本题考查四种命题以及真假性间的关系．依题 意，注意到题中的命题本身是真命题，其逆命题是假
命题，因此其逆否命题是真命题，其否命题也是假命
题，选B.
(4)“相等的角是对顶角”是假命题．故选B.
命题“若抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的开口向下，则
{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中( )
A．都是真命题
B．都是假命题
C．否命题真
D．逆否命题真
[误解] A [辨析] 由题意，得原命题为真命题，从而错误地认 为它们的逆命题、否命题、逆否命题都真．
题目类型二、否命题与命题否定形式的区别
写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并 判断真假．
(1)若 m>0，则关于 x 的方程 x2＋x－m＝0 有实根； (2)若 x、y 都是奇数，则 x＋y 是奇数．
[解析] (1)否命题：若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m ＝0无实根．(假命题) 命题的否定：若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无 实根．(假命题) (2)否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是奇 数．(假命题) 命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是奇数．(真 命题)
[解析] (1)逆命题：如果一个数的平方是非负数，则 这个数是实数．真命题． 否命题：如果一个数不是实数，则它的平方不是非负 数．真命题． 逆否命题：如果一个数的平方不是非负数，则这个数 不是实数．真命题．
(2)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，为 真命题． 否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，真命 题． 逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1，真 命题．
4．命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是 ____________________．
[答案] 若a≠0且b≠0，则ab≠0 [解析] 命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命 题是“若a≠0且b≠0，则ab≠0”．
5．已知一个命题的逆否命题是“若a>1，则a≥1”， 则原命题是______________________．
3．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的 逆命题是( )
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
[答案] B [解析] 考查命题与它的逆命题之间的关系． 原命题与它的逆命题的条件与结论互换，故选B.
[解析] “若p，则q”的形式： 若两个三角形全等，则它们的面积相等．
逆命题：若两个三角形的面积相等，则这两个三角形 全等．
否命题：若两个三角形不全等，则它们的面积不相 等．
逆否命题：若两个三角形的面积不相等，பைடு நூலகம்这两个三 角形不全等．
题目类型一、四种命题的关系
把命题“平行于同一条直线的两条直线平行” 改写成“如果 p，则 q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和 逆否命题，并判断它们的真假．
[点评] 命题的否定形式及否命题是两个不同的概念， 要注意区别，不能混淆．从形式上看，否命题既否定 条件，又否定结论，而命题的否定，条件不变，只否 定结论．
有下列四个命题： (1)“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题； (2)“若a>b，则a2>b2”的逆否命题； (3)“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题； (4)“对顶角相等”的逆命题． 其中真命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] B