安徽省阜阳市太和中学20172018学年高二数学上学期期中试题理(含解析)

安徽省太和中学2016级高二上学期期中教学质量检测
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若是不为零的实数，则命题，的否定形式是（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】D
【解析】，则的否定是，则,
全称命题的否定是换量词，否结论，不改变条件.
故选D；
2. 在中，角的对边分别为，若，，则（）
A. 1
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由正弦定理，故选D.
3. 已知数列中，，，则此数列的前10项和（）
A. 140
B. 120
C. 80
D. 60
【答案】B
【解析】是公差为的等差数列，
，故选B.
4. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：因为命题“”为真命题，所以又
时，所以因为时，必成立，反之时，不一定成立，因此选C．考点：充分必要关系
5. 设点，其中，满足的点的个数为（）
A. 10
B. 9
C. 3
D. 无数个
【答案】A
【解析】
作的平面区域，如图所示，由图知，符合要求的点的个数为，故选A.
6. 已知是等比数列的前三项，则该数列第四项的值是（）
A. -27
B. 12
C.
D.
【答案】D
【解析】成等比数列，，或，又时，，故舍去，该数列第四项为，故选D.
7. 已知实数满足不等式组若的最大值为1，则正数的值为（）
A. B. 1 C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】
作出不等式组对应的平面区域如图所示，是可行域内的点与定点连线的斜率，由图可见，点与点的连线的斜率最大，由，解得时，取最大值，解得，故选D.
【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数的约束条件，属于中档题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.
8. 由命题“存在，使”是假命题，得的取值范围是，则实数的值是（）
A. 2
B.
C. 1
D.
【答案】C
【解析】命题“存在，使”是假命题，对任意的，有，为真命题，，又当时，取得最小值，的取值范围是，故选C.
9. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由时，恒成立得对任意恒成立，即
当时，取得最大值，的取值范围是，故选D.
【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
10. 在中，，为角的平分线，，，则的长是（）
A. B. 或2 C. 1或2 D.
【答案】A
【解析】
如图，由已知条件可得，，
，解得，故选A.
11. 设命题；命题.若是非的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
12. 若锐角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】不妨设，则由三角形内角的度数成等差数列，得，又
，
，由，，知
，解得，，，即的取值范围是，故选C.
【方法点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.解答本题的关键是根据（3）将最大边与最小边
长度之比转化为正弦的比，在根据恒等变换利用三角函数的有界性求解.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 在中，，，且，则的面积为__________．
【答案】
【解析】，又，
，故答案为.
14. 已知命题“，使”为真命题，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】依题意，函数开口向上，且对称轴为，在上单调递增，故.
15. 已知公差不为零的等差数列的前8项和为8，且，则的通项公式
__________．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，可得，解得
，故答案为.
【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质
（）与前项和的关系.
16. 在中，角的对边分别为，，则__________．
【答案】
【解析】在中，，设可得
的值分别为，再由正弦定理得：，故答案为.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （1）设数列满足且，求的通项公式；
（2）数列的前项和，求数列的通项公式.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）由可得为等差数列，于是
，从而可得结果；（2）当时，直接由前项和求首项，当大于等于时，由求解即可得结果.
试题解析：（1）∵，
∴数列是公差为1的等差数列，
∴.
∴.
（2）当时，；
当时，.
∴
【方法点睛】本题主要考查等差数列的定义及通项公式、数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于中档题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.
18. 已知命题，；命题：关于的不等式的解集为.若为真，为假，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】试题分析：化简命题可得，化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.
试题解析：“，”等价于“存在正数使成立”.
∵，∴当时，取最小值2，∴，即.
因此为真命题时，.
对于命题，因为关于的不等式的解集为，
所以或解得，因此为真命题时，.
又∵为真，为假，∴与一真一假.
若真假，则解得；
若假真，则解得.
综上所述，若为真，为假，则实数的取值范围是.
19. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小；
（2）若，求的最大值.
【答案】(1) (2) 时，取最大值
............
试题解析：（1）在中，由
以及正弦定理得.
，，
∴.
∵，∴.
（2）∵，，
由正弦定理得，∴，.
∴
.
又∵，
∴时，取最大值.
20. 如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东30°方向距市的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件送给这辆汽车的司机.问快艇至少以多大的速度，以什么样的航向行驶才能最快把稿件送到司机手中？
【答案】快艇至少以的速度，以北偏东60°的方向（与垂直）航行才能最快把稿件送达司机手中.
【解析】试题分析：（1）画出示意图，设快艇以的速度从处出发，沿方向，小时后与汽车在处相遇，由余弦定理得，配方后，利用二次函数的性质可得时，，从而可得结果.
试题解析：如图所示，设快艇以的速度从处出发，沿方向，小时后与汽车在处相遇.
在中，，，，，
由余弦定理，
∴，
整理得：
.
当时，，∴.
∴快艇至少以的速度行驶时才能最快把稿件送到司机手中.
当时，在中，
，，，
∴，∴.
故快艇至少以的速度，以北偏东60°的方向（与垂直）航行才能最快把稿件送达司机手中.
21. 已知函数的最低点为.
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）根据函数的最低点为，得到对称轴与最小值，列方程组求出，，即可求得函数解析式，然后利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）由由，可得，分别求出与的最大值与最小值，利用不等式恒成立可得结果.
试题解析：（1）依题意，得，①
，②
由①②解得，，.
∴.
则原不等式可化为，解得或.
故不等式的解集为.
（2）由，得，
即，则，
即.
∵，∴的最小值是.
的最大值是.
∴，即.
故实数的取值范围是.
22. 已知各项均为正数的数列满足，且，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项之和为，若对任意的，总有，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）由，可得，由于各项均为正数的数列，可得，再利用及等比数列的通项公式即可得出；（2）利用等比数列的求和公式化简可得，可得，即，从而得.
试题解析：（1）由得，
∵，∴，∴，
∴数列是以2为公比的等比数列.
设数列的首项为，又，
∴，.
（2）由（1）知，∴，
则数列的前项和为.
由，可得，即.
∵对任意的，总有，∴，
∴实数的取值范围是.
【方法点晴】本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，不等式恒成立问题，属于难题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索- 百度文库
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利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.。