江苏省南通市名校联盟2025届新高三暑期学习(全国普通高考调研模拟测试)数学试题(原卷版)

高三年级全国普通高考调研测试数学
全卷满分150分，限时120分钟
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考试号填写在答题卡上．2．作答时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，请将答题卡交回．4．请认真阅读考试说明．
★预祝考试顺利★第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合
{2{ ∩ A. 1 B. 2 C. 3
D. 4 (1,0,12 AC 2. 已知AB
=−1,2,2)， =− ，则点B 到直线AC 的距离为（ ）
A.
B. C. 2
D. 3()22=
+= 3. 设a >0，函数f x x a 与直线y m 交于点A B ．若曲线y f x )与x 轴上方（不含x =,(轴）
的正三角形ABC 的两条边相切，则m 的取值范围为（）A. 30,8
B. 3
−∞,8 C. 3 8,+∞ D. 3
8 ,
+∞
4. 现有一份由连续正整数（可重复）组成的样本，其容量为m ，满足上四分位数为28，第80百分位数为 30，则m 的最小值为（A. 24 ）B. 25 C. 28
D. 295. 在递增数列{a n π}中，a 16
=(()．已知S n 表示{a )，sin cos a a +n n 1=n }前n 项和的最小值，则 sin (S 9
)=（）A. 1
2
B. 1
C. 2
− A m m m ==∈1,C }，B a b ab =+=i 0}，则A B 的元素个数为（D. ）
)(A C C B
6. 在锐角 ABC 中，已知sin 22sin sin ，则B ，C 的大小关系为（+=−）A. B C > B. B C C. =B C <
D.
无法确定x −
=7. 已知标准椭圆上P ，Q 两点的切线方程分别为210，10，则直线PQ y +−=
的斜率 为（
）
B. D. −
C. 22(()3=−+≥>
8. 若满足f x ax bx c c 00)在[−c c ]上恒成立的a 唯一，则整数b 的值为（,） B. ±A. 33
D. ±C. 44
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知 ABC 的外接圆圆心在AC
=−2 1，且A C ．设D 为AC 边上动点，将
△ABD 沿BD 向上翻折，得到四面体ABCD ，记为M ，其体积为V ．则（A. ABC 的外接圆面积为4πB. M 不可能是正三棱锥C. M ）的外接球球心不可能在其棱上D. V 取最大值时，AD CD
<2=410. 已知抛物线Γ：y x 的焦点为F ，P 为Γ上一动点．过F 且斜率大于0的直线与Γ交于不同的两点A ，B ，且满足AF BF > ，AP BP ⊥．则下列说法错误的是（
）
A. 直线AB 的倾斜角大于60°
B. 若
PF =4，则2AF
=()(x
=( 列说法错误的是（
）
A. 满足f x )有唯一零点的a (唯一
B. 无论a 取何值，f x )(都没有过原点的切线
C. 若x x 12，则a a 12<e =2e +1=n n e (n n
D. 若x x ，则∑f x )≥−i =1e 1i
A 第Ⅱ卷（非选择题，共92分）.C. 点P 可能在第一象限D. 直线P
B 的横截距不可能是−111. 已知函数f x a ax a =−>1)，记a a n 时f x )的极值点为x n （n ∈N *且a n 的值均不同）．则下
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．()(
12. 已知复数z z z =+−i i )，若mz z 2，则m =______=．
13. 甲和乙玩小游戏测试他们的默契度．在一轮游戏中，他们各写下一个三位数，分别记为A 和B ．当以下任一条件成立时，他们“不默契”，否则“心有灵犀”：①A 、B 中相同的数字少于两个（如147和289）②A 、B 中相同的数字不少于两个，但不都在相同的数位上（如147和174）根据以上内容判断：在本轮游戏中，甲和乙“心有灵犀”的概率为______．14. 给定一种有穷正整数列的延伸机制Ξ，如图所示：记2,3,5经Ξ延伸后得到的无穷数列为{a n
}，则a 2024=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 俱乐部是具有某种相同兴趣的人进行社会交际、文化娱乐等活动的团体和场所．一些顶尖的俱乐部不仅对会员的要求非常严苛，加入也要经过现任会员邀请并接受资格测试和对个人素养、社会地位等的综合考察．研究人员通过模型预测某俱乐部标准资格测试的参试成绩（总计100份），绘制成下表（已知B 卷难度更大）：
（1）若至少有5%的把握认为及格率与试卷难度无关，求a 的最小值；（2）在预测的40份B 卷参试成绩中随机挑选3份，记不及格的份数为X ①求X 的分布列及数学期望；②人教A 版选择性必修第三册第80页上写道：对于不放回抽样，当n 远远小于N 时…此时，超几何分布可以用二项分布近似．近似指的是期望还是方差？试判断并说明理由．)()()(n ad bc 2
)(−
附：χ2=(a b c d a c b d )，其中n a b c d ++++=+++．
α0.050 0.025 0.010 0.005
0.001 x α 3.841 5.024 6.635 7.879
10.828
()=−ln ()(e x 16. 已知定义在(0,+∞)上的函数f x ax x ，g x a =≠0)x
．(
（1）分别说明f x )，g x )(的单调性；
（2）若函数f g (x ))存在唯一极小值点，求a (的取值范围．17. 已知无限高圆柱OO 1．如图，四边形ABCD 内接于其底面⊙O ，P 为其内一动点（包括表面），且平面
PAB ⊥平面PAD ，PC AB ⊥．
（1）是否存在点P 使得直线BC ⊥平面PCD ？试判断并说明理由． （2）若OA OB OD ++=0，二面角P AB C 的大小为45 ，求AP 最大时直线PC 与平面PBD 所成
角的余弦值．(18. 已知焦点为F 的抛物线Γ：y px p =>20)，圆F 与Γ在第一象限的交点为P ，与x 2正，负半轴分别
交于点H ，G ．直线PH ，直线PF 与Γ的另一交点分别为M ，N ，直线MN 与直线PG 交于点T ．（1）若<2
PF p ，证明：∠>∠PNM PMN 2；
（2）若p
=2，求S △PNT 的取值范围．19. 小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，比如362233=×××，74237等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3都是6=×的质因子．在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如25的质因子只有5，而36的质因子只有2，3，所以25，36是互质的．为方便表示，对于任意的正整数n ，我们将比n 小且与n 互质的正整(数的个数记为A n )．例如，小于10且与10互质的数有1，3，7，9，所以A (104)=，同理有
A (124)=．
（1）求A (60)，A (312)； （2）求所有n ∈N *，n ≥2，使得A n )(是奇数；12=12 ,,...,（3）若正整数n p p p k ，其中p p p k 表示互不相同的质数．证明：()12111 
111k
A n n =−−−p p p  
.。