山东省泰安四中2019届高三12月月考数学(理科)试卷

泰安四中2019届高三12月月考
数学（理）试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1．已知集合A={}23x x -<<，B={}2log 0x x >，则A B=⋂ A ．()21-，
B ．()10，
C ．()0，3
D ．()1，3
2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2614a a +=，则7S =
A ．13
B ．35
C ．49
D ．63
3．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )
A ．0
B ．2 C.1
3
D ．4
4．将函数2sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度，所得图象的一个对称
中心为
A ．012π⎛⎫
⎪⎝⎭
，
B ．06π⎛⎫
⎪⎝⎭
，
C ．03π⎛⎫
⎪⎝⎭
，
D ．02π⎛⎫
⎪⎝⎭
，
5．已知实数,x y 满足33y x >，则下列不等式中恒成立的是
A ．1122x
y
⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．()()22ln 1ln 1x y +>+
C ．11x y >
D ．tan tan x y >
6
．已知sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2cos 23πα⎛
⎫+
= ⎪⎝⎭
A ．23-
B ．13-
C ．23
D ．13
7．△ABC 为正三角形，D 是BC 的中点，E 是AC 的靠近A 的三等分点，
若AB AD BE λμ=+，则λμ+
A ．14
B ．14
-
C ．
34
D ．34
-
8．定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
，则函数()2sgn f x x x =的图象大致是
9．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≤时，()3x f x a =-，则()2f =
A ．
10
9 B ．8
9
C ．8
9-
D ．109
-
10．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为
A ．(8π+
B ．(8π+
C ．(4π+
D ．(4π+
11．函数()()()2sin 0,f x x x R ωϕω=+>∈的部分图象如图，则图中阴影部分的
面积为
A ．
12 B ．14 C D 12．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AM ⊥平面A 1BD ，垂足为M ，以下四个结论中正确的个数为
①AM 垂直于平面CB 1D 1；
②直线AM 与BB 1所成的角为45°； ③AM 的延长线过点C 1；
④直线AM 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角为60°．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量）
—，（），，（123==b x a
，若b a ⊥，则x =___________． 14．若,x y 满足约束条件213x y
y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，则23z x y =+的最大值为__________．
15．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为______平方里．
16．已知0,0,21a b a b >>+=，则2111
a b +++的最小值为__________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(10分)已知数列{}n a 为等差数列，数列{}{},n n a b 满足1122,6a b b ===， 且11n n n n n a b a b b ++=+.
(1) 求{}n a 的通项公式； (2)求{}n b 的前n 项和n S ．
18．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且s i n s i n 3a B b A π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭． (1)求A ； (2)
若,b c 成等差数列，△ABC
的面积为a ． 19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面A B C D ，
//,90,22AD BC ABC BC AB AD ∠=︒==
.
（1）求证：BD PC ⊥；
（2）若AP PC ⊥，设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，求两平面所成二面角的大小.
20．(12分)已知函数(
)()21
cos cos 02
f x x x x ωωωω=+-<，与其图象的对
称轴6x π=相邻()f x 的一个零点为512
π
．
(1)判断函数()f x 在区间,66ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的单调性；
(2)设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c
，其中()1c f C ==．
若向量．．
，，求），且—，（），，（b a n m B n A m
⊥==3sin sin 1
21．(12分)已知某国产品牌公司生产某款手机的年固定成本为10万元，每生产一千台需另投入2.7万元.假若该公司年内生产该款手机x 千台并全部销售完，
每千台的销售收入为()f x 万元，且()2
210.8,010*********,103x x f x x x
x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩ (1)写出年利润y(万元)关于年产量x (千台)的函数解析式；
(2)年产量为多少千台时，该公司在该款手机的生产中所获年利润最大? (注：年利润=年销售收入－年总成本)．
22．（12分）已知函数2()(1)x f x x e ax =-+. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围.。