人教新课标版数学高二- 数学选修1—1练习第二章 双曲线的简单几何性质(二)

2.2.2 双曲线的简单几何性质(二)
一、基础过关
1.过双曲线x 2－y 2＝4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，则AB 的长为
( )
A.2
B.4
C.8
D.4 2
2.过双曲线的一个顶点A 作直线l ，若l 与双曲线只有一个公共点，则这样的直线l 有几条
( )
A.0
B.1
C.3
D.4
3.已知椭圆x 29＋y 25＝1和双曲线x 2
m 2－y 23＝1(m >0)有相同的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 ( )
A.3x ±y ＝0
B.x ±3y ＝0
C.3x ±y ＝0
D.x ±3y ＝0
4.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的半焦距为c ，若原点到直线bx ＋ay ＝ab 的距离为c 2
，则双曲线的离心率e 等于
( ) A. 2
B.2
C.2 2
D.4 5.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左焦点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，且双曲线的右顶点A 满足MA ⊥NA ，则双曲线的离心率等于________.
6.已知点(x ，y )在双曲线4x 2－y 2＝16上，则y 2＋8x 的最小值为________.
7.双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为________.
二、能力提升
8.设F 1、F 2分别是双曲线
x 2－y 29＝1的左、右焦点.若P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于
( ) A.2 5 B. 5 C.210 D.10
9.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24
＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点.若C 1恰好将线段AB 三等分，则 ( )
A.a 2＝132
B.a 2＝13
C.b 2＝12
D.b 2＝2 10.已知双曲线方程x 2－y 22
＝1，过点A (0,1)作直线l 交双曲线于P 1、P 2的不同两点，若线段P 1P 2的中点在直线x ＝12
上，求l 的斜率k 的值. 11.已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的一个焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15).求双曲线E 的方程.
三、探究与拓展
12.直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
答案
1.B
2.C
3.C
4.A
5.2
6.－16
7.(1,3]
8.C
9.C
10.解 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0).
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，
x 2－y 22＝1，
得(2－k 2)x 2－2kx －3＝0.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2－k 2≠0，Δ＝4k 2－4(2－k 2)(－3)
＝－8k 2＋24>0. 解得－3<k <3，且k ≠±2.
∵P 1P 2的中点在直线x ＝12
上. ∴12(x 1＋x 2)＝－k k 2－2＝12
， ∴k ＝－1±3.
∵－3<k <3，且k ≠±2.
∴k ＝－1＋ 3.
11.解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知
c ＝3，a 2＋b 2＝9. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则
⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22
a 2－y 22
b 2＝1，
两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)
＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2. 又直线AB 的斜率是－15－0－12－3
＝1， 所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，
所以双曲线的标准方程是x 24－y 25
＝1. 12.解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0①，
依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－2≠0，Δ＝(2k )2－8(k 2－2)>0，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0，
解得k 的取值范围为{k |－2<k <－2}.
(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，
则由①得x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1x 2＝2k 2－2
，② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)， 则由FA ⊥FB ，得(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0.
即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0.
整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0，③
把②式及c ＝62
代入③式， 化简得5k 2＋26k －6＝0.
解得k ＝－6＋65或k ＝6－65D ∈/(－2，－2)(舍去). 可知存在k ＝－6＋65
使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点.。