高中数学第二章数列2.1.1数列的概念与通项公式课件新人教A版必修

解析：(1)该数列的第 10 项 a10＝21× 0＋102＝53. (2)令 an＝194，即n2＋n2＝194，解得 n＝7. 所以194是数列中的项，且是数列的第 7 项．
|素养提升|
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质 (1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中 的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复出现． (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且 与这些数的排列次序也有关．
跟踪训练 2 根据以下数列的前 4 项写出数列的一个通项 公式．
(1)2×1 4，3×1 5，4×1 6，5×1 7； (2)－3,7，－15,31； (3)2,6,2,6.
解析：(1)均是分式且分子均为 1，分母均是两因数的积，第 一个因数是项数加上 1，第二个因数比第一个因数大 2，
所以 an＝n＋11n＋3. (2)正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n 来表示符号， 各项的绝对值恰是 2 的整数(项数加 1)次幂减 1，所以 an＝(－ 1)n(2n＋1－1)． (3)此数列为摆动数列，一般求两数的平均数2＋2 6＝4，而 2 ＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n 来表示．
【课标要求】 1.通过实例，了解数列的概念. 2.掌握数列的两种分类，能对具体数列作出判断. 3.理解数列通项公式的概念，能根据数列的前几项写出数列 的通项公式. 4.能根据数列的通项公式研究数列中有关项的问题.
自主学习 基础认识
|新知预习|
1．数列的概念 按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫 做这个数列的项．数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，…，an，…， 简记为{an}．
解析：由
an＝2
017－3n>0，得
2 n<
0317＝67213，
又因为 n∈N*，
所以正整数 n 的最大值为 672.
答案：672
令n＝4，n＝ 求a4，a6 → 分别令an＝－
→ 解方程 求n → 作出判断 【解析】 (1)∵an＝3n2－28n， ∴a4＝3×42－28×4＝－64， a6＝3×62－28×6＝－60.
和68列方程
(2)令 3n2－28n＝－49， 即 3n2－28n＋49＝0，
解得 n＝7 或 n＝73(舍)．① ∴－49 是该数列的第 7 项， 即 a7＝－49. 令 3n2－28n＝68， 即 3n2－28n－68＝0，
解析：令 n＝5，则 a5＝5－251＝18. 答案：18
课堂探究 互动讲练
类型一 数列的概念
[例 1] 下列说法错误的是( ) A．数列 4,7,3,4 的首项是 4 B．数列{an}中，若 a1＝3，则从第 2 项起，各项均不等于 3 C．数列 1,2,3，…就是数列{n} D．数列中的项不能是三角形
②图象法的优点：直观明了，能直观形象地表示出随着序号 的变化，相应项变，优点是内容具体、方法 简单，不需要计算就可以直接看出与序号相对应的项，但要确切 表示一个无穷数列或一个项数比较多的有穷数列则比较困难，这 与集合的列举法表示效果相似．
(3)通项公式法：用通项公式表示数列，简单明了，便于计 算，是常用的方法．
(3)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分
数再观察：12，42，92，126，225，…，所以，它的一个通项公式为 an＝n22.
(4)3 可看做 21＋1,5 可看做 22＋1,9 可看做 23＋1,17 可看做 24＋1,33 可看做 25＋1，…，所以原数列的一个通项公式为 an＝ 2n＋1.
an＝4＋(－1)n·2 或 an＝2，n是奇数， ，n是偶数.
类型三 通项公式的简单应用 [例 3] 已知数列{an}的通项公式为 an＝3n2－28n. (1)写出此数列的第 4 项和第 6 项； (2)问－49 是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68 是否是该数列的一项呢？
【思路点拨】
【思路点拨】 根据数列的前几项求它的一个通项公式，要 注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化 为一些常见的数列来求．
【解析】 (1)各项加 1 后，变为 10,100,1 000，10 000，…， 新数列的通项公式为 10n，可得原数列的一个通项公式为 an＝10n －1.
(2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，其 通项公式为 2n－1；考虑到(－1)n＋1 具有转换正负号的作用，所 以数列的一个通项公式为 an＝(－1)n＋1(2n－1)．
|自我尝试|
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同．( × ) (2)数列－1,0,1 与数列 1,0，－1 是同一个数列．( × ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关．( √ ) (4)an 与{an}是不同的概念．( √ ) (5)所有的数列都有通项公式，且通项公式在形式上一定是 唯一的．( × )
解得 n＝－2 或 n＝334. ∵－2∉N*，334∉N*，② ∴68 不是该数列的项．
方法归纳,
判断某数是否为数列的项的步骤 (1)将所给某数代入通项公式中； (2)解关于 n 的方程； (3)若 n 为正整数，说明某数是该数列的项；若 n 不是正整 数，说明某数不是该数列的项．
跟踪训练 3 已知数列{an}的通项公式是 an＝n2＋n2. (1)求该数列的第 10 项； (2)194是不是该数列的项？
答案：C
4．已知数列{an}的通项公式为 an＝1＋－2 1n＋1，则该数列的
前 4 项依次为( )
A．1,0,1,0
B．0,1,0,1
C.12，0，12，0
D．2,0,2,0
解析：当 n 分别等于 1,2,3,4 时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4 ＝0.
答案：A
5．数列{an}的通项公式 an＝n－2n1，则 a5＝________.
跟踪训练 1 下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的 数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由．
(1)8,8,8,8； (2)－3，－1,1，x,5,7，y,11； (3)当 n 取 1,2,3,4，…时，(－1)n 的值排成的一列数．
解析：(1)能构成数列，且构成的是有穷数列． (2)当 x，y 代表数时是数列，此时构成的是有穷数列；当 x， y 中有一个不代表数时，便不能构成数列，这是因为数列必须是 由一列数按一定的顺序排列组成的．
2．下列数列的关系是( )
(1)1,4,9,16,25 (2)25,16,9,4,1 A．都是同一个数列 B．都不相同 C．(1)、(2)是同一数列 D．(2)、(3)是同一数列
(3)9,4,1，16，25
解析：不相同，数列(1)(2)(3)中，虽然数字相同，但数字排 列的顺序不同，故不是同一个数列，应选 B.
方法归纳
用观察法求数列的通项公式的方法 (1)统一项的结构，如都化成分数、根式等．(如本例(3))． (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部 分的变化规律与对应序号间的函数关系式，如本例(3)中可把分 子、分母分别处理． (3)对于符号交替出现的情况，可观察其绝对值，再以(－ 1)n(n∈N*)处理符号，如本例(1)．
2．不能作为数列 2,0,2,0，…的通项公式的是( ) A．an＝1＋(－1)n＋1 B．an＝1－(－1)n C．an＝1＋(－1)n D．an＝1－cosnπ
解析：验证易知，只有 C 选项中的式子不能作为已知数列 的通项公式．
答案：C
3．已知数列{an}的通项公式为 an＝2 017－3n，则使 an>0 成立的最大正整数 n 的值为________．
2．数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N*或它的有限 子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数表达式．即数列的表示法有 三种：列表法、图象法、解析法(通项公式法)．数列的图象是一 系列孤立的点．
3．正如有些函数关系不一定有解析式一样，并不是所有的 数列都有通项公式．例如，π 的不足近似值精确到 1,0.1,0.01,0.001，…所构成的数列 3,3.1，3.14，3.141，…就没有 通项公式．若某数列{an}有通项公式，通项公式也不一定唯一， 如例 2(1)的通项公式也可表示为 an＝consnπ.
(3)能构成数列，且构成的是无穷数列．所构成的数列是－ 1,1，－1,1，….
类型二 用观察法求数列的通项公式 [例 2] 写出下面各数列的一个通项公式： (1)9,99,999,9 999，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)12，2，92，8，225，…； (4)3,5,9,17,33，….
答案：B
3．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A．1，13，19，217，… B．sin17π，sin27π，sin37π，… C．－1，－12，－14，－18，… D．1， 2， 3，…， 21
解析：A 选项中的数列是递减数列，B 选项中的数列是摆动 数列，D 选项中的数列是有穷数列，只有 C 选项中的数列是无 穷数列且是递增数列，故选 C.
【解析】 根据数列的相关概念，数列 4,7,3,4 的第 1 项就 是首项，即 4，故 A 正确；同一个数在数列中可以重复出现，故 B 错误；根据数列的相关概念可知 C 正确；数列中的项必须是数， 不能是其他形式，故 D 正确．
【答案】 B
方法归纳
数列定义的理解 (1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一 列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照 “一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置． (2){an}与 an 表示的含义不同，{an}表示数列 a1，a2，a3，…， an，…，而 an 只表示数列{an}的第 n 项． (3)数列的项与它的项数是两个不同的概念：数列的项是指 出现在这个数列中某一个确定的数 an，它是一个函数值，即 an ＝f(n)；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值 f(n) 对应的自变量的值，即 n.
2．数列的分类
(1)按项的个数分类
类别
含义
有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
(2)按项的变化趋势分类
类别
含义
递增数列
从第 2 项起，每一项都大于它的前一项 的数列
递减数列
从第 2 项起，每一项都小于它的前一项 的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第 2 项起，有些项大于它的前一项， 有些项小于它的前一项的数列
|巩固提升|
1．已知数列 5， 11， 17， 23， 29，…，则 5 5是它 的第( )项( )
A．19 B．20 C．21 D．22
解析：数列 5， 11， 17， 23， 29，…中的各项可变形
为 5， 5＋6， 5＋2×6， 5＋3×6， 5＋4×6，…， ∴该数列的一个通项公式为 an＝ 5＋6n－1＝ 6n－1. 令 6n－1＝5 5，得 n＝21. 答案：C
3.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
|化解疑难|
对数列表示方法的理解 (1)图象法：①数列是特殊的函数，因此，数列也可以根
据某通项公式画出其对应图象，这就是图象法．在画图时，为了 方便，直角坐标系两条坐标轴上的单位长度可以不同．