2021年海南省中考数学试题(含答案解析)

2021 年海南省中考数学试题（含答案解析）
2021 年海南省中考数学试题（含答案
解析）
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2021 年海南省中考数学试卷（共 22 题，满分 120 分）一、选择题（本大题满分 36 分，每小题 3 分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用 2B 铅笔涂黑. 1．（3 分）实数﹣5 的相反数是（） A．5 B．﹣5 C．±5 D． 2．（3 分）下列计算正确的是（） A．a3+a3＝a6 B．2a3﹣a3＝1 C．a2•a3＝a5 D．（a2）3＝a5 3．（3 分）下列整式中，是二次单项式的是（）
A．x2+1 B．xy C．x2y D．﹣3x 4．（3 分）天问一号于2020 年7 月23 日在
文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，于2021 年5 月15 日在火星成功着陆，总飞行里程超过450000000 千米．数据450000000 用科学记数法表示为（） A．450×106 B．45×107 C．4.5×108 D．4.5×109 5．（3 分）如图是由 5 个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图是
（） A． B． C． D． 6．（3 分）在一个不透明的袋中装有5 个球，其
中2 个红球，3 个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1 个球，
摸出红球的概率是（） A． B． C． D． 7．（3 分）如图，点A、B、C 都在方格纸的格点上，若点A 的坐标为（0，2），点B 的坐标为（2，0），则点C 的坐标是（） A．（2，2） B．（1，2） C．（1，1） D．（2，1）8．（3 分）用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后所得的方程是（）A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4 9．（3 分）如图，已知a∥b，直线l 与直线a、b 分别交于点A、B，分别以点A、B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交直线b 于点C，连接AC，若∠1＝40°，则∠ACB的度数是（） A．90° B．95° C．100° D．105° 10．（3 分）如图，四边形ABCD 是⊙O的内接四边形，BE 是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是
（） A．30° B．35° C．45° D．60° 11．（3 分）如图，在菱形ABCD 中，点E、F 分别是边BC、CD 的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD 的面积
为8，则△AEF的面积为（） A．2 B．3 C．4 D．5 12．（3 分）李叔叔
开车上班，最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到单位，李叔叔在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶，则汽车行驶的路程y（千米）与行驶的时间t（小时）的函数关系的大致图象是（） A． B． C． D．二、填空题（本大题满分16 分，每小题4 分，其中第16 小题每空2 分） 13．（4 分）分式方程0 的解是． 14．（4 分）若点A（1，y1），B（3，y2）在反比例函数y 的图象上，则y1 y2 （填“＞”“＜”或“＝”）． 15．（4 分）如图，△ABC的顶点 B、C 的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点 A 的坐标是． 16．（4 分）如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，AD＝8，将此矩形折叠，使点C 与点A 重合，点D 落在点D′处，折痕为EF，则AD′的长
为，DD′的长为．三、解答题（本大题满分68 分） 17．（12 分）（1）计算：23+|﹣3|÷35﹣1；
（2）解不等式组并把它的解集在数轴（如图）上表示出来． 18．（10 分）为了庆祝中国共产党成立 100 周年，某校组织了党史知识竞赛，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍对表现优异的班级进行奖励．若购买 2 副乒乓球拍和 1 副羽毛球拍共需 280 元；
若购买 3 副乒乓球拍和 2 副羽毛球拍共需 480 元．求 1 副乒乓球拍和 1 副羽毛
球拍各是多少元？ 19．（8 分）根据 2021 年5 月11 日国务院新闻办公室发布
的《第七次全国人口普查公报》，就我国 2020 年每 10 万人中，拥有大学（指
大专及以上）、高中（含中专）、初中、小学、其他等文化程度的人口（以上
各种受教育程度的人包括各类学校的毕业生、肄业生和在校生）受教育情况数据，绘制了条形统计图（图 1）和扇形统计图（图 2）．根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝，b＝；
（2）在第六次全国人口普查中，我国 2010 年每10 万人中拥有大学文化程度的
人数约为 0.90 万，则 2020 年每 10 万人中拥有大学文化程度的人数与 2010 年相比，增长率是 %（精确到0.1%）．（3）2020 年海南省总人口约 1008 万人，每 10 万人中拥有大学文化程度的人数比全国每 10 万人中拥有大学文化程度的人数约少 0.16 万，那么全省拥有大学文化程度的人数约有万（精确到 1 万）． 20．（10 分）如图，在某信号塔 AB 的正前方有一斜坡 CD，坡角
∠CDK＝30°，斜坡的顶端C 与塔底B 的距离BC＝8 米，小明在斜坡上的点E 处测得塔顶A 的仰角∠AEN＝60°，CE＝4 米，且BC∥NE∥KD，AB⊥BC（点A， B，C，D，E，K，N 在同一平面内）．（1）填空：∠BCD＝度，∠AEC＝度；
（2）求信号塔的高度 AB（结果保留根号）． 21．（12 分）如图 1，在正方形ABCD 中，点 E 是边BC 上一点，且点 E 不与点 B、C 重合，点 F 是BA 的延长线
上一点，且 AF＝CE．（1）求证：△DCE≌△DAF；
（2）如图 2，连接 EF，交AD 于点K，过点 D 作DH⊥EF，垂足为 H，延长 DH 交BF 于点G，连接 HB，HC．①求证：HD＝HB；
②若DK•HC，求HE 的长． 22．（16 分）已知抛物线 y＝ax2x+c 与x 轴交于
A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且点 A 的坐标为（﹣1，0）、点 C 的坐标为
（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图 1，若该抛物线的顶点为 P，求△PBC的面积；
（3）如图 2，有两动点 D、E 在△COB的边上运动，速度均为每秒 1 个单位长
度，它们分别从点 C 和点B 同时出发，点 D 沿折线 COB 按C→O→B方向向终点B 运动，点 E 沿线段 BC 按B→C方向向终点 C 运动，当其中一个点到达终点时，
另一个点也随之停止运动．设运动时间为 t 秒，请解答下列问题：
①当 t 为何值时，△BDE 的面积等于；
②在点 D、E 运动过程中，该抛物线上存在点 F，使得依次连接 AD、DF、FE、EA 得到的四边形 ADFE 是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点 F 的坐
标． 2021 年海南省中考数学参考答案与试题解析一、选择题（本大题满分 36 分，每小题 3 分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请
在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用 2B 铅笔涂黑. 1．（3
分）实数﹣5 的相反数是（） A．5 B．﹣5 C．±5 D．【分析】直接利
用相反数的定义得出答案．【解答】解：实数﹣5 的相反数是：5．故选：
A.【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关
键． 2．（3 分）下列计算正确的是（） A．a3+a3＝a6 B．2a3﹣a3＝1 C．a2•a3＝a5 D．（a2）3＝a5 【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂
的乘法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．【解答】解：A．a3+a3＝
2a3，故本选项不合题意；
B.2a3﹣a3＝a3，故本选项不合题意；
C．a2•a3＝a5，故本选项符合题意；
D．（a2）3＝a6，故本选项不合题意；
故选：C．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方，
掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 3．（3 分）下列整式中，是二次单项
式的是（） A．x2+1 B．xy C．x2y D．﹣3x 【分析】直接利用单项式的
次数确定方法分析得出答案．【解答】解：A、x2+1 是多项式，故此选项不合
题意；
B、xy 是二次单项式，符合题意；
C、x2y 是次数为 3 的单项式，不合题意；
D、﹣3x 是次数为 1 的单项式，不合题意；
故选：B．【点评】此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的次数确定方法
是解题关键． 4．（3 分）天问一号于 2020 年7 月23 日在文昌航天发射场由
长征五号遥四运载火箭发射升空，于 2021 年5 月15 日在火星成功着陆，总飞
行里程超过450000000 千米．数据450000000 用科学记数法表示为（）A．450×106 B．45×107 C．4.5×108 D．4.5×109 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：450000000＝4.5×108，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a 的值以及n 的值． 5．（3 分）如图是由5
个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图是（）
A． B． C． D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到
的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得有两层，底层两个正方形，上层左边是一个正方形．故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 6．（3 分）在一个不透明的袋中装有5 个球，其中2 个红球，3 个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1 个球，摸出红球的概率是（） A． B． C． D．【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者
的比值就是其发生的概率的大小．【解答】解：∵不透明袋子中装有5 个球，其中有2 个红球、3 个白球，∴从袋子中随机取出1 个球，则它是红球的概率是，故选：C．【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么
事件A 的概率P（A），难度适中． 7．（3 分）如图，点A、B、C 都在方格纸
的格点上，若点A 的坐标为（0，2），点B 的坐标为（2，0），则点C 的坐标
是（） A．（2，2） B．（1，2） C．（1，1） D．（2，1）【分析】直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案．【解答】解：如图所示：
点 C 的坐标为（2，1）．故选：D．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键． 8．（3 分）用配方法解方程 x2﹣6x+5＝0，配方后所得的方程是（） A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2
＝4 D．（x﹣3）2＝4 【分析】把常数项 5 移项后，应该在左右两边同时加上
一次项系数﹣6 的一半的平方．【解答】解：把方程 x2﹣6x+5＝0 的常数项移
到等号的右边，得到 x2﹣6x＝﹣5，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 x2﹣4x+9＝﹣5+9，配方得（x﹣3）2＝4．故选：D．【点评】本题考
查了配方法，解题的关键是注意：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为 1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方
程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2 的倍数． 9．（3 分）如图，已知a∥b，直线l 与直线a、b 分别交于点A、B，分别以点A、B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交直线b 于
点C，连接AC，若∠1＝40°，则∠ACB的度数是（） A．90° B．95° C．100° D．105° 【分析】利用基本作图可判断MN 垂直平分AB，则利用线
段垂直平分线的性质得到CA＝CB，所以∠CBA＝∠CAB＝40°，进而可得结果．【解答】解：∵a∥b，∴∠CBA＝∠1＝40°，根据基本作图可知：MN
垂直平分 AB，∴CA＝CB，∴∠CBA＝∠CAB＝40°，∴∠ACB＝180°﹣
2×40°＝100°．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5 种基本作图（作一条线段等于已知线段；
作一个角等于已知角；
作已知线段的垂直平分线；
作已知角的角平分线；
过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质． 10．（3 分）如图，四边形 ABCD 是⊙O的内接四边形，BE 是⊙O的直径，连接 AE．若∠BCD
＝2∠BAD，则∠DAE的度数是（） A．30° B．35° C．45° D．60°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理得到
∠BAE＝90°，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°，∵BE是⊙O的直径，∴∠BA E＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，故选：A．【点评】本题考查的是圆内接四边
形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关
键． 11．（3 分）如图，在菱形ABCD 中，点E、F 分别是边BC、CD 的中点，
连接AE、AF、EF．若菱形ABCD 的面积为8，则△AEF的面积为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】连接 AC、BD，交于点 O，AC 交EF 于点G，根据菱形
性质可得菱形面积公式，然后根据三角形中位线定理得 EF 与BD 关系，最后根
据三角形面积公式代入计算可得答案．【解答】解：连接 AC、BD，交于点 O，
AC 交EF 于点G，∵四边形 ABCD 是菱形，∴AO＝OC，菱形 ABCD 的面积为：，∵点E、F 分别是边BC、CD 的中点，∴EF∥BD，EFBD，∴AC⊥EF，AG＝3CG，设AC＝a，BD＝b，∴8，即ab＝16，S△AEFab＝3．故选：B．【点评】此
题考查的是菱形的性质、三角形中位线定理，能够利用三角形面积公式得到答
案是解决此题关键．12．（3 分）李叔叔开车上班，最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到单位，李叔叔在不违反交通规则的前
提下加快了速度，仍保持匀速行驶，则汽车行驶的路程y（千米）与行驶的时
间t（小时）的函数关系的大致图象是（） A． B． C． D．【分析】首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：时间t 和运动的路程s 之
间的关系采用排除法求解即可．【解答】解：随着时间的增多，行进的路程也将增多，排除D；
由于途中停车加油耽误了几分钟，此时时间在增多，而路程没有变化，排除
A；
后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速
前进的走势要陡．故选：B．【点评】此题主要考查了函数图象，解题的关键是根据函数图象的性质分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得
到正确的结论．二、填空题（本大题满分16 分，每小题4 分，其中第16 小题每空2 分） 13．（4 分）分式方程0 的解是x＝1 ．【分析】分式方程去
分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方
程的解．【解答】解：去分母得：x﹣1＝0，解得：x＝1，检验：当x＝1 时，x+2≠0，∴分式方程的解为x＝1．故答案为：x＝1．【点评】此题考
查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 14．（4 分）
若点A（1，y1），B（3，y2）在反比例函数y 的图象上，则y1 ＞y2（填“＞”“＜”或“＝”）．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再由A、B 两点横坐标的特点即可得出结论．【解答】解：
∵反比例函数 y 中，k＝3＞0，∴此函数图象的两个分支分别在一三象限，且
在每一象限内 y 随x 的增大而减小．∵1＜3，∴y1＞y2．故答案为
＞．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． 15．（4 分）如图，△ABC的顶点 B、C 的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点 A 的坐标是（4，）．【分析】过点 A 作AG⊥x轴，交 x 轴于点 G．只要求出 AG、OG，
则可求出顶点 A 的坐标．【解答】解：过点 A 作AG⊥x 轴，交 x 轴于点G．∵B、C 的坐标分别是（1，0）、（0，），∴OC，OB＝1，
∴BC2．∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴AB2．∵∠ABG+∠CBO＝90°，
∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠ABG＝∠BCO．∴sin∠ABG，cos∠ABG，∴AG，BG ＝3．∴OG＝1+3＝4，∴顶点 A 的坐标是（4，）．故答案为：（4，）．【点评】此题考查的是解直角三角形，利用点的坐标特点求得AG、OG 的长是解决此题关键． 16．（4 分）如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，AD＝
8，将此矩形折叠，使点C 与点A 重合，点D 落在点D′处，折痕为EF，则AD′的长为 6 ，DD′的长为．【分析】根据折叠的性质即可求得AD′＝CD＝6；
连接 AC，根据勾股定理求得 AC＝10，证得△BAE≌△D′AF（AAS），D′F＝BE，根据勾股定理列出关于线段 BE 的方程，解方程求得 BE 的长，即可求得，
然后通过证得，根据相似三角形的性质即可求得DD′．【解答】解：∵四边
形ABCD 是矩形，∴CD＝AB＝6，∵AD′＝CD，∴AD′＝6；
连接 AC，∵AB＝6，BC＝AD＝8，∠ABC＝90°，∴AC10，∵∠BAF＝∠DAE′＝90°，∴∠BAE＝∠D′AF，在△BAE 和△D′AF 中，∴△BAE≌△D′AF （AAS），∴D′F＝BE，∠AEB＝∠AFD′，∴∠AEC＝∠D′FD，由题意知：AE＝EC；
设 BE＝x，则 AE＝EC＝8﹣x，由勾股定理得：
（8﹣x）2＝62+x2，解得：x，∴BE，AE＝8，∴，∴，∵∠AD′F＝
∠D′AF＝90°，∴D′F∥AE，∵DF∥EC，∴，∴，∴DD′10，故答案为6，．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；
解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、相似三角形的性质，勾股定理等几
何知识点来解题．三、解答题（本大题满分 68 分） 17．（12 分）（1）计算：23+|﹣3|÷35﹣1；
（2）解不等式组并把它的解集在数轴（如图）上表示出来．【分析】（1）利用乘方的意义、绝对值的意义、二次根式的性质和负整数指数幂的意义计算；
（2）分别解两个不等式得到 x＞﹣3 和x≤2，再利用大小小大中间找得到不等式组的解集，然后在数轴上表示其解集．【解答】解：（1）原式＝8+3÷3﹣5 ＝8+1﹣1 ＝8；
（2），解①得 x＞﹣3，解②得x≤2，所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
解集在数轴上表示为：
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：掌握二次根式的性质和负整数指数
幂的意义是解决问题的关键．也考查了解不等式组． 18．（10 分）为了庆祝
中国共产党成立 100 周年，某校组织了党史知识竞赛，学校购买了若干副乒乓
球拍和羽毛球拍对表现优异的班级进行奖励．若购买 2 副乒乓球拍和 1 副羽毛
球拍共需 280 元；
若购买 3 副乒乓球拍和 2 副羽毛球拍共需 480 元．求 1 副乒乓球拍和 1 副羽毛
球拍各是多少元？【分析】设购买 1 副乒乓球拍 x 元，1 副羽毛球拍 y 元，由
购买 2 副乒乓球拍和 1 副羽毛球拍共需 280 元，购买 3 副乒乓球拍和 2 副羽毛球拍共需 480 元，可得出方程组，解出即可．【解答】解：设购买 1 副乒乓球拍 x 元，1 副羽毛球拍 y 元，根据题意得，，解得．答：购买 1 副乒乓球拍80 元，1 副羽毛球拍 120 元．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意找到相等关系，并依据相等关系列出方程组． 19．（8 分）根据 2021 年5 月11 日国务院新闻办公室发布的《第七次全国人口普查公报》，就我国 2020 年每 10 万人中，拥有大学（指大专及以上）、高中（含中专）、初中、小学、其他等文化程度的人口（以上各种受教育程度的人包括各类学校的毕业生、肄业生和在校生）受教育情况数据，绘制了条形统计图（图 1）和扇形统计图（图 2）．根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ 3.45 ，b＝ 1.01 ；
（2）在第六次全国人口普查中，我国 2010 年每10 万人中拥有大学文化程度的人数约为0.90 万，则2020 年每10 万人中拥有大学文化程度的人数与2010 年相比，增长率是72.2 %（精确到0.1%）．（3）2020 年海南省总人口约1008 万人，每10 万人中拥有大学文化程度的人数比全国每10 万人中拥有大学文化程度的人数约少0.16 万，那么全省拥有大学文化程度的人数约有140 万（精确到 1 万）．【分析】（1）根据小学的人数是 2.48 万人，所占的百分比是 24.8%，据此即可求得总人数，进而可求得 a、b 的值；
（2）用2020 年与2010 年每10 万人中拥有大学文化程度的人数差除以 2010 年每 10 万人中拥有大学文化程度的人数即可求解；
（3）求出海南省每 10 万人中拥有大学文化程度的人数，用 1008 乘以海南省每10 万人中拥有大学文化程度的人数所占的百分比即可求解．【解答】解：（1）2.48÷24.8%＝10（万人）， a＝10×34.5%＝3.45， b＝10﹣1.55﹣1.51 ﹣3.45﹣2.48＝1.01，故答案为：3.45，1.01；
（2）100%≈72.2%，故答案为：72.2；
（3）1008140（万人），故答案为：140．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；
扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20．（10 分）如图，在某信
号塔 AB 的正前方有一斜坡 CD，坡角∠CDK＝30°，斜坡的顶端 C 与塔底 B 的距离 BC＝8 米，小明在斜坡上的点 E 处测得塔顶 A 的仰角∠AEN＝60°，CE＝4 米，且BC∥NE∥KD，AB⊥BC（点A，B，C，D，E，K，N 在同一平面内）．（1）填空：∠BCD＝150 度，∠AEC＝30 度；
（2）求信号塔的高度 AB（结果保留根号）．【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠BCD，进而求出∠ACE；
（2）通过作垂线，构造直角三角形，在Rt△CEG 中，由∠CEG＝30°，CE＝
4m，可求出 CG＝2m，EG＝2m，在Rt△AEF中利用特殊锐角的三角函数列方程求
解即可.. 【解答】解：（1）∵BC∥DK，∴∠BCD+∠D＝180°，又∵∠D＝30°，∴∠BCD＝180°﹣30°＝150°，∵NE∥KD，∴∠CEN＝∠D＝30°，
又∵∠AEN＝60°，∴∠ACE＝∠AEN﹣∠CEN＝60°﹣30°＝30°，故答案为：150，30；
（2）如图，过点 C 作CG⊥EN，垂足为 G，延长 AB 角EN 于点F，在Rt△CEG 中，∵∠CEG＝30°，CE＝4m，∴CGCE＝2（m）＝BK，∴EGCG＝2（m），设AB＝x，则AF＝（x+2）m， EF＝BC+EG＝（8+2）m，在Rt△AEF中，∵∠AEN
＝60°，∴BFEF，即 x+2（8+2）， x＝（4+8）m，即信号塔的高度 AB 为（4+8）m．【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形，掌握两个直角三角形边角之间的关系是解决
问题的关键． 21．（12 分）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上一点，且点 E 不与点 B、C 重合，点 F 是BA 的延长线上一点，且 AF＝CE．（1）求证：△DCE≌△DAF；
（2）如图 2，连接 EF，交AD 于点K，过点 D 作DH⊥EF，垂足为 H，延长 DH 交BF 于点G，连接 HB，HC．①求证：HD＝HB；
②若DK•HC，求HE 的长．【分析】（1）由CD＝AD，∠DCE＝∠DAF＝90°，CE ＝AF，即可求解；
（2）①由△DCE≌△DAF，得到△DFE为等腰直角三角形，则点 H 是EF 的中
点，故 DHEF，进而求解；
②证明△DKF∽△HEC，则，即DK•HC＝DF•HE，进而求解．【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 为正方形，∴CD＝AD，∠DCE＝∠DAF＝90°，∵CE＝AF，
∴△DCE≌△DAF（SAS）；
（2）①∵△DCE≌△DAF，∴DE＝DF，∠CDE＝∠ADF，∴∠DE＝∠ADF+∠ADE
＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，∴△DFE为等腰直角三角形，∵DH⊥EF，∴ 点H 是EF 的中点，∴DHEF，同理，由 HB 是Rt△EBF的中线得：HBEF，∴HD ＝HB；
②∵四边形 ABCD 为正方形，故 CD＝CB，∵HD＝HB，CH＝CH，
∴△DCH≌△BCH（SSS），∴∠DCH＝∠BCH＝45°，∵△DEF 为等腰直角三角形，∴∠DFE＝45°，∴∠HCE＝∠DFK，∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AD∥BC，∴∠DKF＝∠HEC，∴△DKF∽△HEC，∴，∴DK•HC＝DF•HE，在等腰直角三角形 DFH 中，DFHEHE，∴DK•HC＝DF•HEHE2，∴HE＝1．【点评】本题是四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等和相似、等腰直角三
角形的性质、直角三角形中线定理等，综合性强，难度适中． 22．（16 分）
已知抛物线 y＝ax2x+c 与x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且点 A 的坐标为（﹣1，0）、点 C 的坐标为（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图 1，若该抛物线的顶点为 P，求△PBC的面积；
（3）如图 2，有两动点 D、E 在△COB的边上运动，速度均为每秒 1 个单位长
度，它们分别从点 C 和点B 同时出发，点 D 沿折线 COB 按C→O→B方向向终点B 运动，点 E 沿线段 BC 按B→C方向向终点 C 运动，当其中一个点到达终点时，
另一个点也随之停止运动．设运动时间为 t 秒，请解答下列问题：
①当 t 为何值时，△BDE 的面积等于；
②在点 D、E 运动过程中，该抛物线上存在点 F，使得依次连接 AD、DF、FE、EA 得到的四边形 ADFE 是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点 F 的坐
标．【分析】（1）把 A、C 两点代入抛物线 y＝ax2x+c 解析式，即可得表达式．（2）把解析式配方得顶点式，即可得顶点坐标，令 y＝0，得 B 点的坐标，连接 OP，可求的S△PBC＝S△OPC+S△OPB﹣S△OBC，
•OC•|xp|•OB•|yp|•OB•OC，即得结果．（3））①在△OBC中，BC＜OC+OB，当
动点 E 运动到终点 C 时，另一个动点 D 也停止运动，由勾股定理得 BC＝5，当运动时间为 t 秒时，BE＝t，过点 E 作EN⊥x轴，垂足为 N，根据相似三角形的
判定得△BEN∽△BCO，根据相似三角形的性质得，点 E 的坐标为（4t，t），
分两种情形讨论当点 D 在线段 CO 上运动时，0＜t＜3，此时 CD＝t，点D 的坐
标为（0，3﹣t），S△BDE＝S△BOC﹣S△CDE﹣S△BODt2，当S△BDE时，t2，解得 t；Ⅱ、如图，当点 D 在线段 OB 上运动时，3≤t≤5，BD＝7﹣t，
∴S△BDEBD•ENt2t，当S△BDE 时，t；
②根据平行四边形 ADFE 的性质得出坐标．【解答】解：（1）∵抛物线 y＝
ax2x+c 经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，∴，解得，∴该抛物线的函数
表达式为 yx2x+3；
（2）∵抛物线 yx2x+3（x）2，∴抛物线的顶点 P 的坐标为（，），
∵yx2x+3，令 y＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴B 点的坐标为（4，0），OB ＝4，如图，连接 OP，则S△PBC＝S△OPC+S△OPB﹣S△OBC，
•OC•|xp|•OB•|yp|•OB•OC 344×3 6 ，∴△PBC的面积为；
（3）①∵在△OBC中，BC＜OC+OB，∴当动点 E 运动到终点 C 时，另一个动点
D 也停止运动，∵OC＝3，OB＝4，∴在Rt△OBC中，BC5，∴0＜t≤5，当
运动时间为 t 秒时，BE＝t，如图，过点 E 作EN⊥x轴，垂足为 N，则
△BEN∽△BCO，∴，∴BNt，ENt，∴点 E 的坐标为（4t，t），下面分两种
情形讨论：
Ⅰ、当点 D 在线段 CO 上运动时，0＜t＜3，此时 CD＝t，点D 的坐标为（0，3 ﹣t），∴S△BDE＝S△BOC﹣S△CDE﹣S△BOD BO•COCD•|xE|OB•OD 4×3t×
（4t）4×（3﹣t） t2，当S△BDE 时，t2，解得 t1（舍去），t23，∴t；
Ⅱ、如图，当点 D 在线段 OB 上运动时，3≤t≤5，BD＝7﹣t，
∴S△BDEBD•EN，（7﹣t）t t2t，当S△BDE 时， t2t，解得 t3，t43，又∵3≤t≤5，∴t，综上所述，当 t 或 t 时，S△BDE；
②当点 D 在线段 OC 上，根据平行四边的性质得，F 坐标为（，），当点 D 在线段 OB 上，根据平行四边的性质，F 坐标为（3，3）．综上所述：F 坐标为（，）或（3，3）．【点评】本题考查了抛物线的综合运用，本题涉及到抛物线的求解，抛物线坐标轴求解，勾股定理，二次函数的性质相似三角形的判定与性质，正确运用分类讨论思想是解题的关键．。