重庆市云阳中学高三数学上学期10月月考试卷 理(含解析

重庆市云阳中学2015届高三上学期10月月考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，则A∩（∁U B）等于( ) A．{2} B．{2，3，5} C．{1，4，6} D．{5}
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：计算题．
分析：集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，故C U B={1，2，4，6}，由此能求出A∩（∁U B）．
解答：解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，
集合A={2，3}，集合B={3，5}，
∴C U B={1，2，4，6}，
∴A∩（∁U B）={2}．
故选A．
点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．函数f（x）=的定义域为( )
A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣2，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（1，2）
考点：函数的定义域及其求法．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：要使函数有意义，则需x﹣1＞0，且﹣x2+x+2＞0，解得即可得到定义域．
解答：解：要使函数有意义，则需
x﹣1＞0，且﹣x2+x+2＞0，
即有x＞1且﹣1＜x＜2，
则1＜x＜2，
即定义域为（1，2）．
故选D．
点评：本题考查函数的定义域的求法，注意对数真数大于0，偶次根式被开方式非负，分式分母不为0，属于基础题．
3．在△ABC中，“sin（A﹣B）cosB+cos（A﹣B）sinB≥1”是“△ABC是直角三角形”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：规律型．
分析：结合两角和的正弦公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
解答：解：由sin（A﹣B）cosB+cos（A﹣B）sinB≥1得sin（A﹣B+B）≥1，
即sinA≥1，
∴sinA=1，即A=，此时“△ABC是直角三角形，
当B=时，满足△ABC是直角三角形，但sinA≥1不成立，
∴“sin（A﹣B）cosB+cos（A﹣B）sinB≥1”是“△ABC是直角三角形”的成立的充分不必要条件，
故选：A．
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用两角和的正弦公式是解决本题的关键．
4．设a=30.5，b=log32，c=log0.53，则( )
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a
考点：对数值大小的比较．
专题：计算题．
分析：根据指数函数和对数函数的性质，得到三个数字与0，1之间的大小关系，利用两个中间数字得到结果．
解答：解：∵a=30.5＞1
0＜b=log32＜1
c=log0.53＜0
∴三个数字的大小根据三个数字的范围得到c＜b＜a
故选A．
点评：本题考查对数值的大小比较，本题解题的关键是找出一个中间数字，使得三个数字利用中间数字隔开．
5．函数f（x）=3x﹣﹣6的零点所在区间是( )
A．（O，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
考点：函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：分别求出f（0），f（1），f（2）的值，得出f（1）＜0，f（2）＞0，从而得出答案．解答：解：∵f（0）=1﹣1﹣6＜0，f（1）=﹣＜0，f（2）=9﹣6﹣+1=4﹣＞0，
∴函数f（x）的零点在区间（1，2）能，
故选：B．
点评：本题考查了函数的零点的判定定理，用特殊值代入即可求出．
6．已知向量、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=( ) A．3B．2C．D．1
考点：平面向量数量积的运算．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：将|2﹣|=平方，然后将夹角与||=1代入，得到||的方程，解方程可得．
解答：解：因为、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，
所以42﹣4•+2=10，即||2﹣2||﹣6=0，
解得||=3或||=﹣（舍），
故选A．
点评：本题解题的关键是将模转化为数量积，从而得到所求向量模的方程，利用到了方程的思想．
7．已知，则sin2α﹣sinαcosα的值是( )
A．B．C．﹣2 D．2
考点：同角三角函数间的基本关系；三角函数的恒等变换及化简求值．
专题：计算题．
分析：由由已知条件求出tanα 值，化简sin2α﹣sinαcosα=，把tanα
值代入运算．
解答：解：∵，∴，∴tanα=2．
∴sin2α﹣sinαcosα====，
故选 A．
点评：本题考查同角三角函数的基本关系的应用，1的代换，把所求的sin2α﹣sinαcosα 变形为是
解题的难点．
8．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h厘米，已知当x=0时，h=13．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完．则函数h=f（x）的图象为( )
A．B．C．
D．
考点：函数模型的选择与应用．
专题：数形结合；函数的性质及应用．
分析：每分钟滴下πcm3药液，当液面高度离进气管4至13cm时，x分钟滴下液体的体积等于大圆柱的底面积乘以（13﹣h），当液面高度离进气管1至4cm时，x分钟滴下液体的体积等于大圆柱的体积与小圆柱底面积乘以（4﹣h）的和，由此即可得到瓶内液面与进气管的距离为h 与输液时间x的函数关系．
解答：解：由题意知，每分钟滴下πcm3药液，
当4≤h≤13时，xπ=π•42•（13﹣h），即h=13﹣，此时0≤x≤144；
当1≤h＜4时，xπ=π•42•9+π•22•（4﹣h），即，此时144＜x≤156．
∴函数单调递减，且144＜x≤156时，递减速度变快．
故选：A．
点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，解答的关键是对题意的理解，属中档题．
9．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义|A﹣
B|=．若A={1，2}，B={x||x2+2x﹣3|=a，且|A﹣B|=1，由a的所有可能值构成的集合为S，那么C（S）等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：子集与交集、并集运算的转换．
专题：集合．
分析：先根据已知条件可判断出B含3个元素，所以方程|x2+2x﹣3|=a有三个实根，进一步判断出方程x2+2x﹣3+a=0有两个二重根，所以根据△=0即可求得a的值，从而求出集合S，这样便可判断出集合S所含元素的个数．
解答：解：由|x2+2x﹣3|=a得：x2+2x﹣3±a=0，a≥0；
对于x2+2x﹣3﹣a=0，△=4+4（3+a）＞0，∴方程x2+2x﹣3±a=0至少有两个实数根，即集合B至少含2个元素；
∵|A﹣B|=1，∴B含3个元素；
∴方程x2+2x﹣3+a=0有二重根，∴△=4﹣4（﹣3+a）=0，∴a=4；
∴S={4}，∴C（S）=1．
故选A．
点评：考查元素与集合的概念，描述法表示集合，一元二次方程的实数根的情况和判别式△的关系．
10．在△ABC中，已知6•=2•=3•，则∠A=( )
A．30°B．45°C．120°D．135°
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：设△ABC的三边分别为a、b、c，由题意利用两个向量的数量积的定义可得6bc•cosA=﹣2ac•cosB=﹣3ab•cosC，再把余弦定理代入求得a2=5b2，c2=2b2，从而求得cosA=
的值，进而求得A的值．
解答：解：设△ABC的三边分别为a、b、c，由已知6•=2•=3•，
可得6bc•cosA=2ac•cos（π﹣B）=3ab•cos（π﹣C），
即6bc•cosA=﹣2ac•cosB=﹣3ab•cosC．
再利用余弦定理可得6bc•=﹣2ac•=﹣3ab•，
化简可得a2=5b2，c2=2b2，
∴cosA==﹣，故A=135°，
故选：D．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，余弦定理的应用，属于基础题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．
11．已知角α的终边经过点（4，3），则=．
考点：任意角的三角函数的定义．
专题：三角函数的求值．
分析：利用三角函数的定义，求出cosα，即可求解的值．
解答：解：角α的终边经过点（4，3），
∴cosα=，
=cosα=．
故答案为：
点评：本题考查有点贵以及任意角的三角函数的定义，考查计算能力．
12．已知向量=（3，1），=（λ，4），若，则实数λ的值为2．
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：直接利用向量的垂直的充要条件，列出方程即可求解实数λ的值．
解答：解：向量=（3，1），=（λ，4），=（λ﹣3，3）．
∵，
∴3λ﹣9+3=0，∴λ=2
实数λ的值为2
故答案为：2．
点评：本题考查向量的垂直的充要条件的应用，基本知识的考查．
13．已知，则f（f（3））的值为
3．
考点：函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．
专题：计算题．
分析：先根据函数的解析式求出f（3）的值，再把f（3）看成自变量求出f（f（3））．解答：解：∵，
∴f（3）=log3（9﹣6）=1，
f（f（3））=f（1）=3•e0=3，
故答案为3．
点评：本题考查求函数值的方法，关键是确定将自变量代入哪一个段得解析式进行运算．
14．若f（x）=3x+sinx，则满足不等式f（2m﹣1）+f（3﹣m）＞0的m的取值范围为m＞﹣2．
考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：由题意可得f（x）为R上的奇函数和增函数，故原不等式可化为f（2m﹣1）＞﹣f（3﹣m）=f（m﹣3），即2m﹣1＞m﹣3，解之即可．
解答：解：∵f（﹣x）=﹣3x﹣sinx=﹣f（x），∴f（x）为R上的奇函数，
又f′（x）=3+cosx＞0，可得f（x）为R上的增函数．
故不等式f（2m﹣1）+f（3﹣m）＞0可化为：f（2m﹣1）＞﹣f（3﹣m）=f（m﹣3）
故2m﹣1＞m﹣3，解得m＞﹣2．
故答案为：m＞﹣2
点评：本题以不等式为载体，考查函数的单调性和奇偶性，属基础题．
15．设函数f（x）=x2+2x+alnx，当t≥1时，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，则实数a的取值范围是a≤2．
考点：函数恒成立问题；二次函数的性质．
专题：计算题．
分析：由f（x）的解析式化简不等式，得到当t≥1时，t2≥2t﹣1，∴．即t ＞1时，恒成立即要求出的最小值即可得到a的范围．
解答：解：∵f（x）=x2+2x+alnx，
∴
当t≥1时，t2≥2t﹣1，∴．即t＞1时，恒成立．又易证ln （1+x）≤x在x＞﹣1上恒成立，
∴在t＞1上恒成立．当t=1时取等号，
∴当t≥1时，，∴由上知a≤2．故实数a的取值范围是（﹣∞，2]．
点评：本题考查函数恒成立时所取的条件．考查考生的运算、推导、判断能力．
三、解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a2+b2=C=2sinAsinB．（1）求角C的值；
（2）设函数f（x）=（ω＞0），且f（x）两个相邻最高点之间的距离为π，求ω以及f（A）的值域．
考点：余弦定理．
专题：解三角形．
分析：（1）已知第二个等式利用正弦定理化简得到c2=2ab，利用余弦定理表示出cosC，把各自的值代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）根据f（x）两个相邻最高点之间的距离为π，得到函数周期为π，利用周期公式求出ω的值，根据A的范围，利用余弦函数的值域确定出f（A）的值域即可．
解答：解：（1）已知等式sin2C=2sinAsinB，利用正弦定理化简得c2=2ab，
∵a2+b2=c2，
∴cosC===，
则C=；
（2）∵f（x）两个相邻最高点之间的距离为π，
∴f（x）的周期为π，
∴=π，ω＞0，即ω=2，
∴f（A）=cos（2A﹣），
∵0＜A＜，∴﹣＜2A﹣＜，
∴﹣1≤cos（2A﹣）≤1，即﹣≤cos（2A﹣）≤，
则f（A）的值域为．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，以及周期公式，熟练掌握定理是解本题的关键．
17．知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（1）求实数a的值；
（2）若f（x）≤kx2对任意x＞0恒成立，求实数k的取值范围．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．
专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用．
分析：（1）求导数，利用函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，可得f′（e）=3，从而可求实数a的值；
（2）f（x）≤kx2对任意x＞0恒成立，即为k≥对任意x＞0恒成立．即为k≥的最大值．令g（x）=，求出导数，求出极值也为最值，即可得到k的范围．
解答：解：（1）f（x）=ax+xlnx，可得f′（x）=a+lnx+1，
∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，
∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1；
（2）f（x）≤kx2对即为x+xlnx≤kx2，即1+lnx≤kx，
f（x）≤kx2对任意x＞0恒成立，即为k≥对任意x＞0恒成立．
即为k≥的最大值．
令g（x）=，g′（x）=，
令g′（x）=0，得x=1，检验，x=1处附近导数左正右负，则x=1为极大值点，也为最大值点，则g（1）最大，且为1．
则有k≥1．
故实数k的取值范围是，k∈Z．
（2）若函数f（x）有零点，
则2sin（2x+）+a﹣1=0有解，
即2sin（2x+）=1﹣a，
∵﹣2≤2sin（2x+）≤2，
∴﹣2≤1﹣a≤2，
解得﹣1≤a≤3，
即实数a的取值范围﹣1≤a≤3．
点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．
19．已知在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，AB=1，DE∥AB，AC=AD=CD=DE=2，F为CD的中点．（1）求证：AF⊥平面CDE；
（2）求平面ABC和平面CDE所成的锐二面角的大小．
考点：二面角的平面角及求法．
专题：空间角．
分析：（1）取CE的中点M，连接BM、FM，利用线面垂直的性质即可得到结论．
（2）以O为坐标原点，建立空间坐标系，求出各个顶点的坐标，进而求出平面ABC和BCE的法向量，利用向量法即可得到结论．
解答：证明：（1）取CE的中点M，连接BM、FM，
∵F为CD的中点，
∴FM∥DE，且FM=，
∵DE∥AB，
∴AB=1，
∴AB∥FM，且AB=FM，
则四边形ABMF为平行四边形，
∵AB⊥平面ACD，AB∥FM
∴FM⊥平面ACD，
∴FM⊥AF，
∵AC=AD=CD=DE=2，
∴AF⊥CD，
又AF∩CD=F
∴AF⊥平面CDE．
解：（ 2）以F为坐标原点，分别以FD、FM、FA为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，如图则F（0，0，0），D（1，0，0），C（﹣1，0，0），A（0，0，），B（0，1，），
∵AF⊥平面CDE
∴=（0，0，）是平面BCE的一个法向量，
设是平面ABC的一个法向量，
则，，
则，
令z=1，则x=，y=0，
即，
则平面ABC和平面CDE所成的锐二面角满足|cos＜＞
|==，
则＜＞=，
即平面ABC和平面CDE所成的锐二面角的大小．
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质及二面角的平面角及求法，在使用向量法求二面角的大小时，建立坐标系，求出平面的法向量是关键．
20．如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且与共线．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
专题：综合题．
分析：（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为，由A（a，0）、B（0，b），知
，由与共线，知，由此能求出椭圆E的标准方程．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），把直线方程y=kx+m代入椭圆方程，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，故，，△=16k2m2﹣4×（2k2+1）（2m2﹣2）=16k2﹣8m2+8＞0，由此能求出实数m的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为，
由已知得A（a，0）、B（0，b），
∴，
∵与共线，
∴，又a2﹣b2=1
∴a2=2，b2=1，
∴椭圆E的标准方程为
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
把直线方程y=kx+m代入椭圆方程，
消去y，得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，
∴，
△=16k2m2﹣4×（2k2+1）（2m2﹣2）=16k2﹣8m2+8＞0（*）
∵原点O总在以PQ为直径的圆内，
∴，即x1x2+y1y2＜0
又
由得，
依题意且满足（*）
故实数m的取值范围是
点评：本题考查椭圆参数方程的求法，考实数的取值范围，考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
21．已知函数f（x）=e x，g（x）=ax+b（e=2.71828…是自然对数的底数，a，b∈R）．
（1）求函数 y=f（x）+g（x）的单调区间；
（2）当a=﹣1时，若函数 y=在（﹣1，+∞）上有意义，求b的取值范围；
（3）如果0≤a≤，b=1，求证：当x≥0时，≥1．
考点：利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）先求出函数y=f（x）+g（x）=e x+ax+b的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的单调区间；
（2）当a=﹣1时，只需e x﹣x+b≠0即可，即函数y=e x和函数y=x﹣b无交点，从而得到b的范围；
（3）先求出函数h（x）的导数，问题转化为只需证明h（0）为h（x）在（0，+∞）上的最小值，通过讨论a的范围，从而得到答案．
解答：解：（1）∵f（x）=e x，g（x）=ax+b，
∴y=f（x）+g（x）=e x+ax+b，
∴y′=e x+a，
当a≥0时，y′＞0，函数y=f（x）+g（x）在（﹣∞，+∞）递增，
当a＜0时，令y′＞0，解得：x＞ln（﹣a），令y′＜0，解得：x＜ln（﹣a），
∴y=f（x）+g（x）在（﹣∞，ln（﹣a））递减，在（ln（﹣a），+∞）递增；
（2）当a=﹣1时，y==，
若函数 y=在（﹣1，+∞）上有意义，
只需e x﹣x+b≠0即可，即函数y=e x和函数y=x﹣b无交点，
当y=e x和y=x﹣b相切时，解得：b=﹣1，
∴b的范围是（﹣1，+∞）；
（3）如果0≤a≤，b=1，则f（x）=e x，g（x）=ax+1，
令h（x）==+，
∴h′（x）=﹣e﹣x+=，
显然h（0）=+=1，
故只需证明h（0）为h（x）在（0，+∞）上的最小值，
当a=0时，h（x）=+x，此时h′（x）=1﹣e﹣x≥0，故h（x）min=h（0）=1，
即h（x）≥1也即+≥1在x≥0时成立；
当0＜a≤时，令k（x）=1﹣e﹣x（ax+1）2，
则k′（x）=e﹣x（ax+1）（ax+1﹣a），
∵0＜a≤，∴ax+1≥1，ax+1﹣a≥1﹣a≥，
又∵e﹣x＞0，∴k′（x）＞0，
∴k（x）在0＜a≤，x≥0时递增，
∴k（x）min=1﹣e﹣0=0，∴k（x）≥0，
从而h′（x）在x∈[0，+∞），0＜a≤时恒有h′（x）≥0，
∴h（x）在[0，+∞）递增，∴h（x）≥h（0）=1，
综上，当x≥0，0≤a≤，b=1时，+≥1．
点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了函数的最值问题，考查了导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．。