普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(安徽卷,解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间为120分钟。

参考公式：
如果事件A 与B 互斥，那么
()()()P A B P A P B +=+
如果事件A 与B 相互独立，那么
()()()P AB P A P B =
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

（1） 设i 是虚数单位，_
z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi g ，则z = （A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -
【答案】A 【解析】设
2bi 2a 2)i b (a 2bi)i -a (bi)+a (22z bi.z -a =z .bi,+a =z 22+=++=+⋅⇒=+⋅z i 则
i z b a a +=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩
⎨⎧==+⇒111222b b a 22
所以选A
（2） 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是
（A ）
16 （B ）2524 （C ）34 （D ）1112
【答案】D 【解析】.12
11
,1211122366141210=∴=++=+++
=s s Θ,所以选D
（3）在下列命题中，不是公理．．
的是 （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行
（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线
【答案】A
【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；C 选项可以推导证明，故是定理。

所以选A
（4）"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的 （A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】 当a=0 时，
，时，且上单调递增；当，在x ax x f x a x f y x x f )1()(00)0()(||)(+-=><∞+=⇒= .)0()(0所以a .)0()(上单调递增的充分条件，在是上单调递增，在∞+=≤∞+=x f y x f y 0a )0()(≤⇒∞+=上单调递增，在相反，当x f y ,
.)0()(0a 上单调递增的必要条件，在是∞+=≤⇒x f y
故前者是后者的充分必要条件。

所以选C
（5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是
（A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样
（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】C
【解析】 对A 选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A 选项错。

对B 选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B 选项错。

对D 选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91。

所以D 选项错。

对C 选项，男生方差为40，女生方差为30。

所以C 选项正确。

所以选C
（6）已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2
x x x 或，则(10)>0x f 的解集为
（A ）{}|<-1>lg2x x x 或 （B ）{}|-1<<lg2x x
（C ） {}|>-lg2x x （D ）{}|<-lg2x x
【答案】D
【解析】 由题知，一元二次不等式2ln 2
1
1-),2
1(-1,的解集为0)(-<⇒<<>x e x x
即 所以选D 。

（7）在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为
（A ）=0()cos=2R θρρ∈和 （B ）=()cos=22
R π
θρρ∈和
（C ） =
()cos=12
R π
θρρ∈和 （D ）=0()cos=1R θρρ∈和
【答案】B
【解析】在极坐标系中，圆心坐标2
32
.101π
π
θθρ或
故左切线为，半径，=
===r .2cos 2
:.2cos 2
cos ==
=⇒=
θρπ
θθρρ
θ和即切线方程为右切线满足
所以选B
（8）函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥ 个不同的数12,...,,n x x x 使得
1212()
()()==,n n
f x f x f x x x x 则n 的取值范围是 （A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ） {}3,4,5 （D ）{}2,3
【答案】B
【解析】由题知，过原点的直线与曲线相交的个数即n 的取值.用尺规作图，交点可取2,3,4. 所以选B
（9）在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===u u u r u u u r u u u r u u u r
g 则点集,1,,|P OP OA OB R λμλμλμ==++≤∈u u u r u u u r u u u r
所表示的区域的面积是
（A
）（B
）（C ）
（D
）【答案】D
【解析】考察三点共线向量知识:
1,,,,=++=μλμλ其中是线外一点则三点共线若P C B A . 3
2cos 4cos ||||π
θθθ=
⇒==⋅⋅=⋅OB OA OB OA .建立直角坐标系，设A(2,0),
).(10,0).31(含边界内在三角形时，，则当OAB P B ≤+≥≥μλμλ344=⨯=的面积三角形的面积根据对称性，所求区域OAB S
所以选D
（10）若函数3
()=+b +f x x x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程
213(())+2()+=0f x f x b 的不同实根个数是
（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）6 【答案】 A
【解析】 使用代值法。

设c x x x x f x x x x x f +-+
=⇒-+=+-=62
3)(633)2)(1(3)('2
3
2
. 上单调递增，
在令)2,()(,4
9
)(2,10)('1121--∞=
⇒=⇒-==⇒=x f c x x f x x x f . 上单调递增，上单调递减，在，上单调递增，在在)1()12()2,()(∞+---∞⇒x f . .3)()(0))(('21个根解得一个根，共解得二个根，由x x f x x f x f f ==⇒=
所以选A
2013普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数 学（理科）
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。

二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在答题卡的相应位置。

（11）若8
x ⎛ ⎝
的展开式中4
x 的系数为7，则实数a =___21___。

【答案】
2
1
【解析】 通项2
17,34348)(
3
383
883
88=⇒==⇒=-⇒==
--a a C r r x
a C x
a
x C r
r r r r r
r
所以2
1
（12）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 。

若2b c a +=，则3sin 5sin ,A B =则角C =__π3
2
___. 【答案】 π3
2 【解析】
3sin 5sin ,A B =π3
2212cos 2,532
22=⇒-=-+=⇒=+=⇒C ab c b a C a c b b a
所以
π3
2
（13）已知直线y a =交抛物线2
y x =于,A B 两点。

若该抛物线上存在点C ，使得ABC ∠为直角，则a 的取值范围为___ ),1[+∞_____。

【答案】 ),1[+∞
【解析】 BC AC x x C m m B m m A ⊥-则根据题意不妨),,(),,(),,(222
)()12(0)(),(),(4222422222222=+++-⇒=-+-=-+⋅--x x m x m m x m x m x m x m x m x ),1[10)1(-222222+∞∈+=⇒=--x m x m x m ）（.所以),1[+∞∈a
（14）如图，互不-相同的点12,,,n A A X K K 和12,,,n B B B K K 分别在角O 的两条边上，所有
n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等。

设.n n OA a =若121,2,a a ==则数
列{}n a 的通项公式是_____*,23N n n a n ∈-=____。

【答案】 *,23N n n a n ∈-=
【解析】 22
10011011)(a a
S S S S A B B A S O B A n n n n =+⇒
∆++的面积为，梯形的面积为设.
4
1
)(
,32210==⇒a a S S .)(13232.)(3431)()1(2122122100+++++=+-=++⇒=+++n n n n n n a a n n a a n n a a S n S nS S 种情况得由上面
1
31
)(13113231077441)()()()()(
21121121243232221+=⇒+=+-⋅⋅==⇒+++n a a n n n a a a a a a a a a a n n n n ΛΛ*,231,1311N n n a a n a n n ∈-=⇒=+=⇒+且
（15）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S 。

则下列命题正确的是__①②③⑤___（写出
所有正确命题的编号）。

①当1
02
CQ <<时，S 为四边形 ②当1
2CQ =
时，S 为等腰梯形 ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足111
3C R =
④当3
14
CQ <<时，S 为六边形
⑤当1CQ =时，S 的面积为6 【答案】 ①②③⑤ 【解析】
CQ DT PQ AT PQ AT T D D 22//1=⇒=且，则相交于设截面与.
对①，时当210.<<CQ ,则.12
1
<<DT 所以截面S 为四边形，且S 为梯形.所以为真. 对②, 1 = DT ,2
1
.时当=
CQ 重合与1,D T ，截面S 为四边形.,11Q D AP APQD =所以截面S 为等腰梯形. 所以为真. 对③, ,43.时当=CQ .3
1.21,41231111===⇒=R C T D QC DT 利用三角形相似解得所以为真. 对④, 2 DT 2
3
,143.<<<<时当
CQ .截面S 与线段1111C D ,D A 相交，所以四边形S 为五边形.所以为假.
对⑤, A G APC G D A S C CQ 111111,Q 1.即为菱形相交于中点与线段截面重合与时，当=.
对角线长度分别为.2
6
32的面积为，
和S 所以为真. 综上，选①②③⑤
三.解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

解答写在答题卡上的指定区域内。

（16）（本小题满分12分） 已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛
⎫
=⋅+> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π。

（Ⅰ）求ϖ的值；
（Ⅱ）讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性。

【答案】 （Ⅰ） 1
（Ⅱ） .]2
8[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在π
ππx f y =
【解析】 （Ⅰ）
2)4
2sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++
=++=+⇒π
ωωωωωωx x x x x x
122=⇒=⇒
ωπωπ.所以1,2)4
2sin(2)(=++=ωπ
x x f （Ⅱ） .]8
58[]2,85[
],8,
0[)(上单调递减，上单调递增；在在π
πππx f y =
；
解得，令时，当8
242]4,4[)42(]2,0[π
πππππππ==++∈+∈x x x x 所以.]2
8[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在π
ππx f y =
（17）（本小题满分12分）
设函数2
2
()(1)f x ax a x =-+，其中0a >，区间|()>0I x f x = （Ⅰ）求的长度（注：区间(,)αβ的长度定义为βα-）； （Ⅱ）给定常数(0,1)k ∈，当时，求l 长度的最小值。

【答案】 （Ⅰ） 2
1a
a
+. （Ⅱ）
2
1 【解析】 （Ⅰ）)
1,0(0])1([)(2
2
a a x x a a x x f +∈⇒>+-=.所以区间长度为21a a
+. （Ⅱ） 若2
11111
111-1),1,0(2
=+≤
+
=+=
+≤≤∈a a a
a
l k a k k 时，且 k a k a l a +≤≤=1-121,1满足，取最小值时且当.2
1
的最小值为l .
（18）（本小题满分12分）
设椭圆22
22
:11x y E a a
+=-的焦点在x 轴上 （Ⅰ）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆E 上的第一象限内的点，直线2F P 交y 轴
与点Q ，并且11F P F Q ⊥，证明：当a 变化时，点p 在某定直线上。

【答案】 （Ⅰ） 13
8582
2=+x x . （Ⅱ） 01
=-+x y 【解析】 （Ⅰ）
13
858851,12,12
22
2
2
2
2
2
=+=⇒+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为：Θ.
（Ⅱ） ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x P F m Q y x P c F c F -=-=-（则设. 由)1,0(),1,0()1,0(012
∈∈⇒∈⇒>-y x a a .
⎩⎨
⎧=++=-⊥=+=0
)()(,//).,(),,(112211my c x c yc
x c m Q F P F QF P F m c Q F y c x P F 得：由 解得联立⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒2222222
2
222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c x
y x y x y x y
x y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(11212222
22
222Θ 所以动点P 过定直线01=-+x y . （19）（本小题满分13分）
如图，圆锥顶点为p 。

底面圆心为o ，其母线与底面所成的角为22.5°。

AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为
60°，
（Ⅰ）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （Ⅱ）求cos COD ∠。

【答案】 （Ⅰ） 见下.
（Ⅱ） 212-17 【解析】 （Ⅰ）
m
AB PCD AB PCD CD CD AB m C 直线面面且直线面设面//////,D P PAB ⇒⇒⊂=⋂Θ ABCD m ABCD AB 面直线面//⇒⊂Θ.
所以,ABCD D P PAB 的公共交线平行底面与面面C .(证毕)
（Ⅱ） r
PO
OPF F CD r =
︒︒=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ︒
-︒
=︒∠==︒⋅︒⇒=
︒5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2
COD r OF PO OF . )
223(3)],1-2(3[2
1
cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=︒⇒-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以.(完)
（20）（本小题满分13分）
设函数22222()1(,)23n n
n x x x f x x x R n N n
=-+++++∈∈K ，证明：
（Ⅰ）对每个n
n N ∈，存在唯一的2[,1]3
n x ∈，满足()0n n f x =；
（Ⅱ）对任意n
p N ∈，由（Ⅰ）中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n
+<-<。

【答案】 （Ⅰ） 见下. （Ⅱ）见下. 【解析】 （Ⅰ）
224232224321)(0n
x x x x x x f n x y x n
n n +++++++-=∴=>ΛΘ为单调递增的时，当是x 的
单调递增函数,也是n 的单调递增函数. 011)1(,01)0(=+-≥<-=n n f f 且.
010)(,321>>>≥=⇒n n n n x x x x x f x Λ，且满足存在唯一
x x x x x x x x x x x x x f x n n n -⋅
++-<--⋅++-=++++++-≤∈-11
4111412
2221)(,).1,0(2122232322Λ时当)1,3
2
[0)23)(2(1141)(02
∈⇒≥--⇒-⋅++-≤=⇒n n n n n n n n x x x x x x x f
综上，对每个n
n N ∈，存在唯一的2[,1]3
n x ∈，满足()0n n f x =；(证毕)
（Ⅱ） 由题知04321)(,012242322=++++++-=>>≥+n
x
x x x x x f x x n
n n n n n n n p
n n Λ
)
()
1(4
3
2
1)(2
2
12
2
4
2
3
2
2
=++
+++
+
++
+
+
+-=+++++++++++p n x n x n
x x x x x x f p
n p
n n p
n n
p n p n p n p n p n p n p n ΛΛ上式相减：
2
21224
23
222242322)()1(432432p n x n x n x x x x x n x x x x x p
n p n n p n n p n p n p n p n p n n
n
n n n n ++
++++++++=++++++++++++++ΛΛΛ）
（
）（2
2
1
2
2
4
42
3
322
2)()1(-4-3-2--p n x n x n x x x x x x x x x x p
n p
n n p
n n
n
n p n n
p n n
p n n
p n p n n ++
++++
++
+
=+++++++++ΛΛ )
111()111()(1)1(1)()1(2
22
2
1
p n p n n n p n n p n x n x p
n p
n n p
n +--++++-<++++<
++
++<++++ΛΛΛ
n
x x n p n n p n n 1
-111<⇒<+-=
+ （21）（本小题满分13分）
某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加（n 和k 都是固定的正整数）。

假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到。

记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x （Ⅰ）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （Ⅱ）求使()P X m =取得最大值的整数m 。

【答案】 （Ⅰ）
2
)(2n
k n k -. （Ⅱ） .)(2
2-10取最大值时时，当m f k m n k =<<
取最大值时时当)(2,2
1
22-
1m P k m n k =≤< 取最大值时时，当当)(121m P n m n
k
=<<
【解析】 （Ⅰ）
n
k
A P n k A P A -1)()(==，师的通知信息，则表示：学生甲收到李老设事件.
)()(),()(A P B P A P B P B ==师的通知信息，则表示：学生甲收到张老设事件.
师或张老师的通知信息表示：学生甲收到李老设事件C .
则22)(2)1(1)B P()A P(-1=P(C)n
k n k n k -=-
-=⋅. 所以，2)(2n
k n k -老师的通知信息为学生甲收到李老师或张. （Ⅱ） ）（，设1,0)(2,2∈-=<λλn k n k n k , ;4
30210<<⇒<<λn k 当 4
321=⇒=λn k 当. 14
3121<<⇒<<λn k 当; 讨论如下：
不存在有理数，所以此种情况当≠=⇒=⇒=-2
2-12111n k λλλ. .)(2122-10210110取最大值时，当当m f k m n k =⇒<<<⇒<
<⇒<-<λλλ
. ,)(121)143)(2,2143)(22122-1)43212111⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=⇒<<⇒∈⇒==⇒==⇒<<⇒∈⇒>⇒>-取最大值时，当时，（当取最大值时当时当取最大值时，当时，（当当m f n m n k m f k m n k m f k m n k λλλλλλ.
.)(2
2-10取最大值时时，综上，当m f k m n k =<< 取最大值时时当)(2,2
122-1m P k m n k =≤< 取最大值时时，当当)(121m P n m n
k =<<。