阳春市第一中学2018年度高三第六次月考(理数)

阳春市第一中学2018届高三第六次月考
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}|(2)(2)0A x N x x =∈+-<，{}1,2B =，那么A B U 等于（ ） A ．{}0,1,2
B ．{}2,1
C ．{}2
D ．{}1
2.设复数1()z bi b R =+∈且||2z =，则复数z 的虚部为（ ） A ．3
B ．3±
C ．1±
D ．3i ±
3.已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
4.执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的值为（ ）
A ．4
B ．8
C ．10
D ．12
5.若x ，y 满足约束条件20,
10,50,y x y x y -≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
则y x 的最大值是（ ）
A ．
32
B ．1
C ．2
D ．3
6.已知锐角α满足cos 2cos()4
π
αα=-，则sin 2α等于（ ）
A ．
2
1 B ．12-
C ．
22
D ．22
-
7.5
()()x y x y -+的展开式中，24
x y 的系数为（ ）
A ．10-
B ．5-
C ．5
D ．10
8.数列{}n a 中，已知11S =，22S =，且1123n n n S S S +-+=，（2n ≥且*n N ∈），则此数列为（ ） A ．等差数列
B ．等比数列
C ．从第二项起为等差数列
D ．从第二项起为等比数列
9.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ）
A ．2
B ．
9
2
C ．
32
D ．3
10.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为'()y f x =，当0x ≠时，
()'()0f x f x x +
>，若11()22a f =，2(2)b f =--，11
(ln )(ln )22
c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a c b <<
B ．b c a <<
C ．a b c <<
D ．c a b <<
11.已知椭圆2
215
y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且||4AF =，则||||PA PO +的最小值为（ ） A ．213
B ．42
C ．313
D ．46
12.设函数2
2
2
()()(ln 2)f x x a x a =-+-，其中0x >，a R ∈，存在0x 使得04()5
f x ≤成立，则实数a 的值为（ ） A ．
15
B ．
25
C ．
12
D ．1
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.抛物线2
y x =在2x =处的切线与抛物线以及x 轴所围成的曲线图形的面积为 ．
14.设ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
若2a =，23c =，3
cos A =，则b = ．
15.在三棱锥A BCD -中，底面BCD 为边长为2的正三角形，顶点A 在底面BCD 上的射影为BCD ∆的中心，若E 为BC 的中点，且直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为22，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为 ．
16.在面积为2的平行四边形ABCD 中，点P 为直线AD 上的动点，则2
PB PC BC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最
小值是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
17.已知向量(sin ,cos )a x x =r ，(cos ,3cos )b x x =-r ，函数()f x a b =⋅r r
．
（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，若()0f C =，02
C π<<，1c =，
求ABC ∆面积的最大值．
18.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2018年春节前夕，A 市
某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．
（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布2
(,)N μσ，利用
该正态分布，求Z 落在(14.55,38.45)内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望.
附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为142.7511.95σ=≈； ②若2
~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，
(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=．
19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，60DAB ∠=︒，FC ⊥
平面ABCD ，AE BD ⊥，AD DC CF ==． （1）求证：//FC 平面AED ；
（2）求直线AF 与平面BDF 所成角的余弦值．
20.已知抛物线C 的标准方程为2
2(0)y px p =>，M 为抛物线C 上一动点，(,0)
A a （0a ≠）为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N ．当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，MON ∆的面积为18． （1）求抛物线C 的标准方程； （2）记11
||||
t AM AN =
+，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由． 21.已知函数()(1)x
f x x a e =--，2
1()2
g x x ax =
-． （1）曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求实数a 的值； （2）记()()(1)()F x f x a g x =-+． （i ）讨论()F x 的单调性； （ii ）若3
14
a -<<-
，()h a 为()F x 在(ln(1),)a ++∞上的最小值，求证：()0h a <． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：1
sin()6
2π
ρθ-
=
，曲线C 的参数方程为：22cos ,2sin x y αα
=+⎧⎨=⎩（α为参数）． （1）写出直线l 的直角坐标方程；
（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()|2||2|f x x x =+--． （1）解不等式()2f x ≥；
（2）当x R ∈，01y <<时，证明：11
|2||2|1x x y y
+--≤
+-．
数学（理科）参考答案
一、选择题
1-5:ABCBC 6-10:ABDAD 11、12：
二、填空题
13.
2
3
14.2或4 15.6π 16.三、解答题
17.解：（1）由题意得：
21()sin cos sin 221)sin(2)2232
f x x x x x x x π=-=-+=+-，
令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+，k Z ∈，
整理得：51212
k x k ππ
ππ-+≤≤+，k Z ∈，
∴函数()f x 的单调增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈．
（2）由题意得：()sin(2)03
2f C C π
=--
=，∴sin(2)32
C π-=， ∵02
C π<<，
∴223
33C π
π
π-
<-
<，∴3
C π
=， 由余弦定理可得：2
2
12cos
3
a b ab ab π
+-==，
又2
2
ab a b ≤+，∴1ab ≤，当且仅当1a b ==时等号成立，
∴1sin 2ABC S ab C ∆=
=≤，
∴ABC ∆面积的最大值为
4
． 18.解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为
50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．
（2）①∵Z 服从正态分布2
(,)N μσ，且26.5μ=，11.95σ≈，
∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826． ②根据题意得1
~(4,)2X B ，
04411(0)()216P X C ===，14411(1)()24P X C ===，24
413(2)()28
P X C ===，
34411(3)()24P X C ===，44
411(4)()216
P X C ===．
∴X 的分布列为
∴()422
E X =⨯
=． 19.（1）证明：∵四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，60DAB ∠=︒， ∴BC DC =，120ADC BCD ∠=∠=︒，∴30CDB ∠=︒， ∴90ADB ∠=︒，即BD AD ⊥．
又AE BD ⊥，AE AD A =I ，∴BD ⊥平面AED ， 又BD ⊂平面ABCD ，∴平面AED ⊥平面ABCD ， 如图，过E 作EG AD ⊥于G ，则EG ⊥平面ABCD ， 又FC ⊥平面ABCD ，∴//FC EG ， 又EG ⊂平面AED ，FC ⊄平面AED ， ∴//FC 平面AED ．
（2）解：如图，连接AC ，由（1）知AC BC ⊥， ∵FC ⊥平面ABCD ， ∴CA ，CB ，CF 两两垂直．
以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -．
设2BC =，则23AC =4AB =，(0,0,2)F ，(0,2,0)B ，3,1,0)D -，(23,0,0)A ，
∴(3,0,2)AF =-u u u r ，3,3,0)BD =-u u u r ，(0,2,2)FB =-u u u r
， 设平面BDF 的法向量为(,,)n x y z =r
，
则0,0,n BD n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即330,0,x y y z -=-=⎪
⎩ 令1y =，则3x =1z =，则3,1,1)n =r
．
设直线AF 与平面BDF 所成角为θ，则||
sin ||||
n AF n AF θ⋅=⋅r u u u r
r u u u r 55=，
故直线AF 与平面BDF 25
．
20.解：（1）由题意，11||||218222
MON p
S OA MN p ∆=
⋅=⋅⋅=，∴6p =， 抛物线C 的标准方程为2
12y x =．
（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，设直线MN 的方程为x my a =+，联立2,
12,
x my a y x =+⎧⎨=⎩
得2
12120y my a --=，
∴2
144480m a ∆=+>，1212y y m +=，1212y y a =-，由对称性，不妨设0m >，
（i ）0a <时，∵12120y y a =->，∴1y ，2y 同号， 又221211||||1||1||
t AM AN m y m y =
+=++ ∴222
12222222
12()1114411
(1)1()11441y y m t m y y m a a m
+=⋅=⋅=-+++， 不论a 取何值，t 均与m 有关，即0a <时，A 不是“稳定点”； （ii ）0a >时，∵12120y y a =-<，∴1y ，2y 异号， 又221211||||1||1||
t AM AN m y m y =
+=++ ∴
2
2
2
2121212
222222
2212121
1
()()41111444813(1)1()1()11441a y y y y y y m a t m y y m y y m a a m
--+-+=⋅=⋅=⋅=+++++
， ∴仅当1103
a -=，即3a =时，t 与m 无关．
21.解：（1）'()()x f x x a e =-，'(1)(1)f a e =-， 因为()f x 在(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，所以'(1)0f =，所以1a =；
（2）21()(1)(1)(1)2
x F x x a e a x a a x =---
+++， （i ）'()(1)(1)(1)()(1)()
x x x F x e x a e a x a a x a e a x a =+---+++=--+-()(1)x x a e a ⎡⎤=--+⎣⎦，
若10a +≤，即1a ≤-时，则由'()0F x =得x a =，当(,)x a ∈-∞时，'()0F x <； 当(,)x a ∈+∞时，'()0F x >；
所以'()F x 在(,)a -∞单调递减，在(,)a +∞单调递增．
若1a >-，则由'()0F x =，得x a =或ln(1)x a =+，构造函数()ln(1)k a a a =-+（1a >-）， 则'()1
a k a a =+，由()0k a =，得0a =， 所以()k a 在(1,0)-单调递减，在(0,)+∞单调递增，
min ()(0)0k a k ==，
所以ln(1)a a ≥+（当且仅当0a =时等号成立）．
①若0a =，'()0F x ≥，()F x 在(,)-∞+∞单调递增；
②若10a -<<或0a >，
当(ln(1),)x a a ∈+时，'()0F x <；当(,ln(1))(,)x a a ∈-∞++∞U 时，'()0F x >； 所以()F x 在(ln(1),)a a +单调递减，在(,ln(1))a -∞+，(,)a +∞单调递增． （ii ）若314
a -<<-，()F x 在(ln(1),)a a +单调递减，在(,)a +∞单调递增．
32min 1()()()2a F x f a a a e ==+-，令321()()2a h a a a e =+-，则23'()2
a h a a a e =+-， 令23()'()2a a h a a a e ϕ==+-，'()310a a a e ϕ=+-<，23'()2a h a a a e =+-在3(1,)4
--单调递减，
11'(1)02h e -=->，3433'()0432h e --=-<，所以存在唯一的03(1,)4
a ∈--使得0'()0h a =，
所以()h a 在0(1,)a -单调递增，在03
(,)4a -单调递减，故当03(1,)4
a ∈--时，max 0()()h a h a =， 又020003'()02
a h a a a e =
+-=，所以322max 0000013()()()()22h a h a a a a a ==+-+20001(22)02
a a a =--<， 所以当3(1,)4a ∈--时，321()()02a h a a a e =+-<． 22.解：（1）∵1sin()62
π
ρθ-=
，∴11cos )22ρθθ-=
1122y x -=
，10x +=．
（2）曲线C 为以(2,0)为圆心，2为半径的圆，圆心到直线的距离为32， 所以，最大距离为37222
+=． 23.解：（1）由已知可得：4,2,()2,22,4, 2.x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩
所以，()2f x ≥的解集为{}|1x x ≥．
（2）由（1）知，|2||2|4x x +--≤，
[]11111()(1)24111y y y y y y y y y y
-+=++-=++≥---， ∴11|2||2|1x x y y
+--≤+-．。