2016年河南专升本高数真题+答案解析

2016年河南省普通高等学校
选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试
高等数学试卷
一、单项选择题(每小题2分，共60分)
1
．函数()f x 的定义域是（ ）
A ．(,1]-∞-
B ．(,1)-∞-
C ．(,1]-∞
D ．(,1)-∞
【答案】D
【解析】要使函数有意义，则需10x ->，即1x <
2．函数3()2f x x x =-是（ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．无法判断
【答案】A
【解析】33()2()2()f x x x x x f x -=---=-+=-，所以是奇函数．
3．已知1
()1f x x
=-
，则[]()f f x =（ ） A ．1x - B ．
11
x - C ．1x - D ．
11x
- 【答案】D
【解析】[]111()11111f f x f x x x ⎛⎫
=-=-=
⎪-⎝⎭-．
4．下列极限不存在的是（ ）
A ．20
lim
1
x x
x →+ B ．2lim
1
x x
x →∞+
C ．lim 2x x →-∞
D ．lim 2x x →+∞
【答案】D 【解析】20lim 01x x x →=+，2lim 01
x x x →∞=+，lim 20x x →-∞=，lim 2x
x →+∞=+∞．
5．极限2
2
12lim x x x x →∞--的值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．1-
D ．2-
【答案】C
【解析】2
2
12lim
1x x x x →∞--=-，故选C ．
6．已知极限0lim 2sin x x
ax
→=，则a 的值是（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．
12
【答案】D 【解析】0001lim lim lim 2sin x x x x x ax ax a →→→===，故1
2
a =．
7．已知当0x →时，222cos ~x ax -，则a 的值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．
12
D ．1-
【答案】A
【解析】()2
222
00001221cos 22cos 12lim lim lim lim 1x x x x x
x x ax ax ax a →→→→⋅--====，故1a =．
8．已知函数21
,1()12,1x ax x f x x x ⎧-+≠⎪
=-⎨⎪=⎩
则在点1x =处，下列结论正确的是（ ）
A ．2a =时，()f x 必连续
B ．2a =时，()f x 不连续
C ．1a =-时，()f x 连续
D ．1a =时，()f x 必连续
【答案】B
【解析】要使函数()f x 在1x =处连续，则有1lim ()(1)x f x f →=，即211lim
21
x x ax x →-+=-，而当2a =时，22
11121(1)lim
lim lim(1)021
1x x x x x x x x x →→→-+-==-=≠--，故当2a =时，()f x 不连续．
9．已知函数()x ϕ在点0x =处可导，函数()(1)(1)f x x x ϕ=--，则(1)f '=（ ）
A ．(0)ϕ'
B ．(1)ϕ'
C ．(0)ϕ
D ．(1)ϕ
【答案】C
【解析】由()x ϕ在点0x =处可导，可知()x ϕ在点0x =处连续，
1
11()(1)(1)(1)0
(1)lim
lim lim (1)(0)11
x x x f x f x x f x x x ϕϕϕ→→→----'===-=--．
10．函数()11f x x =--在点1x =处（ ）
A ．不连续
B ．连续且可导
C ．既不连续也不可导
D ．连续但不可导
【答案】D
【解析】2,1
()11,
1x x f x x x x ->⎧=--=⎨≤⎩，显然()f x 在1x =处连续，而
1
1()(1)21(1)lim lim 111x x f x f x f x x +
++→→---'===---，11()(1)1
(1)lim lim 111
x x f x f x f x x -+
-→→--'===--，由于(1)(1)f f -+''≠，故在1x =处不可导．
11．若曲线3()1f x x =-与曲线()ln g x x =在自变量0x x =时的切线相互垂直，则0x 应为（ ）
A
B
．
C ．13
D ．13
-
【答案】C
【解析】200()3f x x '=-，001()g x x '=，由于切线相互垂直，则2003x x -=-，即013
x =．
12．已知4()1f x x =-在闭区间[]1,1-上满足罗尔中值定理，则在开区间(1,1)-内使()0f ξ'=成立的ξ=（ ）
A ．0
B ．1
C ．1-
D ．2
【答案】A
【解析】3()4f x x '=-，3()40f ξξ'=-=，则0ξ=．
13．设函数()f x 在区间(1,1)-内连续，若(1,0)x ∈-时，()0f x '<，(0,1)x ∈时，()0f x '>，则在区间(1,1)-内（ ） A ．(0)f 是函数()f x 的极小值 B ．(0)f 是函数()f x 的极大值
C ．(0)f 不是函数()f x 的极值
D ．(0)f 不一定是函数()f x 的极值
【答案】A
【解析】由极值第一判定定理，可知(0)f 应为函数()f x 的极小值．
14．设函数()y f x =在区间(0,2)内具有二阶导数，若(0,1)x ∈时，()0f x ''<，(1,2)x ∈时，()0f x ''>，则（ ）
A ．(1)f 是函数()f x 的极大值
B ．点()1,(1)f 是曲线()y f x =的拐点
C ．(1)f 是函数()f x 的极小值
D ．点()1,(1)f 不是曲线()y f x =的拐点
【答案】B
【解析】函数()f x 在(0,1)上为凸，在(1,2)上为凹，故()1,(1)f 是曲线()y f x =的拐点．
15．已知曲线4()f x x =，则（ ） A ．在(,0)-∞内4y x =单调递减且形状为凸 B ．在(,0)-∞内4y x =单调递增且形状为凹 C ．在(0,)+∞内4y x =单调递减且形状为凸
D ．在(0,)+∞内4y x =单调递增且形状为凹
【答案】D
【解析】34y x '=，当0x >时，0y '>；当0x <时，0y '<；212y x ''=，在(,)-∞+∞上有0y ''≥．
16．已知()F x 是()f x 的一个原函数，则不定积分(1)f x dx -=⎰（ ）
A ．(1)F x C -+
B ．()F x
C +
C ．(1)F x C --+
D ．()F x C -+
【答案】A
【解析】由题可知()()f x dx F x C =+⎰，(1)(1)(1)(1)f x dx f x d x F x C -=--=-+⎰⎰．
17．设函数20()()x
t f x e t dt -=+⎰，则()f x '=（ ）
A ．31
3
x e x --+
B ．2x e x --+
C ．2x e x -+
D ．2x e x -+
【答案】C
【解析】()()
2
20
()x t
x f x e
t dt e x --'
'=+=+⎰．
18．定积分2
a
x a
xe dx --=⎰（ ）
A ．2
2a ae -
B ．2
a ae -
C ．0
D ．2a
【答案】C
【解析】令2
()x f x xe -=，2
()()x f x xe f x --=-=-，可知()f x 为奇函数，故2
0a
x a
xe dx --=⎰．
19．由曲线x y e -=与直线0x =，1x =，0y =所围成的平面图形的面积是（ ）
A ．1e -
B ．1
C ．11e --
D ．11e -+
【答案】C
【解析】由题可知所求面积1
101x A e dx e --==-⎰．
20．设定积分2
211
I x dx =⎰，2
21
I xdx =⎰，则（ ）
A ．12I I =
B ．12I I >
C ．12I I <
D ．不能确定
【答案】B
【解析】当(1,2)x ∈时，2x x >，由定积分保序性可知2
2
211x dx xdx >⎰⎰，即12I I >．
21．向量=+a j k 的方向角是（ ）
A ．
4
π，4π，2π B ．
4
π，2π，2π
C ．
4
π，2π，4π
D ．
2π，4π
，4
π 【答案】D
【解析】向量a 的坐标表示应为(0,1,1)，故方向余弦为cos 0α=，cos
β=，cos γ则
应为α，β，γ应为2π，4π
，4
π．
22．已知x e -是微分方程320y ay y '''++=的一个解，则常数a =（ ）
A ．1
B ．1-
C ．3
D ．13
-
【答案】A
【解析】令x y e -=，x y e -'=-，x y e -''=，代入有320x x x e ae e ----+=，由0x e -≠，则有
1320a -+=，1a =．
23．下列微分方程中可进行分离变量的是（ ）
A ．()x y y x y e +'=+
B ．x y y xye +'=
C ．xy y xye '=
D ．()xy y x y e '=+
【答案】B
【解析】对于B 项，x y y xye e '=⋅，分离变量得x y dy
xe dx ye
=．
24．设二元函数3
2
3
z x xy y =++，则
2z
x y
∂=∂∂（ ） A ．23y B ．23x C ．2y D ．2x
【答案】C
【解析】22
3z x y x
∂=+∂，22z y x y ∂=∂∂．
25．用钢板做成一个表面积为254m 的有盖长方体水箱，欲使水箱的容积最大，则水箱的最大容积为（ ）
A ．318m
B ．327m
C ．36m
D ．39m
【答案】B
【解析】设水箱的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则有22254xy yz xz ++=，即27xy yz xz ++=，体积V xyz =，令
()(,,)27F x y z xyz xy yz xz λ=+++-，令()()()000270
x
y
z F yz y z F xz x z F xy x y F xy yz xz λ
λλλ⎧=++=⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=++-=⎩，解得
333x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，由于驻点(3,3,3)唯一，实际中确有最大值，故当3x =，3y =，3z =时长方体体积最
大，最大值27V =．
26．设{}
22
(,)14,0,0D x y x y x y =≤+≤≥≥，则二重积分4D
dxdy =⎰⎰（ ）
A ．16π
B ．8π
C ．4π
D ．3π
【答案】D
【解析】由二重积分的性质可知444D D
D
dxdy dxdy S ==⎰⎰⎰⎰，D S 为D 的面积，
()2
132144D S πππ=⋅-⋅=，故34434D
dxdy ππ=⋅=⎰⎰．
27．已知100
(,)(,)x
D f x y d dx f x y dy σ=⎰⎰
⎰⎰，则变换积分次序后(,)D
f x y d σ=⎰⎰（ ）
A ．1
1
0(,)y dy f x y dx ⎰⎰ B ．10
(,)y
dy f x y dx ⎰⎰
C ．1
(,)x
dy f x y dx ⎰⎰
D ．10
(,)x
dy f x y dx ⎰⎰
【答案】A
【解析】积分区域为D ：01x ≤≤，0y x ≤≤，也可表示为：01y ≤≤，1y x ≤≤，故交换积分次序后11
(,)(,)y
D
f x y d dy f x y dx σ=⎰⎰
⎰⎰．
28．设L 为连接点(0,0)
与点的直线段，则曲线积分2
L y ds =⎰（ ）
A ．1
B ．2
C ．3 D
【答案】B
【解析】L
可表示为y =，01x ≤≤
，则)
2
1
122
322L
y ds x
dx ==⋅=⎰⎰
⎰．
29．下列级数发散的是（ ）
A ．11
n n
∞
=∑
B ．2
1
(1)n n ∞=-∑
C ．211
n n
∞
=∑
D ．2
21(1)n n
∞
=-∑
【答案】A
【解析】选项A 为调和级数，可知其发散．
30．已知级数1
n n u ∞
=∑，则下列结论正确的是（ ）
A ．若lim 0n n u →∞
=，则1
n n u ∞
=∑收敛 B ．若部分和数列{}n S 有界，则1
n n u ∞
=∑收敛
C ．若1
n n u ∞
=∑收敛，则lim 0n n u →∞
= D ．若1
n n u ∞
=∑收敛，则1
n n u ∞
=∑收敛
【答案】C
【解析】lim 0n n u →∞
=是1
n n u ∞=∑收敛的必要条件，故应选C ，选项B 中，需要求1
n n u ∞
=∑为正项级数；选项D 应改为若1
n n u ∞
=∑收敛，则1
n n u ∞
=∑收敛．
二、填空题(每小题2分，共20分)
31．函数3()f x x =的反函数是y =________．
【解析】令3()y f x x ==，x =，故()f x 的反函数y ．
32．极限1
lim 21
n n n →∞-=+________．
【答案】
12
【解析】11
lim 212n n n →∞-=+．
33．已知函数2,0
()1,0
x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，则点0x =是()f x 的________的间断点．
【答案】可去
【解析】00
lim ()lim(2)2x x f x x →→=-=，(0)1f =，故0x =是()f x 的可去间断点．
34．函数1()x f x e -=在点0.99x =处的近似值为________．
【答案】1.01
【解析】取01x =，0.01x ∆=-，有000()(0.99)()()11(0.01) 1.01f x x f f x f x x '+∆=≈+∆=-⋅-=．
35．不定积分sin(1)x dx +=⎰________． 【答案】cos(1)x C -++
【解析】sin(1)sin(1)(1)cos(1)x dx x d x x C +==++=-++⎰⎰．
36．定积分1
01
1
dx x =+⎰
________． 【答案】ln2 【解析】原式1
11
001
1(1)ln 1
ln 21
1dx d x x x x =+=+=++⎰⎰．
37．函数23z xy x y =--在点(0,1)处的全微分(0,1)
dz =________．
【答案】2dx dy - 【解析】2z
y x x
∂=-∂，2z x y y ∂=-∂，故(0,1)
(0,1)
(0,1)
2z
z dz dx dy dx dy x
y
∂∂=
+
=-∂∂．
38．与向量(2,1,2)同向平行的单位向量是________． 【答案】212,,333⎛⎫
⎪⎝⎭
3，故与(2,1,2)同向平行的单位向量为212,,333⎛⎫
⎪⎝⎭
．
39．微分方程20y xy '+=的通解是________． 【答案】2
2
y x C
=
+或0y = 【解析】方程分离变量的2dy xdx y =-，两边积分得2112x C y =+，整理得22
y x C
=+，其中C 为
任意常数，当0y =时，可知也为方程的解．
40．幂级数13
n
n n x ∞
=∑的收敛半径为________．
【答案】3
【解析】11131
lim lim 313n n n n n n
a a ρ++→∞→∞==⋅=，故13R ρ==．
三、计算题(每小题5分，共50分) 41．计算极限20
lim(1)x
x x →-．
【答案】2e -
【解析】21
(2)20
0lim(1)lim(1)
x
x
x x x x e ⋅---→→-=-=．
42
．求函数y =的导数．
【解析】令2cos u x =-
，y ''=
．
43．计算不定积分2ln 1
x dx x -⎰
． 【答案】
()2
2ln 14
x C -+
【解析】()()()()2
2ln 12ln 11
2ln 1ln 2ln 12ln 124
x x dx x d x x d x C x --=-=--=+⎰⎰⎰．
44．计算定积分2
sin x xdx π
⎰
．
【答案】1
【解析】22220
sin cos cos cos 1x xdx xd x x x xdx π
π
π
π
=-=-+=⎰⎰⎰．
45．设直线230:3571x y z l x y z ++=⎧⎨++=⎩
，求过点(0,1,2)A 且平行于直线l 的直线方程． 【答案】
12121
x y z --==- 【解析】设已知直线l 的方向向量为s ，则123(1,2,1)357==--i j k
s ．由于所求直线与l 平行，
故其方向向量可取(1,2,1)-，又直线过点(0,1,2)A ，故所求直线方程为12
121
x y z --==-．
46．已知函数(,)z f x y =由方程0xz yz x y --+=所确定，求全微分dz ． 【答案】
11
z z dx dy x y x y
--+-- 【解析】令(,,)F x y z xz yz x y =--+，则1x F z =-，1y F z =-+，z F x y =-，故1x z F z z
x F x y
∂-=-=∂-，1
y z F z z y F x y
∂-=-=∂-，因此11z z dz dx dy x y x y --=+--．
47．已知{}
22
(,)04D x y x y =≤+≤
，计算二重积分D
．
【答案】
163
π
【解析】20
163
D
d rdr ππ
θ==
⎰⎰
．
48．求全微分方程0xy y x '+-=的通解． 【答案】2x C y x
=
+ 【解析】方程化简为1
1y y x
'+
=，为一阶线性微分方程，由通解公式得 ()11
112dx dx
x x x C y e e dx C xdx C x
x
-
⎛⎫⎰⎰=⋅+=
+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰．
49．求幂级数1
(1)(1)1n
n
n x n ∞
=--+∑的收敛区间．
【答案】(0,2)
【解析】令1t x =-，则级数1(1)1n n
n t n ∞
=-+∑为不缺项的幂级数，11
lim lim 12n n n n
a n a n ρ+→∞→∞+===+，故收敛半径1R =，则11t -<<，即111x -<-<，02x <<，故收敛区间为(0,2)．
50．求级数1
1n n x n
+∞
=∑的和函数．
【答案】()ln(1)S x x x =--
【解析】1lim 11n n n ρ→∞=⋅=+，收敛半径1R =，令1111()()n n
n n x x S x x xS x n n
+∞∞
=====∑∑，1111
01()1n n n n n n x S x x x n x ∞∞∞-==='⎛⎫'====
⎪-⎝⎭∑∑∑，(1,1)x ∈-，所以()
11
()()()x S x xS x x S t dt '==⎰01ln(1)1x x dt x x t ⎛⎫
==-- ⎪-⎝⎭
⎰．
四、应用题(每小题7分，共14分)
51．求由直线1x =，x e =，0y =及曲线1
y x
=所围成平面图形的面积． 【答案】1 【解析】1
1
1e S dx x
==⎰．
52．某工厂生产计算器，若日产量为x 台的成本函数为2()7500500.02C x x x =+-，收入函数为2()800.03R x x x =-，且产销平衡，试确定日生产多少台计算器时，工厂的利润最大？ 【答案】1500
【解析】利润=收入-成本，故利润2()()()300.017500L x R x C x x x =-=--，令()0L x '=，
1500x =，且(1500)0.020L ''=-<，故1500x =为()L x 的极大值，又由实际问题知，极值唯一，
故1500x =为()L x 的最大值，即日生产1500台计算器时，工厂的利润最大．
五、证明题(6分)
53．已知方程35430x x x +-=有一负根2x =-，证明方程244950x x +-=必有一个大于2-的负根．
【证明】令35()43f x x x x =+-，由题可知(2)0f -=，又有(0)0f =，()f x 在[]2,0-上连续，在()2,0-上可导，故由罗尔定理可知至少存在一点()2,0ξ∈-，使得24()4950f ξξξ'=+-=， 即方程244950x x +-=必有一个大于2-的负根．。