浙江省高中数学课堂教学评比二项式定理1 人教课标版精品公开PPT课件
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思考2：展开式的第３项
1 x3
[
2
x
6
C16
2x5C62
2x4
C
3 6
2
x
3C46
2x 2C56
2x
C
6 6
]
的二项式系数是多少？64x3 192x2 240x160
思考3：你能否直接求出 展开式的第３项？
60 12 1 x x2 x3 .
例：求(2 x 1 )6 的展开式．
x
解:
(2x1x)6(2x x1)6x 13(2x1)6
物理是我 的强项
二项式定理，又称牛顿二项式 定理，由艾萨克·牛顿于1664 、1665年间提出．
二项式定理在组合理论、开高 次方、高阶等差数列求和，以 及差分法中都有广泛的应用．
数学上我同样有建树
二项式定理研究的是 (a b)n的展开式.
(ab)2 a ?22abb2 (ab)3 ?(ab)2(ab) (ab)4 (?ab)3(ab)
x13[2(x)6C6 1(2x)5C6 2(2x)4 C 6 3 (2 x )3 C 6 4 (2 x )2 C 6 5 1 0 66 x0 0 1 x 2 2 x 1 3
1.二项式定理： ( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n k a n k b k C n n b n ( n N * )
Cn2， ，Cnn 有何性质.
杨辉，南宋时期杰出的 数学家和数学教育家
例：求(2 x 1 )6 的展开式．
x
解: 1.直接展开
( 2 x 1 x ) 6 C 6 0 ( 2 x ) 6 C 6 1 ( 2 x ) 5 ( 1 x ) C 6 2 ( 2 x ) 4 ( 1 x ) 2 C 6 3 ( 2 x ) 3 ( 1 x ) 3 C 6 4 ( 2 x ) 2 ( 1 x ) 4 C 6 5 ( 2 x ) ( 1 x ) 5 C 6 6 ( 1 x ) 6
C 6 4 (2x )2 (1 x )4 C 6 5 (2x ) (1 x )5 C 6 6 (1 x )6
6x 3 4 1x 9 2 2x 4 1 0 66 x0 0 1 x 2 2 x 1 3
例：求 (2 x 1 )6的展开式．
x
解: 先化简后展开
(2x1x)6(2xx 1)6x 13(2x1)6
a2b C
2 3
ab2
C
3 3
b
3
(a b)4
C
40a 4
C
1 4
a3b
C
2 4
a2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
(ab)n ?
探究3：请分析 (a b)n的展开过程，证明猜想.
(ab)n(a b ) a ( b ) (a b)
n
①项： a n an1b L ankbk L b n
②系数：C
(ab )a (b )a (b )
③ 展开式：( a b ) 3 C 3 0 a 3 C 3 1 a 2 b C 3 2 a 2 b C 3 3 b 3
探究2 仿照上述过程,推导 (a b)的4 展开式.
(a b)2
C
0 2
a
2
C221abC
22b
2
(a b)3
C
0 3
a
3
C
1 3
2.先化简后展开
(2x1x)6(2x x1)6x 13(2x1)6 = 6 4 x 3 -1 9 2 x 2+ 2 4 0 x -1 6 0 + 6 0 -1 2 +1 x x 2 x 3
例：求(2 x 1 )6 的展开式．
x
解:
(2x1x)6(2x x1)6x 13(2x1)6
思考1：展开式的第３项 的系数是多少？
思考1：展开式的第３项
的系数是多少？
思考2：展开式的第３项
T21C62(2
x)4(
1 )2 x
的二项式系数是多少？
24x0
思考3：你能否直接求出
展开式的第３项？
同学们，再见！
0 n
C
1 n
C
k n
C
n n
分析 ankbk
k个(ab)中选 b
n个(ab)相乘
C
k n
nk个(ab)中选 a
③展开式：
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n k a n k b k C n n b n ( n N * )
二项式定理
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n k a n k b k C n n b n ( n N * )
……
(ab)100? (ab)n ?
此法 有困难
多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1a2)b (1b2)的展开式是什么？ 展开式有几项？每一项是怎样构成的？
➢问题2: (a 1 a 2 )b 1 ( b 2 )c 1 ( c 2 )展开式中 每一项是怎样构成的？展开式有几项？
规律: 每个括号内任取一个字母相乘构 成了展开式中的每一项.
(ab)n C ?n 0anCn 1an1(b)Cn kank(b)k Cn n(b)n
(1x)n C ?n 0 C n 1 x C n k x n C n n x n
例：求 (2 x 1 )6的展开式．
x
例：求 (2 x 1 )6的展开式．
x
解: 直接展开
(2x1 x)6C 6 0(2x)6C 6 1(2x)5(1 x) C 6 2(2x)4(21x)2C 6 3(2x)3(21x)3
①项数： 共有n＋1项
②次数： 各项的次数都等于n， 字母a按降幂排列，次数由n递减到0 , 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
③二项式系数: C n k(k {0,1,2,,n})
C a b T ④二项展开式的通项:
k nk k
k1
杨数n辉学，家南和宋数时学期教杰育出家的
二项式定理
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n k a n k b k C n n b n ( n N * )
探究1 推导 (a b)3的展开式.
(a b)3 (a b )a ( b )a ( b )
① 项： a 3 a 2b ab 2 b 3
②
系数：C1
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
a3kbk
k0,1,2,3
C
k 3
分析a2b (ab )a (b )a (b )
(ab )a (b )a (b )
C
1 3
(1)二项式系数： C n k(k 0 ,1 ,2 , ,n )
(2)二项展开式的通项： Tk1Cnkankbk
2．思想方法
(1) 从特殊到一般的数学思维方式. (2) 用计数原理分析二项式的展开过程. (3) 类比、等价转换的思想.
1、巩固型作业：
课本36页 习题1.3 A组 1、2、3
2、思维拓展型作业： 探究二项式系数 Cn0，Cn1，
1 x3
[
2
x
6
C16
2x5C62
2x4
C
3 6
2
x
3C46
2x 2C56
2x
C
6 6
]
的二项式系数是多少？64x3 192x2 240x160
思考3：你能否直接求出 展开式的第３项？
60 12 1 x x2 x3 .
例：求(2 x 1 )6 的展开式．
x
解:
(2x1x)6(2x x1)6x 13(2x1)6
物理是我 的强项
二项式定理，又称牛顿二项式 定理，由艾萨克·牛顿于1664 、1665年间提出．
二项式定理在组合理论、开高 次方、高阶等差数列求和，以 及差分法中都有广泛的应用．
数学上我同样有建树
二项式定理研究的是 (a b)n的展开式.
(ab)2 a ?22abb2 (ab)3 ?(ab)2(ab) (ab)4 (?ab)3(ab)
x13[2(x)6C6 1(2x)5C6 2(2x)4 C 6 3 (2 x )3 C 6 4 (2 x )2 C 6 5 1 0 66 x0 0 1 x 2 2 x 1 3
1.二项式定理： ( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n k a n k b k C n n b n ( n N * )
Cn2， ，Cnn 有何性质.
杨辉，南宋时期杰出的 数学家和数学教育家
例：求(2 x 1 )6 的展开式．
x
解: 1.直接展开
( 2 x 1 x ) 6 C 6 0 ( 2 x ) 6 C 6 1 ( 2 x ) 5 ( 1 x ) C 6 2 ( 2 x ) 4 ( 1 x ) 2 C 6 3 ( 2 x ) 3 ( 1 x ) 3 C 6 4 ( 2 x ) 2 ( 1 x ) 4 C 6 5 ( 2 x ) ( 1 x ) 5 C 6 6 ( 1 x ) 6
C 6 4 (2x )2 (1 x )4 C 6 5 (2x ) (1 x )5 C 6 6 (1 x )6
6x 3 4 1x 9 2 2x 4 1 0 66 x0 0 1 x 2 2 x 1 3
例：求 (2 x 1 )6的展开式．
x
解: 先化简后展开
(2x1x)6(2xx 1)6x 13(2x1)6
a2b C
2 3
ab2
C
3 3
b
3
(a b)4
C
40a 4
C
1 4
a3b
C
2 4
a2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
(ab)n ?
探究3：请分析 (a b)n的展开过程，证明猜想.
(ab)n(a b ) a ( b ) (a b)
n
①项： a n an1b L ankbk L b n
②系数：C
(ab )a (b )a (b )
③ 展开式：( a b ) 3 C 3 0 a 3 C 3 1 a 2 b C 3 2 a 2 b C 3 3 b 3
探究2 仿照上述过程,推导 (a b)的4 展开式.
(a b)2
C
0 2
a
2
C221abC
22b
2
(a b)3
C
0 3
a
3
C
1 3
2.先化简后展开
(2x1x)6(2x x1)6x 13(2x1)6 = 6 4 x 3 -1 9 2 x 2+ 2 4 0 x -1 6 0 + 6 0 -1 2 +1 x x 2 x 3
例：求(2 x 1 )6 的展开式．
x
解:
(2x1x)6(2x x1)6x 13(2x1)6
思考1：展开式的第３项 的系数是多少？
思考1：展开式的第３项
的系数是多少？
思考2：展开式的第３项
T21C62(2
x)4(
1 )2 x
的二项式系数是多少？
24x0
思考3：你能否直接求出
展开式的第３项？
同学们，再见！
0 n
C
1 n
C
k n
C
n n
分析 ankbk
k个(ab)中选 b
n个(ab)相乘
C
k n
nk个(ab)中选 a
③展开式：
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n k a n k b k C n n b n ( n N * )
二项式定理
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n k a n k b k C n n b n ( n N * )
……
(ab)100? (ab)n ?
此法 有困难
多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1a2)b (1b2)的展开式是什么？ 展开式有几项？每一项是怎样构成的？
➢问题2: (a 1 a 2 )b 1 ( b 2 )c 1 ( c 2 )展开式中 每一项是怎样构成的？展开式有几项？
规律: 每个括号内任取一个字母相乘构 成了展开式中的每一项.
(ab)n C ?n 0anCn 1an1(b)Cn kank(b)k Cn n(b)n
(1x)n C ?n 0 C n 1 x C n k x n C n n x n
例：求 (2 x 1 )6的展开式．
x
例：求 (2 x 1 )6的展开式．
x
解: 直接展开
(2x1 x)6C 6 0(2x)6C 6 1(2x)5(1 x) C 6 2(2x)4(21x)2C 6 3(2x)3(21x)3
①项数： 共有n＋1项
②次数： 各项的次数都等于n， 字母a按降幂排列，次数由n递减到0 , 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
③二项式系数: C n k(k {0,1,2,,n})
C a b T ④二项展开式的通项:
k nk k
k1
杨数n辉学，家南和宋数时学期教杰育出家的
二项式定理
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n k a n k b k C n n b n ( n N * )
探究1 推导 (a b)3的展开式.
(a b)3 (a b )a ( b )a ( b )
① 项： a 3 a 2b ab 2 b 3
②
系数：C1
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
a3kbk
k0,1,2,3
C
k 3
分析a2b (ab )a (b )a (b )
(ab )a (b )a (b )
C
1 3
(1)二项式系数： C n k(k 0 ,1 ,2 , ,n )
(2)二项展开式的通项： Tk1Cnkankbk
2．思想方法
(1) 从特殊到一般的数学思维方式. (2) 用计数原理分析二项式的展开过程. (3) 类比、等价转换的思想.
1、巩固型作业：
课本36页 习题1.3 A组 1、2、3
2、思维拓展型作业： 探究二项式系数 Cn0，Cn1，
