求数列的通项公式

求数列通项公式
法一 ：公式法：运用等差（等比）数列的通项公式.
法二：前n 项和法：已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n
n （注意：不能忘记讨论1=n ）
Sn 表达式中含an ：已知n a 与n S 的关系式，利用)2(1≥-=-n S S a n n n ，将关系式转化为
只含有n a 或n S 的递推关系，再利用上述方法求出n a .
已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n
n （注意：要验证能否合二为一）
例1 数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，则n a = 。

变式 数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，._______85=<<k a k ，则若 变式 已知数列{}n a 的前n 项和公式，求{}n a 的通项公式
①n n S n 322+=；
②132-⋅=n n S
例2设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12-=n n a S ，求数列}{n a 的通项公式； 变式 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*111,42()n n a S a n N +==+∈，
（1）设2
n n n a b =
，求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和的公式
法三:：利用前n 项积，已知数列}{n a 前n 项之积T n ，一般可求T n-1，则a n ＝
1
－n n T T （注意：不能忘记讨论1=n ）. 例 数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a __________.
法四 ：累加法：已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f(n)}成等差（比）数列，则求n a 可用累加法. 常见基本形式：三种
例 数列}{n a 满足12212,5,32n n n a a a a a ++===-，（1）求证：数列1{}n n a a +-是等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式n a ；（3）求数列}{n a 的前n 项和n S .
变式 已知数列}{n a ；①若满足291=a ，)2(121≥-=--n n a a n n ，则n a =_______________.
变式 已知数列{}n a 满足11a =，)
1(11+=-+n n a a n n (2)n ≥，则n a =_______________. 变式 已知数列{}n a 满足11a =，
n n a a n n ++=--11
1(2)n ≥，则n a =_______________.
法五：累乘法
例 若满足a 1=1,)2(1
1≥+=-n n n a a n n ，则n a =_______________. 变式已知）
（，n n n a a n a a -==+111,则数列{}n a 的通项公式=n a ( ) A. 12-n B.
11-+n n
n ）（ C. 2n D. n 法六 ：构造辅助数列法： 已知数列}{n a 的递推关系，研究a n 与a n －1的关系式的特点，可以通过变形构造，得出新数
列)}({n a f 为等差或等比数列.共有六种类型：
类型一：待定系数法
例 已知数列满足1a =1，1n a +=2n a +3，则n a =_______________.
变式 已知点
,3121),11=+=+a x y a a n n 上，且在直线（则n a =_______________. 变
式 已知数列{}n a 满足11a =，
n n n a x a x a ，求的两实根，且满足为方程，26-60312=+=+-+βαβαβα
类型二 取倒法
例 已知数列}{n a 满足11=a ，1
31+=+n n n a a a ，则n a =_______ 变式 已知数列}{n a 满足11=a ，3
231+=
+n n n a a a ，则n a =_______ 类型三 取倒法与待定系数法相结合 例 已知数列}{n a 满足11=a ，2
31+=
+n n n a a a ，则n a =_______ 变式 已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =，，．求{}n a 的通项公式；
变式 变式 已知数列}{n a 的首项1a a =（a 是常数且1a ≠-），121(,2)n n a a n N n -=+∈≥．
（1）}{n a 是否可能是等差数列，若可能，求出}{n a 的通项公式；若不可能，说明理由；
（2）设(,n n b a c n N =+∈c 是常数)，若{}n b 是等比数列，求实数c 的值，并求出}{n a 的
通项公式。

变式 设b>0,数列{}n a 满足a1=b ，11(2)22n n n nba a n a n --=
≥+-，
求数列{}n a 的通项公式；
类型四 相除法
例 已知数列}{n a 满足1a =1，122n n n a a +-=，则n a =_______________. 变式 已知数列}{n a 满足1a =1，0331=---n n n a a ，则n a =_______________. 变式 已知n
n n n n n n n n a b a b a a a a ）求（为等比；证明满足2}{)1(,2
,022,2}{111--==--=
已知数列满足1a =1，11n n n n a a a a ---=，求n a .
类型五 累加、待定系数、相除法和取倒法的结合
例5（两种以上方法综合应用）数列}{n a 满足n n n n a a a a a 22-3,3,11221+===++，
（1）求数列}{n a 的通项公式n a ；（2）求数列}{n a 的前n 项和n S .
变式 数列}{n a 满足122,3,1121-+===+n n n a a a a ，（1）若数列}2{
n
n p a +为等差，求p ； （2）求数列}{n a 的通项公式n a ；（3）求数列}{n a 的前n 项和n S .。