2020版高考数学理科人教B版一轮温习课时标准练47直线与圆圆与圆的位置关系

课时标准练47 直线与圆、圆与圆的位置关系
基础巩固组
1.(2018贵州凯里一中二模,4)直线y=34
x-52
和圆x 2+y 2-4x+2y-20=0的位置是( ) A.相交且过圆心 B.相交但只是圆心 C.相离
D.相切
2.(2018陕西西安八校联考,3)假设过点A (3,0)的直线l 与曲线(x-1)2+y 2=1有公共点,那么直线l 斜率的取值范围为 ( )
A.(-√3,√3)
B.[-√3,√3] √33
,
√3
3
D.[-√33,√3
3
]
3.(2018重庆巴蜀中学月考,7)已知直线l :y=-ax+a 是圆C :(x-2)2+(y-1)2=4的一条对称轴,过点A 4a ,
1
a
作圆C 的一条切线,切点为B ,则|AB|= ( )
√2 C.√38
√10
4.与直线x-y-4=0和圆x 2+y 2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是( ) A.(x+1)2+(y+1)2=2 B .(x-1)2+(y+1)2=4 C.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=4
5.(2018北京,理7)在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m 转变时,d 的最大值为( )
6.已知圆C :x 2+y 2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,那么圆C 中以a 4,-a
4为中点的弦长为( )
7.直线y=-√3
3x+m 与圆x 2+y 2=1在第一象限内有两个不同的交点,则m 的取值范围是( ) A.(√3,2) B.(√3,3)
C.√33,2√3
3
,2√3
3
8.(2018安徽淮南一模,16)过动点P作圆:(x-3)2+(y-4)2=1的切线PQ,其中Q为切点,若
|PQ|=|PO|(O为坐标原点),则|PQ|的最小值是.
9.(2018福建福州质检,15)已知A(-3,0),B(0,4),点C在圆(x-m)2+y2=1上运动,若△ABC的面积的最小值为5
2
,那么实数m的值为.
10.(2018湖南长郡中学一模,14)假设过点(1,1)的直线与圆x2+y2-6x-4y+4=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为.
综合提升组
11.(2018辽宁丹东模拟)圆心为(2,0)的圆C与圆x2+y2+4x-6y+4=0相外切,那么圆C的方程为()
+y2+4x+2=0 +y2-4x+2=0
+y2+4x=0 +y2-4x=0
12.(2018云南昆明一中八模,12)已知M为函数y=8a的图象上任意一点,过M作直线MA,MB别离与圆x2+y2=1相切于A,B两点,那么原点O到直线AB的距离的最大值为()
A.1 8
B.1 4
C.√2
2D.√2
4
13.已知圆C:x2+y2=4,过点A(2,3)作圆C的切线,切点别离为P,Q,那么直线PQ的方程
为.
14.(2018云南昆明应性检测,20)已知圆O:x2+y2=4上一动点A,过点A作AB⊥x轴,垂足为B 点,AB中点为P.
(1)当A在圆O上运动时,求点P的轨迹E的方程;
(2)过点F(-√3,0)的直线l与E交于M,N两点,当|MN|=2时,求线段MN的垂直平分线方程.
创新应用组
15.已知圆心为C的圆,知足以下条件:圆心C位于x轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为2√3,圆C的面积小于13.
(1)求圆C的标准方程;
(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是不是存在如此的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?若是存在,求出l的方程;假设不存在,请说明理由.
16.已知圆O:x2+y2=4,点A(-√3,0),B(√3,0),以线段AP为直径的圆C1内切于圆O,记点P的轨迹为C2.
(1)证明:|AP|+|BP|为定值,并求C2的方程;
(2)过点O的一条直线交圆O于M,N两点,点D(-2,0),直线DM,DN与C2的另一个交点别离为S,T,
的取值范围.
记△DMN,△DST的面积别离为S1,S2,求a1a
2
课时标准练47 直线与圆、圆与圆的位置关系
x 2+y 2-4x+2y-20=0可化简为(x-2)2+(y+1)2=25,故圆心为(2,-1),半径r=5.
将(2,-1)代入y=3
4x-5
2中,3×2-4×(-1)-10=0,知足直线方程,故直线过圆心且与圆相交.应选A .
设直线l 的方程为y=k (x-3),代入圆的方程中,整理得(k 2+1)x 2-(6k 2+2)x+9k 2=0,则Δ=4(1-3k 2)≥0,解得-√3
3
≤k ≤
√3
3
,应选D .
∵直线l :y=-ax+a 是圆C :(x-2)2+(y-1)2=4的一条对称轴,
∴y=-ax+a 过圆心C (2,1),∴1=-2a+a ,解得a=-1,∴直线l 的方程为y=x-1,A 点坐标为(-4,-1),|AC|2=36+4=40,由勾股定理可得,|AB|2=|AC|2-r 2=40-4=36,|AB|=6,应选B .
圆x 2+y 2+2x-2y=0的圆心坐标为(-1,1),半径为√2,过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程
为x+y=0,所求圆的圆心在此直线上,又圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为2
=3√2,那么所求圆的
半径为√2,设所求圆的圆心为(a ,b ),且圆心在直线x-y-4=0的左上方,则
√2
=√2,且a+b=0,解得
a=1,b=-1(a=3,b=-3不符合题意,舍去),故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
应选C .
设P (x ,y ),则{a =cos a ,a =sin a ,
x 2+y 2
=1.即点P 在单位圆上,点P 到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心
(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,因此距离最大为d=1+
√1+a =1+
√1+a .当m=0时,d max =3.
∵圆C :x 2+y 2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,
∴直线3x-ay-11=0过圆心C (1,-2),∴3+2a-11=0,
解得a=4,
∴
a 4,-a
4
即为(1,-1),点(1,-1)到圆心C (1,-2)的距离d=√(1-1)2+(-1+2)2
=1, 圆C :x 2+y 2-2x+4y=0的半径r=1
2
√4+16=√5,
∴圆C 中以
a 4,-a
4
为中点的弦长为2√a 2-a 2=2√5-1=4.应选D .
当直线通过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,现在m=1;当直线与圆相切时,有圆心到直线的
距离d=
a +(33
) =1,解得m=
2√3
3
(切点在第一象限),因此要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,则1<m<2√3
3
. 8.
125
设P (x ,y ),则x 2+y 2=(x-3)2+(y-4)2-1,即3x+4y=12,
因此点P 的运动轨迹是直线3x+4y=12, 因此d min =13
5,
则|PQ|min =√(135
)2
-1=12
5
.
112或-12
直线AB 方程为a -3+a
4=1,即4x-3y+12=0.
若△ABC 的面积最小,那么点C 到直线AB 的距离d 最短,
d min =
|4a +12|
5
-1,又△ABC 的面积的最小值为52,因此1
2×5×
|4a +12|
5
-1=5
2即|4m+12|=10,因此
m=-11
2或-1
2.应选D .
圆x 2+y 2-6x-4y+4=0的圆心为(3,2),半径r=1
2√36+16-16=3,
点(1,1)与圆心(3,2)间的距离d=√(3-1)2+(2-1)2
=√5, 因此|AB|的最小值|AB|min =2√a 2-a 2
=2√9-5=4.
圆x 2+y 2+4x-6y+4=0,即(x+2)2+(y-3)2=9的圆心为(-2,3),半径为3.
设圆C 的半径为r.
由两圆外切知,圆心距为√(2+2)2+(0-3)2
=5=3+r.
因此r=2,圆C 的方程为(x-2)2+y 2=4,即x 2+y 2-4x=0.应选D .
设M (x 0,y 0),则x 0y 0=8.
∴以OM 为直径的圆的方程为(a -a 02
)2+(a -
a 02
)2=
a 02+a 0
2
4
,即x 2+y 2-x 0x-y 0y=0.
又∵AB 为圆x 2+y 2-x 0x-y 0y=0与圆x 2+y 2=1的公共弦,
∴两圆方程作差可得直线AB 的方程为x 0x+y 0y=1,
∴点O到直线AB的距离为d=
√a0+a0≤
√200
=1
4
,当且仅当{
a0a0=8,
a0=a0,,即{
a0=2√2,
a0=2√2
或
{a0=-2√2,
a0=-2√2
时取等号.
∴原点O 到直线AB 的距离的最大值为1
4.应选B .
+3y-4=0 以O (0,0),A (2,3)为直径端点的圆的方程为x (x-2)+y (y-3)=0,即x 2+y 2-2x-3y=0,与圆C :x 2+y 2=4相减得2x+3y-4=0,故直线PQ 的方程为2x+3y-4=0.
14.解 (1)设P (x ,y ),则A (x ,2y ).
将A (x ,2y )代入
x 2+y 2=4得点P 的轨迹E 的方程为a 2
4
+y 2=1(y ≠0).
(2)由题意可设直线l 方程为x=my-√3,由{a =aa -√3,
a 2
4
+a 2
=1,
得(m 2+4)y 2-2√3my-1=0.因此
{
a 1+a 2=2√3a
a 2+4,a 1·a 2=-
1
a 2+4
.
因此|AB|=√1+a 2|y 1-y 2|=√1+a 2
√(a 1+a 2)2-4a 1·a 2=4(a 2
+1)a 2+4
=2.因此m=±√2.
当m=√2时,中点纵坐标y 0=
a 1+a 2
2
=
√6
6
,代入x=my-1得中点横坐标x 0=-2√3
3
,斜率为k=-√2.
故线段MN 的垂直平分线方程为2x+√2y+√3=0.
当m=-√2时,同理可得MN 的垂直平分线方程为2x-√2y+√3=0. 因此线段MN 的垂直平分线方程为2x+√2y+√3=0或2x-√2y+√3=0. 15.解 (1)设圆C :(x-a )2+y 2=r 2(a>0),
由题意知{
√3+4=a ,
√a 2+3=a ,
解得a=1或a=13
8
. 又S=πr 2<13,∴a=1,
∴圆C 的标准方程为(x-1)2+y 2=4.
(2)当斜率不存在时,直线l 为x=0,不知足题意. 当斜率存在时,设直线l :y=kx+3,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 又l 与圆C 相交于不同的两点,联立得{
a =aa +3,
(a -1)2+a 2
=4,
消去y 得(1+k 2)x 2+(6k-2)x+6=0. ∴Δ=(6k-2)2-24(1+k 2)=12k 2-24k-20>0,
解得k<1-2√6
3
或k>1+
2√6
3
.
x 1+x 2=-
6a -2
1+a
2
,
y 1+y 2=k (x 1+x 2)+6=2a +61+a
2
,
aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 2,y 1+y 2),aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3), 假设aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则-3(x 1+x 2)=y 1+y 2, 解得k=3
4∉-∞,1-2√6
3
∪1+
2√6
3
,+∞,假设不成立,
∴不存在如此的直线l.
16.解 (1)证明:设AP 的中点为E ,切点为F ,连接OE ,EF (图略),则|OE|+|EF|=|OF|=2,故
|BP|+|AP|=2(|OE|+|EF|)=4.
∴点P 的轨迹是以A ,B 为核心,长轴长为4的椭圆.
其中,a=2,c=√3,b=1,则C 2的方程是a 2
4+y 2=1. (2)设直线DM 的方程为x=my-2(m ≠0).
∵MN 为圆O 的直径,
∴∠MDN=90°,∴直线DN 的方程为x=-1
a y-2,
由{a =aa -2,a 2+a 2
=4
得(1+m 2)y 2-4my=0,∴y M =4a
1+a 2, 由{a =aa -2,a 2+4a 2
=4
得(4+m 2)y 2-4my=0,∴y S =4a
4+a 2, ∴
a a
a a
=
4+a 21+a
2
,∴
a a a a =
4a 2
+1
a 2+1
.
∵|DM|=√1+1
a 2
|y M -0|,
|DS|=√1+
1
a 2
|y S -0|,
|DN|=√1+a 2|y N -0|, |DT|=√1+a 2|y T -0|,
又∵△DMN ,△DST 都是有同一极点的直角三角形, ∴
a 1a 2
=
a a a a ·a a
a a
=
4+a 21+a
2
·
4a 2
+1
a 2+1.
设s=1+m 2,则s>1,0<3
a <3,
∴a1 a2=4-3
a
1+3
a
∈4,25
4
.。