固体物理期末复习题目及答案

09级微电子学专业《固体物理》期末考复习题目
至诚学院 信息工程系 微电子学专业姓名：陈长彬 学号:3
第一章晶体结构
IX 把等体积的硬球堆成下列结构，求球可能占据的最大体积和总体积之比。

（1）简立方（2）体心立方（3）面心立方（4）金刚石
解：（IX 简立方，晶胞内含有一个原子∏=1,原子球半径为R,立方晶格的顶点原子球相切，立方边长a=2R, 体积为（2/?）5 ,
4 4
mR' -J ΓR'
V
（2町
（2）、体心立方晶胞内含有2个原子n=2,原子球半径为R,晶胞边长为"立方晶格的体对角线原子球相切,
（3）、面心立方晶胞内含有4个原子24,晶胞的面对角线原子球相切，面对角线长度为4个原子半径，立方
∖R √2
（4）.金刚石在单位晶格中含有8个原子，碳原子最近邻长度2R 为体对角线;长，体对角线为8R = √L
4
解：对于体心立方，原胞基欠为:
■ Zl . —* —* «3 = γ（* + 丿 一 &）
对丁•体心立方原胞体枳为：Q = ^∙（^×ξ）
所以
=r 0∙52
体对角线长为4个原子半径，所以Q =
体边长为可所以G=
4 √Σ
4 、 4x-χR' /T
=—一 =—ΛB = 0.74
6
4 I 4 1 n∙-JΓR S×-πR /r
K 3
3
√3
V
i R ）
2.证明面心立方和体心立方互为倒格子。

16 " = 034
n -πR 3
V
龙= 0.68
根据倒格子旱矢定义，并将体心原胞旱矢代入计灯之，町得:
将计算所得到的倒格了•呈矢与外心立方的原胞呈欠相比 较，可知面心立方的倒格子是体心立方。

囚此可以说，曲心立方和体心立方互为倒格子。

3、证明：倒格子原胞体积为y∙ = E≤~,其中VC 为正格子原胞的体积。

对F 面心'工方•原胞皋欠为：
金=斗 G + F) S 7=^(k+i)
N=斗(7 + j)
/ & ■
将计只所得到的倒格子堆矢与Ifll 心立方廉胞肚矢相同， 可知体也立方的倒格子妊而心立方。

原胞体积为:
同样可得 倒格子里 欠：
K≡⅛^l
≡^(-÷λ⅛
Ω
(J
只
=2*aGL 空GJ +可
• Ω (7 V ,
解：倒格子基矢
⅛ ■ 2,τ√g% & ≡. 2"¾A∙ b. = M 心® 55 X 巾 咼•西 XaJ ' J 1 α2 X«3
倒格子体积v∙=⅛.(∂2×⅛)
v
>⅛^-<⅛x ¾)∙d i=⅛2^其中岭为正格子原胞体积
4、证明正格子晶面(hjιjιj 与倒格矢K lI = h i b i + h 1b 1 +心S 正交。

设力3C 为晶面族(A 1Λ2Λ3)中离原点最近的晶面，
佔C 在基矢订,：2,兀上阿截距分别为
^ = O2-oc = h-h
h t h t
KI t ■ CA = (Λ1 bi + h 1 l )i + h y b i )∙ (L 一色)=O
K^CB= (Λ1Λι + ∕ΛZ 2 ÷ΛJ 3)•(--—)= O Wbj = 2叫 _ 力2 心 所以KI t = h)∖+h 仏+ h$3与晶面族(Λ1Λ2Λ3)正交。

5能写出任一晶列的密勒指数，也能反过来根据密勒指数画出晶列；能写出任一晶面的晶面指数，也能反过来 根据晶面指数画出晶
面。

见课件例题以下作参考：
15.如图所示，试求：
(1)
<
⑴ 晶列ED, FD 和OF 的晶列指数； (3) 晶面AGK f FGIH^ MNLK 的密勒指数； (4)
画出晶面(丘O), (131)β
密勒指数：以晶胞基矢定义的互质整数()。

[截a,b,c.] 晶面指数：以原胞基矢定义的互质整数()。

[截al, a2z a3.] 注意：a)互质整数所定义的晶面不一定代表最近原点的晶面；
b)所有等价的晶面(O(H)以｛001｝表示；
C)晶面不一定垂直于晶向(其中∣i=hi);仅对具有立方对称性的晶体，才垂直于晶向；
Cl)对理想布喇菲格子，晶面的两面是等价的，故有=,但对复式格子的实际晶体，这是不成立的。

如 ASGa 的(IH)面与不
等价，前者为AS 面而后者为Ga 面；它们在许多物理、化学性质上都不一样，如腐蚀速 度，生长速度等就不一样。

■(祝)‘
V 40 = ——(^2 ×¾)∙(¾ ×^1)×(Λ X 刁2)
Λ J X B×C =
(J ^K l
“3
Cl 2 R .
解：(1)根据晶列指数的定义易求得晶列EQ 的晶列指数为［i⅛,晶列FQ 的晶列指数为［110］,晶列OF 的晶列指数为［Oil ］ o
(2) 根据晶面密勒指数的定义
1 1 1
-
晶面AGK 在X, y 和Z 三个坐标轴上的截距依次为1,・1和1,则其倒数之比为-:-:- = 1:1:1,故
1 — 1 1
该晶面的密勒指数为(IlI)O
晶面在「，札三个坐标轴上的截距依次为施8和】,则其倒数之比为需+卜2心1,
故该晶面的密勒指数为(201).
晶面MMK 在X, y 和Z 三个坐标轴上的截距依次为1/2, -1和8,则其倒数之比为
(3) 晶面(迈0), (131)分别如下图中晶面AMLk 和晶面ABC 所示:
第二系晶体的结合
1.按照结合形式的不同，晶体可分为哪几种类型，这些类型各自有什么特点 答:晶体可分为金属晶体，共价晶体，离子晶体，分子晶
体，氢键晶体。

金属晶体的特点：在结构上金属离子实得电子云分布基本上是球对称的，符合球密堆原则。

从能量角度看，金 属键要求正离子实尽可能紧密地排列。

良好的导电性和导热性，较好的延展性，硬度大，熔点高。

共价晶体的特点：共价晶体不能弯曲，没有明显的弹性和范性，具有相当高的强度和硬度，具有很高的熔点， 导电和导热性比较差。

离子晶体的特点：具有相当高的强度和硬度，具有很高的熔点，导电和导热性比较差。

分子晶体的特点：透明的绝缘体，熔点很低。

氢键晶体的特点：熔点低，硬度差
2.为什么说所有的晶体的结合类型都与库仑力有关
答:共价结合中，电子虽然不能脱离电负性大的原子，但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子，形成电 子共享的形式，即这一对电子的主要活动范围处于两个原子之间，通过库仑力，把两个原子连接起来.
离子晶
1 1 1
1/2 • 一1 •二
= 2:1:0,故该晶面的密勒指数为(2弓0)。

图
体中，正离子与负离子的吸引力就是库仑力.金属结合中，原子实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着.分子结合中，是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体.电偶极矩的作用力实际就是库仑力・氢键结合中，氢先与电负性大的原子形成共价结合后，氢核与负电中心不在匝合，迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合•可见，所有晶体结合类型都与库仑力有关
计算由正负离子相间排列的一维离子链的马德隆常数。

解："=£1 *选定某一正离子为参考离子,设相邻离子半径为R, 对于负离子取正号，正离子取负号，
r1 = r A = R^a X =1, r2 = = 2R tt a2 = 2, r y=r e= 3R3a3 = 3,
Ill X2χ,X4
μ = 2(1 ——+ ---- + ・・・)l n(l÷x) = x--÷-+ —+••
2 3 4 2 3 4
= 2∣∏2 马徳隆常数χz=2hι2
4、氢原子电离能为。

⑴求PE和KE(2)电子的轨道半径率
解：(1) E = -13.6eΓ
E = KE + PE. KE = ^-PE E=-PE
2 2
PE = IE = -27∙2e 厂KE = 13仗厂
(2)PE- QG
(3)KE = -Jn e V1
(4)T 2矶1 T - °V =-
T
5、为什么许多金属为密积结构
答：金属结合中，受到最小能址原理的约束，要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低(绝对值尽可能的大)・原子实越紧凑，原子实与共有电子电子云靠得就越紧密，库仑能就越低.所以，许多金屈的结构为密积结构.
6、画出原子的相互作用势能“和原子相互作用力/与原子间距/•的关系，并标明平衡间距K)和最大引力E 的位置，写出内能与相互作用力的关系式。

答：原子的相互作用势能U和原子相互作用力/与原子间距r的关系如下图所示
(3)电子的运动速率(4)电子绕原子转动的频
晶体的体积V = NAr i 一一A 为常数，N
为原胞数目
内能与相互作用力的关系："）畔
7、若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为r∕（r ） = ~ + γ
计算：1）平衡间距几 2）结合能W （单个原子的）3）体弹性模量
4）若取
m = 2√? = IO^= 0.3Hln. W =4eV 9 计算 α,0 的值
解：1）平衡间距心的计算
晶体内能t∕（r ） = y （-^r + ^-）平衡条件牛
=O ^f=O
2）单个原子的结合能
w
=-→t M
“仏）=（-务+£）|
nβ ma
丿
∕∙→b -/M
nβ Ina
丿
图2.4原子的互作用势能"和原子互作用力/与原子间距,•的关系,
W
A a
晶体内能
∂U ∂U d r .N Ina nβI 1∂2U_ Ndrd Ina nβ '1
∂V dr∂V2严+1
X
严丿3NAr2∂V2 2 ∂V ∂r厂川+1
X
严j3NAf
nβ ] 1
≡√
4)若取In = 2, H = IO^)= 0.3Hm y W =4eV F计算α,0 的值
第三章晶格振动和晶体的热学性质
1.长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别
答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式，长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数，任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复式格子）晶体不存在声学支格波。

2.画出一维单原子链和一维双原子链的色散曲线，并在图中标出角频率的极值和它对应的波矢。

Z J)=
HP Y∣-
∕∏
0 = 1.2xl(Γ%V 加M)α = 7.5×10-l9eV∙∕n2
NI ma
^TJ
由平衡条件仏
第四章晶体缺陷
1、铜和硅的空位形成能EU 分别是和。

试求T=IOOOK 时，铜和硅的空位浓度。

解：由公式7=夢
N
』
.3
可得，对于铜的空位浓度：—=^H)(X)x8∙6×Hr = N
-02.8
对于硅的空位浓度：—=R OoOXK6χE = 7.247 X10"
N
2. 随着温度的变化，弗仑克尔缺陷和肖特基缺陷所占比例如何变化为什么
答:肖特基缺陷所占比例会不断变大！ 一个要形成一个空穴，一个要形成一个空穴加一个间隙原子。

两个对比一 下，肖特基缺陷只须克服形成空穴所需的能量，而弗兰克尔缺陷还需要进一步形成间隙原子所需的能量。

第五章金属电子论
1、简要描述一下特鲁德模型和索末菲模型，并比较两者之间的区别。

(
特鲁德模型，即经典的自由电子气模型，是建立在金属电子气体假设基础上的，认为金属电子气体类似于理想 气体，利用经典的分子运动学理论处理问题。

索末菲模型是建立在量子理论与费米统计规律的基础上的。

索末菲对金属结构的描述：平均势场中运动的单电 子问题。

即忽略电子和离子实之间的相互作用以及电子与电子之间的相互作用，忽略晶格周期场的影响，只考 虑一个电子在晶格平均场和其它电子的的平均场中的运动。

将一个复杂的强关联的多体问题，转化为在平均势 场中运动的单电子问题。

索末菲模型与特鲁德模型的区别：
在特鲁德模型中，认为金属电子气体类似于理想气体，是玻色子(如原子，离子等)，遵循玻尔兹曼统计 规律。

在索末菲模型中，引入了泡利不相容原理，认为金属电子气体是费米子(如电子、质子、中子等)，遵循 费米统计规律。

图37 —维单原子链的色敢关系
2.画出量子数1〜4的一维无限深势阱的电子波函数和电子概率图。

并附上电子波函数公式。

_ 3
3、设N 个电子组成简并电子气，体积为∖Λ证明T=OK 时，每个电子的平均能Si∕=⅛Eθ 解：当T=OK 时，此时电子气体处于基
态。

电子的费米分布函数为：
Ii ■口
？
Z [O,E>E A ∙
N
=『J'(E)D(E)dE = ^CE l Z
dE = -C(E)i 2
3
Ei =(¾r3=^(⅛23=^(-W 2)2i 数值估计：2C 加J 刀〃
绝对零度时电子的平均动能为：
H - IO 28 米3,质fiι∣F9xlO-¾.j e ,θ =πeJ∖H 个电子伏特.
2
代入N = WC(E 防
4. 已知金属钠在常温常压下的质量密度P m =O.91 g/cm 3 9原子量为23,价电子数为1,试推算出此温度下 金属钠的费米能量.费米温度.
费米波矢和费米速度。

解
:
此时:
则绝对零度时电子的平均动能为：E kIn =
d
Y + Eψ = O V
I X
(Λ,
) = A SiII kx +
×x
PrObnbitBty X ∣
y<.τ >∣Z
FigUre 3.15 EIeCtrOn in a 1-D infinite PE WeIl
f ⅛⅛- <⅛v.
一
IZUCI ιsy lc∙>r clfc αι the well
电子数密度（电子气浓度）：单位体积中的平均电子数
M
在7T）K时，费米波矢与电子数密度的关系V = 曲
费米能建：E r≈fψ-
2叫
费米动產：P卜S
费米速度：W=生
m
费米温度：TF=工
k tl
5、实验测得铜的电阻率为p = 1.7×10^8Ω∙∕n,铜中的电子浓度为n =8.5×IO28/«-3,每个电子的质量为
9.1×10-31⅛,试推算金属铜中的电子平均自由程。

解：V F=IO7c∕π∙5~1（T 为室温）
1 3
-my}=-kj（心为波尔兹曼常数，等于1.38×IO"23/ F1）
2 2
"畀
ne^ p
2=V FΓ
6、画出金属从低温到高温的电阻率温度关系曲线，在图中标出电阻与温度的关系式。

并利用马希森定则给予合理的解释。

课本P118
=U Q=⅛≥W6H
第六章能带理论
1、为什么无外场时，处于满带和非满带中的电子对宏观电流均没有贡献，有外场时，只有非满带中的电子才对宏观电流有贡献
答：在没有外加电场时，在一定温度下,电子占据K态和∙K态的几率只与该状态的能量有关。

所以，电子占据K态和・K态的几率相同，这两态的电子对电流的贡献相互抵消。

由于相对于K是对称的，所以，满带和非满帶不存在宏观电流。

常温和较高温度下遵循P -T, 低温下遵循Q 8T5.
当存在外加电场时，由于满带中所有能态均已被电子填满，外电场并不改变电子在满带中的对称性分布，所以产生的宏观电流为零。

而，非满带中，由于导带中还有部分没有电子填充的空态，因而导带中的电子在外电场的作用下挥产生能级跃迁，从而使导带中的对称分布被破坏，产生宏观电流。

2、波矢空间与倒格空间有何关系为什么说波矢空间内的状态点是准连续的
答：（1）波矢空间与倒格空间处于同一空间,倒格空间的基矢分别为bl, b2f b3t而波矢空间的基矢分别为bl∕Nl f b2∕N2,b3∕N3 ,其中NI, N2,Λ∕3分别是沿正格子基矢方向晶体的原胞数目。

（2）倒格空间中一个倒格点对应的体积为,
Ω
波矢空间中一个波矢点对应的体积为凹即（2√,
VΛfΩ
即波矢空间中一个波矢点对应的体积,是倒格空间中一个倒格点对应的体积的”心由于N是晶体的原胞数目, 数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的.也就是说，波矢点在倒格空间看是极其稠密的・因此，在波矢空间内作求和处理时，可把波矢空间内的状态点看成是准连续的・
3.从能带论的角度解释导体，半导体和绝缘体的导电能力存在差别的原因。

答：（I）导体.半导体和绝缘体的能带图如下图所示。

（3分）其中导体中存在不满带，半导体和绝缘体都只存在满带而不存在不满带，而不满带会导电，满带则不会导电，所以导体导电性好，而半导体和绝缘体则不容易导电。

（3分）
（2）半导体中虽然只存在满带而不存在不满带，但由于其禁宽度比较小，所以在热激活下，满带顶的电子会被激活到空带上，使原来的空带变成不满带，原来的满带也变成不满带，所以半导体在热激活下也可•以导电。

（2分、
（3）对于绝缘体，由于其禁带宽度比半导体的禁带宽度宽得多，在热激活下，满带顶的电子仍然无法被激活到空带上，因此，其能带仍然只存在满带而不存在不满带。

所以其导电性能非常差。

（2分）
（或者答：满带电子不导电，未满带电子导电，导体的能带中一定有不满的带（导带或价带），绝缘体的能带中就只有满帶和空带。

绝缘体：只有满带和空带，而且满带与空带之间有一个较宽的禁带（Eg约3〜6 eV）,电子很难从低能级（满带）跃迁到高能级（空带）上去。

半导体：也只有满带和空带，但是满带与空带之间的禁带很窄（E g约〜2 eV ）, 一定温度下，有部分电子从低能级（满带）被激发至高能级（空带），因而有一定的导电性。

导体：有未满能带，因而能够导电。

A,价电子数为奇数的金属材料，本来导带就是半满的。

B,价电子数为偶数的金属，价带的顶部与导带的底部有大量交叠，使两个带都部分填充。

）
4、一维周期场中电子的波函数VR（Q应满足布洛赫定理，若晶格常数为S电子的波函数为
（1）ψk（x） = Sin-X
a
z 、・3;T
（2）ψk（X） = I COS 一X
X
⑶^ω=∑∕0是某个确定的函数）
试求电子在这些状态的波矢
解：根据布洛赫定理
一维情形布洛赫定理
ψ{x-3t-a）=严P（X）
D电子的波函数
ι∕∕k（x） = si
a
, 、.x-∖-a.Λ
+ = sιn ----------- Tr = 一Sm-兀
Cl a
ψk（X + d） = -ψk（x） = e ikuψk（χ）
rr
Z a=-I电子的波矢k = -
a
ι∕∕(X^a) = e kilψ(x)
2)电子的波函数
/ \・3兀
(Λ) = ZCos ——π U
0r(x + α) =√cos3° + d) π U =-i COS -π- -ψk (x)
TT 电子的波矢k=- a
ψ{x + a)-e ,ka ψ(x)
3)电子的波函数
^W= ∑∕(A -/^)
∕=-<JO
Ψk <Λ + ^)= ∑ f[x-Q- l)α] f=-x
JFJO
=Y J f(X-Ina) = y∕k (x)
”匸一8
严=1电子的波矢Ar=O
式中"是晶格常数，川是电子的质量，求(1)能带的宽度，(2)电子的速度 5＞已知一维晶格中电子的能带可写成：E(k) = 2
Jr Uur ——COSka+ —cos 2ka
18 8。