北师大版九年级数学上1.3 第1课时 正方形及其性质 同步练习(含答案)

3 正方形的性质与判定
第1课时正方形及其性质
1．如图1，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是()
图1
A．45°B．22.5°C．67.5°D．75°
2．正方形的一条对角线的长为4，则这个正方形的面积是()
A．8 B．4 2 C．8 2 D．16
3．如图2，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.
图2
4．如图，在正方形ABCD 的外侧作等边三角形ADE ，AC ，BE
交于点F ，则∠BFC 的度数为( )
A ．45°
B ．55°
C ．60°
D ．75°
5.如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC ＝2AE ，Rt △FEG 的两直角边EF ，EG 分别交BC ，DC 于点M ，N .若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为( )
A.23a 2
B.14a 2
C.59a 2
D.49
a 2
6.如图5，正方形ABCD 的边长为3，连接AC ，AE 平分∠CAD ，交BC 的延长线于点E ，F A ⊥AE ，交CB 的延长线于点F ，则EF 的长为________．
图5
7．如图6，四边形ABCD 是正方形，BE ⊥BF ，BE ＝BF ，EF 与BC 相交于点G ，连接AE ，CF .
(1)求证：AE ＝CF ；
(2)若∠ABE ＝55°，求∠EGC 的大小．
图6
8．如图7，正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°与正方形AEFG重合，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，正方形ABCD的边长为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为()
图7
A．4 2－4 B．4 2＋4 C．8－4 2 D.2＋1
9．如图8，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE＝2，将正方形DEFG 绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′＋CG′＝()
图8
A.2＋ 6
B.3＋1
C.3＋ 2
D.3＋6
10．如图9，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为________．
图9
11．如图10所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且∠EBF＝45°.
(1)求证：EF＝FC＋AE；
(2)若AB＝2，求△DEF的周长．
图10
12．如图11，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长相等，则在点E，F移动的过程中：
(1)∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由；
(2)△ECF的周长是否发生变化？请说明理由．
图11
13．如图12，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1，A2，A3，A4，…在射线ON上，点B1，B2，B3，B4，…在射线OM上……依此类推，则第n个正方形的周长C n＝________．
图12
14．如图13①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.
(1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________；
(2)如图②，若E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请做出判断并给予证明；
(3)如图③，若E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．
参考答案
1．B
2．A
3．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.
∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°.
∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF.
在△BCE和△ABF中，
∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，
∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴AF＝BE.
4．C
5．D
6．6 2[解析]
7．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°.
∵BE⊥BF，∴∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF.
∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，
∴△ABE≌△CBF，∴AE＝CF.
(2)∵BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠BEF＝45°.
∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°，
∴∠GBE＝35°，
∴∠EGC＝∠GBE＋∠BEF＝80°.
8．A
9．A
10．32
11．解：(1)证明：将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，
则BA ＝BC ，AE ＝CM ，BE ＝BM ，∠ABE ＝∠CBM ，∠A ＝∠BCM .
∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠ABC ＝∠BCD ＝90°， ∴F ，C ，M 三点共线，∠EBM ＝90°. ∵∠EBF ＝45°，∴∠FBM ＝45°.
在△BEF 与△BMF 中，BE ＝BM ，∠EBF ＝∠MBF ，BF ＝BF ， ∴△BEF ≌△BMF ，
∴EF ＝FM ＝FC ＋CM ＝FC ＋AE . (2)由(1)知EF ＝FC ＋AE ，
∴△DEF 的周长＝DE ＋DF ＋EF ＝DE ＋DF ＋AE ＋CF ＝AD ＋CD ＝2AB ＝4. 12．解：(1)∠EAF 的大小不发生变化．
理由如下：根据题意，知AB ＝AH ，∠B ＝∠AHE ＝90°. 又∵AE ＝AE ，∴Rt △BAE ≌Rt △HAE ， ∴∠BAE ＝∠HAE .
同理，Rt △HAF ≌Rt △DAF ， ∴∠HAF ＝∠DAF ，
∴∠EAF ＝12∠BAH ＋12∠HAD ＝12(∠BAH ＋∠HAD )＝1
2∠BAD .
又∵∠BAD ＝90°，∴∠EAF ＝45°， ∴∠EAF 的大小不发生变化．
(2)△ECF 的周长不发生变化．理由如下： C △ECF ＝EF ＋EC ＋FC .
由(1)，得Rt △BAE ≌Rt △HAE ， ∴EB ＝HE .同理，HF ＝DF .
∴C △ECF ＝EF ＋EC ＋FC ＝EB ＋DF ＋EC ＋FC ＝2BC ，
∴△ECF的周长不发生变化．
13．2n＋1
14．解：(1)相等互相平行
(2)成立．
证明：如图，过点G作GH⊥CB交其延长线于点H.
∵EG⊥DE，
∴∠GEH＋∠DEC＝90°.
∵∠GEH＋∠HGE＝90°，
∴∠DEC＝∠HGE.
在△HGE与△CED中，
∠GHE＝∠DCE＝90°，∠HGE＝∠DEC，EG＝DE，∴△HGE≌△CED，∴GH＝CE，HE＝CD.
∵CE＝BF，∴GH＝BF.
又∵GH∥BF且∠GHE＝90°，
∴四边形GHBF是矩形，
∴FG＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE.
∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，
∴HE＝BC，
∴HE＋EB＝BC＋EB，
∴BH＝CE，∴FG＝CE.
(3)成立．FG＝CE，FG∥CE.。